2024-2025学年甘肃省武威一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省武威一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z=(1+i)(2−i)对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.与向量a=(12,5)平行的单位向量为(

)A.(1213,−513) B.(−12133.正方体ABCD−A1B1C1D1中AB的中点为M，DD1A.0° B.45° C.60° D.90°4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(

)A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.75.饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生0～9之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946.由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为(

)A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.96.在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若2sin2B2A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形7.从分别标有1，2，3，…，10的10个小球中，不放回的随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为x，y.若i2=−1，则ix+A.1645 B.645 C.298.在△ABC中，点M，N在边BC上，且满足：AM=12(AB+AC)，ABAC=BNNCA.12 B.23 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件A=“家庭中没有女孩”，B=“家庭中最多有一个女孩”，C=“家庭中至少有两个女孩”，D=“家庭中既有男孩又有女孩”，则(

)A.A与C互斥 B.A∪D=B C.B与C对立 D.B与D相互独立10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(

)

A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为311.若正四面体ABCD的棱长为a，P是棱AC上一动点，其外接球、内切球的半径分别为R，r，则(

)A.R=64a

B.R=4r

C.正四面体ABCD棱切球的体积为224πa3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知cosαsin(α−β)−sinαcos(β−α)=35，则sinβ=______．13.在二面角α−l−β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥l，BD⊥l，若AB=1，AC=BD=2，二面角α−l−β的余弦值为34，则CD=______；直线CD与平面β所成角正弦值为______．14.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1=3，过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，且AA1与平面α所成的角为30°，给出下列说法：

①异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为625；

②A1B//平面B1D1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．

(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设EF=λAB+μAD，求λ+μ的值；

(2)若AB=3，16.(本小题15分)

2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷.为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；

(Ⅱ)用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；

(Ⅲ)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．

17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA．

(1)求角B的大小；

(2)若a=2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围．18.(本小题17分)

n维空间中点的坐标可以表示为(x1,x2,x3,⋯,xn)，其中xi(i=1,2,3,⋯,n)为该点的第i个坐标.定义n维空间中任意两点A(x1,x2,x3,⋯,xn)，B(y1,y2,y3,⋯,yn)之间的平均离差二乘距离d(A,B)=1ni=1n(x19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB是边长为2的等边三角形，点A，B，C，D在同一个圆的圆周上，且∠BCD=90°，BC=2CD=5，平面PAB⊥平面PAD．

(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求三棱锥P−ABD的体积；

(Ⅲ)求二面角A−PB−C的正弦值．

答案解析1.【答案】A

【解析】【分析】本题考查复数的运算及其几何意义，属基础题．

化简复数z后可得其对应点为(3,1)，从而可解．【解答】

解：z=(1+i)(2−i)=3+i，

故z对应的点3,1在第一象限，

故选：A．2.【答案】C

【解析】解：由题意可知，|a|=122+52=13，

所以与向量a=(12,5)平行的单位向量为−a|a3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法(平移法)的应用，属于基础题．

