2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省六安九中九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.二次函数y=3(x−1)2的顶点坐标是(

)A.(0,−1) B.(0,1) C.(−1,0) D.(1,0)2.已知⊙O的半径为10，OP=6，则点P与⊙O的位置关系是(

)A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.不确定3.如图，若点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4cm，则AC的长为(

)A.(5−1)cm B.(25−2)cm4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则cosA的值(

)A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定5.已知ab=35，那么A.35 B.−85 C.26.如图，点A、B、C均在正方形网格的格点上，则tan∠BAC=(

)A.13

B.14

C.12

7.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于(

)A.3：8

B.3：5

C.5：8

D.2：58.如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点.若∠OBA=25°，∠BOC=30°，则∠OAC的度数为(

)A.30°

B.10°

C.40°

D.50°9.二次函数y=ax2+c与反比例函数y=acA.B.C.D.10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆与AC相切于点D，交AB于点E、F，则图中阴影部分的面积为(

)A.23B.43C.3D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.比较大小：sin47°______sin43°.(填“>”，“=”或“<”)12.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B=∠ACD，AB=6，AD=3，则AC的长为______．13.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，且满足∠ADC=118°，连接OC，则∠BOC的度数为______°.14.二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(6,c)，向左平移t(t>0)个单位长度后得到新抛物线．

(1)抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=______；

(2)若新抛物线有P(2t,y1)三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

计算：tan60°+tan45°2sin16.(本小题8分)

如图，在△ABC中，EF//CD，DE//BC.求证：AF：AD=AD：AB．17.(本小题8分)

如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B=30°，直线BD与⊙O切于点D，求∠ADB的度数．18.(本小题8分)

中国面食文化至今已有两千多年的历史(面条在东汉称之为“煮饼”).厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数，其图象经过A(4,32)，B(a,80)两点(如图)．

(1)求y与S之间的函数关系式及a的值；

(2)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过0.8m19.(本小题10分)

在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置；

(2)以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1．

20.(本小题10分)

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．

(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；

(2)若∠D=2∠M，求∠D的度数．21.(本小题12分)

某小区门口安装了汽车出入道闸.道闸关闭时，如图1，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米.道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．

(1)如图2，当道闸打开至∠ADC=45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．

(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米.当道闸打开至∠ADC=35°时，轿车能否驶入小区？请说明理由.(参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002)

22.(本小题12分)

某超市以30元/千克的价格购进一批草莓，如果以35元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以40元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克，根据销售经验可以知道，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)(x≥30)存在一次函数关系．

(1)请你直接写出y与x之间的函数关系式为______；(不用写出自变量的取值范围)

(2)设该超市销售草莓每天获得的利润为w元，求当销售单价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？

(3)如果物价局规定商品的利润率不能高于40%，而超市希望每天销售草莓的利润不低于1500元，请你帮助超市确定这种草莓的销售单价x的范围．23.(本小题14分)

(1)如图①，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．

【探究证明】①求证：△AED∽△BFE；

【特例分析】②若AB=10，AD=6，E为AB的中点，求BF的长．

【衍生拓展】(2)如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是BC的中点，射线DE，DF分别交AB，AC于点E，F，且∠EDF=90°，求DEDF的值．

