第一节　集合 2026年高三数学第一轮总复习

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第一节集合课程内容要求1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.4.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.CONTENTS目录123基础扎牢——基础不牢·地动山摇考法研透——方向不对·努力白费思维激活——灵活不足·难得高分4课时跟踪检测基础扎牢—基础不牢·地动山摇011.集合的有关概念(1)集合元素的特性：_______、_______、无序性.(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作______；若b不属于集合A，记作_____.(3)集合的表示方法：_______、_______、图示法.(4)五个特定的集合：由教材回扣基础确定性互异性a∈Ab∉A列举法描述法自然数集正整数集整数集有理数集实数集__________________________NN*或N+ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素_____或_____真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A_____或_____相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素_________________⇔A=B空集空集是_____集合的子集⌀⊆A空集是__________集合的真子集⌀⫋B且B≠⌀A⊆BB⊇AAB⫋B⫌A⫌A⊆B且B⊆A⫋任何任何非空3.集合的三种基本运算

语言表示图形表示符号语言并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B=_________________交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B=_________________补集若全集为U，则集合A的补集为∁UA∁UA=__________________{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合基本运算的性质(1)A∩A=_____，A∩⌀=_____.(2)A∪A=_____，A∪⌀=_____.(3)A∩∁UA=_____，A∪∁UA=______，∁U(∁UA)=_____.(4)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=⌀.A⌀AA⌀UA1.有限集的子集个数.设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集.(1)A的子集个数是2n；

(2)A的真子集个数是2n-1；(3)A的非空子集个数是2n-1；

(4)A的非空真子集个数是2n-2.2.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).3.∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).澄清微点·熟记结论一、准确理解概念(判断正误)(1)任何一个集合都至少有两个子集.(

)(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x，y)|y=x2+1}.(

)(3)若{x2，1}={0，1}，则x=0或x=1.(

)(4)任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)成立.(

)答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√练小题巩固基础二、练牢基本小题1.已知集合A={0，1，x2-5x}，若-4∈A，则实数x的值为

.

答案：1或42.设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，则∁R(A∪B)=

，(∁RA)∩B=

.

答案：{x|x≤2或x≥10}

{x|2<x<3或7≤x<10}3.集合{x|(x-1)(x-2)(x-3)2=0}的子集个数为

，非空真子集的个数为

.

答案：8

6

√

√3.(忽视集合运算中端点取舍)已知集合A={x|x≥3}，B={x|x≥m}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是__________.

解析：由A∪B=A，得B⊆A，如图所示，所以m≥3.答案：[3，+∞)考法研透—方向不对·努力白费02命题视角一集合的基本概念(自主练通)√1.已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为

(

)A.9 B.8C.5 D.4解析：将满足x2+y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(0，-1)，(0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，共有9个.故选A.

√3.已知集合A={0，1，2}，B={ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为

(

)A.2 B.3C.4 D.5解析：因为A={0，1，2}，a∈A，b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4，故B={ab|a∈A，b∈A}={0，1，2，4}，即集合B中含有4个元素.√4.设集合A={-4，2a-1，a2}，B={9，a-5，1-a}，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为________.

解析：由题意知9∈A.若2a-1=9，即a=5，此时A={-4，9，25}，B={9，0，-4}，则集合A，B中有两个公共元素-4，9，与已知矛盾，舍去.若a2=9，则a=±3，当a=3时，A={-4，5，9}，B={9，-2，-2}，B中有两个元素均为-2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a=-3时，A={-4，-7，9}，B={9，-8，4}，符合题意.综上所述，a=-3.答案：-3一“点”就过(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.[典例]

(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为

(

)A.7 B.8 C.15

D.16[解析]

A={x|-1≤x≤3，x∈N*}={1，2，3}，其真子集的个数为23-1=7.命题视角二集合间的基本关系√

(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系，如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中的元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图法.方法技巧

针对训练√⫋⫋

√

命题视角三集合的运算√(2)(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)=

(

)A.{x|x=3k，k∈Z}

B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}

D.⌀[解析]

法一：M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}，故选A.法二：集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.√解决集合运算问题的3个技巧方法技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算，常借助数轴求解

√(2)已知集合A={x|x>2或x<-4}，B={x|x<a}，若A∪B=R，则a的取值范围为

(

)A.[-4，+∞) B.(-4，+∞)C.[2，+∞) D.(2，+∞)√[解析]

因为集合A={x|x>2或x<-4}，B={x|x<a}，要使A∪B=R，如图所示，需有a>2，故选D.方法技巧利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到.(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性).