答案解析1.【答案】D

【解析】解：由题意可得：函数为y=3(x−1)2，

∴可得出顶点坐标是(1,0)，

故选：D．

根据二次函数y=3(x−1)2，得出顶点坐标是2.【答案】A

【解析】解：∵⊙O的半径为10，OP=6，10>6，

∴点P在⊙O内．

故选：A．

直接根据点与圆的位置关系解答即可．

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；①点P在圆内⇔d<r是解题的关键．3.【答案】B

【解析】解：由条件可知ACAB=5−12，

∵AB=4cm，

∴AC4=5−12，4.【答案】C

【解析】解：∵三角形三边都放大2倍，

∴∠A的对边与斜边同时放大2倍，

∴cosA=∠A的对边斜边，

∴cosA的值不变．

故选：C．

在直角三角形中cos∠A=∠A的对边斜边，因为三角形三边都放大25.【答案】D

【解析】解：a−bb=ab−1，

∵ab=35，

∴原式=36.【答案】C

【解析】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为1，如图所示：

则BC=2，

根据勾股定理得：AC=32+32=32，CD=12+12=2，BD=12+12=2，

∴AD=AC−CD=22，

又∵CD2+BD2=4，BC2=4，

∴CD27.【答案】C

【解析】解：∵DE/​/BC，EF/​/AB，

∴AE：EC=AD：DB=BF：CF=3：5，

∴CF：CB=5：8，

故选C．

由DE/​/BC，可得ADDBADDB=AEEC，再结合EF/​/AB可得AEEC8.【答案】C

【解析】解：∵OB=OA，

∴△OAB是等腰三角形，

∵∠OBA=25°，

∴∠OAB=25°，

∵∠BOC和∠BAC所对应的弧均为BC，

∴∠BAC=12∠BOC=15°，

∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=40°．

故选：C．

9.【答案】C

【解析】A.∵a<0，c>0，

∴ac<0，

∴反比例函数的图象应该分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；

B.∵a<0，c<0，

∴ac>0，

∴反比例函数的图象应该分别位于一、三象限，故选项错误，不符合题意；

C.∵a>0，c<0，

∴ac<0，

∴反比例函数的图象应该分别位于二、四象限，故选项正确，符合题意；

D.∵a>0，c>0，

∴ac>0，

∴反比例函数的图象应该分别位于一、三象限，故选项错误，不符合题意；

故选：C．

根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．

本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．10.【答案】D

【解析】解：连接OD，过点D作DG⊥AB于点G，

∵∠A=30°，AB=8，O是斜边AB的中点，以点O为圆心的半圆与AC相切于点D，

∴∠ADO=90°，∠AOD=60°，OA=12AB=12×8=4，

∴OD=12OA=12×4=2，∠FOD=120°，

∴OD=OE=OF=2，

∴DG=ODsin60°=3，AD=OAcos30°=23，

∴阴影部分的面积为：12AD⋅OD−60×π×22360+120×π×22360−11.【答案】>

【解析】解：∵0°<43°<47°<90°，

∴sin43°<sin47°，

即sin47°>sin43°，

故答案为：>．

根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果．

本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的单调性是解题的关键．12.【答案】3【解析】解：由条件可知∠BAC=∠CAD，

∵∠B=∠ACD，

∴△BAC∽△CAD，

∴ABAC=ACAD，

∴AC2=AB⋅AD=18，

∴AC=32．

故答案为：32．13.【答案】56

【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=118°，

∴∠B=180°−∠ADC=180°−118°=62°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠B=62°，

∴∠BOC=180°−∠B−∠OCB=180°−62°−62°=56°．

故答案为：56．

先根据圆内接四边形的性质得出∠B的度数，再由等腰三角形的性质得出∠OCB的度数，根据三角形内角和定理得出∠BOC的度数即可．

本题考查的是圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟知圆内接四边形的对角互补；三角形内角和是180°是解题的关键．14.【答案】3；

0<1<23【解析】解：(1)∵当x=0时y=ax2+bx+c=c，

∴二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象过(0,c)，

∴抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴是直线x=0+62=3，

故答案为：3；

(2)由条件可知新抛物线的对称轴是直线x=3−t，

∵抛物线开口向下，

∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，

∵y2>y1，

∴P离新抛物线的对称轴比Q离新抛物线的对称轴远，

∴PQ的中点在对称轴的左侧，

∴2t+2t+22<3−t，

∴t<23，

∵t>0，

∴0<t<23，

故答案为：0<t<23．

(1)根据当x=0时y=ax2+bx+c=c和抛物线经过点过(6,c)，可知点(0,c)和15.【答案】32【解析】解：原式=3+12×12−16.【答案】证明：∵EF/​/CD，