针对训练√2.已知M，N为R的两个不相等的非空子集，若M∩N=M，则

(

)A.M∪N=R B.M∪(∁RN)=RC.N∪(∁RM)=R D.(∁RM)∪(∁RN)=R√⫋解析：依题意M∩N=M，所以M⫋N，则集合M，N与R的关系如图所示，所以N∪(∁RM)=R.3.已知集合A={x|x<3}，B={x|x>a}，若A∩B≠⌀，则实数a的取值范围为

(

)A.[3，+∞) B.(3，+∞)C.(-∞，3) D.(-∞，3]解析：因为A∩B≠⌀，所以结合数轴可知实数a的取值范围是(-∞，3)，故选C.√思维激活—灵活不足·难得高分031.(2024·重庆模拟)设集合A={(x，y，z)|x，y，z∈{-1，0，1}}，那么集合A满足条件“|x|+|y|+|z|=2”的元素个数为

(

)A.4 B.6C.9 D.12解析：若x=0，则y，z∈{-1，1}，即有序数对(y，z)有4种取法，同理若y=0，则x，z∈{-1，1}，即有序数对(x，z)有4种取法，若z=0，则x，y∈{-1，1}，即有序数对(x，y)有4种取法，综上所述，集合A满足条件“|x|+|y|+|z|=2”的元素个数为4+4+4=12.数学建模•练抽象思维——集合中的创新应用问题√2.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①⌀∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.下列说法错误的是

(

)A.若U={1，2，3，4，5，6}，则F={⌀，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U的一个环B.若U={a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C.若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈FD.若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[2，4]∈F√解析：由题意可得F={⌀，{1，3，5}，{2，4，6}，U}满足环的两个要求，故F是U的一个环，故A正确；若U={a，b，c}，则U的子集有8个，则U的所有子集构成的集合F满足环的定义，且有8个元素，故B正确；如F={⌀，{2}，{3，5}，{2，3，5}}满足环的要求，且含有4个元素，{2}，{3，5}∈F，故C正确；令A=[0，3]，B=[2，4]，∵A，B∈F，∴A∩∁UB=[0，2)∈F，B∩∁UA=(3，4]∈F，A∪B=[0，4]∈F，设C=[0，2)，则A∩∁UC=[2，3]∈F，设D=[0，4]，E=[2，3]，则D∩∁UE=[0，2)∪(3，4]∈F，再加上⌀，F中至少有8个元素，故D错误.故选D.

4.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)=____________________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是_______.

解析：显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，答案：(3，2，1，4)(填一个正确的即可)

604课时跟踪检测1.(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的是

(

)A.M∩N=M B.M∪N=MC.M⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆N解析：由于M⊆N，即M是N的子集，故M∩N=M，M∪N=N，从而M⊆(M∩N)，(M∪N)⊆N.√√√

√3.(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=

(

)A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UN解析：因为M∪N={x|x<2}，所以∁U(M∪N)={x|x≥2}，故选A.√4.集合A={3，2a}，B={a，b}.若A∩B={4}，则A∪B=

(

)A.{2，3，4} B.{1，3，4}C.{0，1，2，3} D.{1，2，3，4}解析：∵A∩B={4}，∴2a=4，则a=2，b=4.∴A∪B={2，3，4}.√5.已知集合A={(x，y)|x+y=8，x，y∈N*}，B={(x，y)|y>x+1}，则A∩B中元素的个数为

(

)A.2 B.3C.4 D.5解析：依题意A={(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)}，其中满足y>x+1的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，所以A∩B={(1，7)，(2，6)，(3，5)}，有3个元素.故选B.√6.(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B=B，则下列关系一定正确的是

(

)A.A∩B=⌀ B.A∩B=BC.A∪B=U D.(∁UB)∪A=A解析：令U={1，2，3，4}，A={2，3，4}，B={1，2}，满足(∁UA)∪B=B，但A∩B≠⌀，A∩B≠B，故A、B均不正确；由(∁UA)∪B=B，知∁UA⊆B，∴U=A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B=U，由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，∴(∁UB)∪A=A，故C、D均正确.√√7.已知全集U={x|-1<x<9}，A={x|1<x<a}，A是U的子集，若A≠⌀，则a的取值范围是

(

)A.{a|a<9} B.{a|a≤9}C.{a