∴∠AEF=∠ACD，∠AFE=∠ADC，

∴△AEF∽△ACD，

∴AFAD=AEAC①，

∵DE/​/BC，

∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ADAB=AEAC②，

由①②【解析】由EF//CD，DE/​/BC可得到△AEF∽△ACD，△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质即可得证．

本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．17.【答案】解：如下图，连接OD，

∵BD是⊙O的切线，D为切点，

∴∠BDO=90°，

∵∠B=30°，

∴∠DOB=60°，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO=12∠BOD=12×60°=30°，

∴∠ADB=180°−∠B−∠A=180°−30°−30°=120°【解析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODB=90°，进而求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠A，最后根据三角形内角和定理即可求得答案．

本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键．18.【答案】y=128S(S>0)，a=1.6；

面条的总长度至少为【解析】解：(1)设y与x之间的函数表达式为：y=kS(S>0)，

由条件可得：k=128，

∴y与S之间的函数表达式为：y=128S(S>0)；

将(a,80)代入y=128S可得a=1.6；

(2)由条件可知y≥1280.8=160，

故面条的总长度至少为160m．

(1)设y与x之间的函数表达式为：y=kS(S>0)，将(4,32)19.【答案】10

【解析】解：(1)如图所示，点P即为所求；

(2)如图所示，△OA2B2即为所求；

(3)∵在第三象限画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，

∴△OA2B2的面积：△OAB的面积=4：1，

∵S△OAB的面积为2.5，

∴△OA2B2的面积10，

故答案为：10．

(1)分别连接O1O20.【答案】20；

45°．

【解析】(1)设⊙O的半径是r，则OD=OB=r，

∴OE=r−4，

∵直径AB⊥CD，

∴DE=12CD=12×16=8，

∵OD2=OE2+DE2，

∴r2=(r−4)2+82，

∴r=10，

∴⊙O的直径为2r=20；

(2)∵∠BOD=2∠M，∠D=2∠M，

∴∠BOD=∠D，

∵AB⊥CD，

∴∠OED=90°，

∴△OED是等腰直角三角形，

∴∠D=45°．

(1)设⊙O的半径是r，由垂径定理得到DE=1221.【答案】解：(1)如图，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，

由题意可知，∠ADC=45°，PE=1.2米，QE=0.2米，

在Rt△PDQ中，∠PDQ=45°，PQ=1.2−0.2=1(米)，

∴DQ=PQ=1 (米)，

∴PF=AB−DQ=3−1=2 (米)，

即点P到MN的距离PF的长为2米；

(2)当∠ADC=35°，PE=1.6米时，

则∠DPQ=35°，

PQ=1.6−0.2=1.4(米)，

∴DQ=PQ⋅tan35°≈1.4×0.7002=0.9803(米)，

∴PF=3−0.9803≈2.02(米)，

∵2.02>1.8，

∴能通过．【解析】(1)在Rt△PDQ中，由∠PDQ=45°，DQ=PQ=1，进而求出FP即可；

(2)当∠ADC=36°，PE=1.6米时，求出PF，与1.8米比较即可得出答案．

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．22.【答案】y=−20x+1000；

当x=40时，w取得最大，w最大=2000元；

销售这种草莓的销售单价x的范围为35≤x≤42【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

将(35,300)、(40,200)代入，得35k+b=30040k+b=200，

解得：k=−20b=1000，

∴y与x之间的函数关系式为y=−20x+1000，

故答案为：y=−20x+1000；

(2)w=(x−30)(−20x+1000)=−20x2+1600x−30000

=−20(x−40)2+2000

∵−20<0，

∴当x=40时，w取得最大，w最大=2000元；

(3)由题意得−20x2+1600x−30000≥1500，

解得：35≤x≤45，

又∵物价局规定商品的利润率不能高于40%，

∴(x−30)÷30≤40%，

∴x≤42，

综上可得：35≤x≤42，

答：销售这种草莓的销售单价x的范围为35≤x≤42．

(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将(35,300)、(40,200)代入，可得出k、b的值，继而得出y与x的函数关系式；

(2)每天的总利润=每天的销量×每千克的利润，从而可得w关于x的表达式，利