根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法．

【解答】

解：取AA1的中点E，连接EN，BE交B1M于点O，

则EN/​/BC，且EN=BC，

∴四边形BCNE是平行四边形，

∴BE//CN，

∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角，

而Rt△BB1M≌Rt△ABE4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，属于基础题．

直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．【解答】

解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，

所以不用现金支付的概率为：1−0.45−0.15=0.4．

故选B．5.【答案】B

【解析】【分析】本题考查随机模拟，频率和概率的关系，属于基础题．

先求出10组随机数中表示3名饱和潜水员中至少有1人成功的随机数，再结合频率与概率的关系即可求解．【解答】

解：10组随机数中表示3名饱和潜水员中至少有1人成功为：713，517，491，275，937，740，632，共7个，

则“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为710=0.7．

故答案为：6.【答案】B

【解析】解：因为2sin2B2=a−ca，所以1−cosB=1−ca，

所以cosB=ca，

所以由余弦定理得：a2+c2−b22ac7.【答案】A

【解析】解：由题意，选取两个小球的编号分别为x，y，共有A102=90种选法，

若ix+iy为实数，分两种情况：

①x为偶数，则y为偶数，有A52=20种选法；

②x为奇数，则y为奇数，设A={1,5,9}，B={3,7}，

x在A中任取一个数，y在B中任取一个数，或x在B中任取一个数，y在A中任取一个数，

所以共3×2+2×3=12种选法．

所以ix8.【答案】D

【解析】解：根据题意，在△ABC中，设AB=c，CB=a，AC=b，

因为AM=12(AB+AC)，所以M为BC中点，可得|AM|2=14(|AB|2+2AB⋅AC+|AC|2)=14c2+12cbcosA+14b2，

整理得34=14c2−14cb+14b2，化简得3=c2−cb+b2．

因为ABAC=BNNC9.【答案】ACD

【解析】解：假定生男孩和生女孩是等可能的，

若一个家庭中有三个小孩，记事件A=“家庭中没有女孩”，B=“家庭中最多有一个女孩”，

C=“家庭中至少有两个女孩”，D=“家庭中既有男孩又有女孩”，

对于A，A与C不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件，故A正确；

对于B，由事件的并得到A∪D表示这个家庭中可能至少有2个女孩子，与事件B不相等，故B错误；

对于C，事件B与C既不能同时发生，又不能㞱不发生，是对立事件，故C正确；

对于D，事件B发生与否不影响事件D，同样事件D发生与否不影响事件B，

∴事件B与事件D相互独立，故D正确．

故选：ACD．

利用互斥事件、对立事件、事件的并、相互独立事件的定义直接求解．

本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件、事件的并、相互独立事件的定义等基础知识，是基础题．10.【答案】CD

【解析】解：A选项，圆柱的侧面积为2π×2R=4πR2，故A选项错误．

B选项，圆锥的母线长为R2+(2R)2=5R，

圆锥的侧面积为πR×5R=5πR2，故B选项错误．

C选项，球的表面积为4πR2，

所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．

D选项，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，

圆锥的体积为1311.【答案】ACD

【解析】解：对于A选项，将正四面体ABCD放入正方体中，因为正四面体ABCD的棱长为a，

所以正方体的棱长为22a，显然正四面体和正方体有相同的外接球，

正方体外接球半径为22a⋅32=64a，即正四面体外接球半径R=64a，所以A选项正确；

对于B选项，设正四面体的内切球的球心为O′，连接O′A，O′B，O′C，O′D，形成四个全等的正三棱锥，

则VA−BCD=VO′−ABC+VO′−ABD+VO′−ACD+VO′−BCD，

即13⋅AM⋅S△BCD=13⋅r⋅S△ABC+13⋅r⋅S△ABD+13⋅r⋅S△ACD+13⋅r⋅S△BCD，

因为S△ABC=S△ABD=S△ACD=S△BCD，

所以13⋅AM⋅S△ABC=4⋅13⋅r⋅S△ABC，r=AM4=63a4=612a，而R=64a，所以R=3r，所以B选项错误．

对于C选项，正四面体ABCD的棱切球与各棱相切于中点，如图，

把正四面体ABCD放在正方体中，则正方体的棱长为正四面体ABCD的棱切球的直径，

因为AB=a，所以正方体的棱长为22a，所以正四面体ABCD的棱切球的半径为24a，

所以棱切球的体积为43π(24a)3=224πa3，所以C选项正确．

对于D12.【答案】−3【解析】解：由cosαsin(α−β)−sinαcos(β−α)=35，

得−sin(β−α)cosα−cos(β−α)sinα=35，

则sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=−35，

可得sin13.【答案】3

【解析】解：过点A作AE/​/BD，过点D作DE/​/l，交AE于点E，连接CE，如图所示，

则四边形ABDE为平行四边形，

因为BD⊥l，所以AE⊥l，又AC⊥l，AC∩AE=A，AC，AE⊂平面ACE，

故ED⊥平面ACE，又CE⊂平面ACE，

所以ED⊥CE，则∠CAE为二面角α−l−β的平面角，

又二面角α−l−β的余弦值为34，

由余弦定理，可得cos∠CAE=AC2+AE2−CE22AC⋅AE=34，

解得CE=2，

则Rt△CDE中，CD=DE2+CE2=3；

过点C作CF⊥AE，连接DF，如图所示，

因为ED⊥平面CAE，且CF⊂平面CAE，

则DE⊥CF，又AE∩DE=E，AE，DE⊂平面α，

所以CF⊥平面α，则∠CFD为CD与平面β所成的角，

在Rt△ACF中，cos∠CAE=34，

所以sin∠CAE=1−(34)2=74，

又CA=2，所以CF=72，

故sin∠CDF=CFCD=216．

故答案为：3；2114.【答案】②④

【解析】解：依题意得CB1=CD1=5，B1D1=42，

因为A1B/​/CD1，所以异面直线A1B与B1C所成的角即∠B1CD1或其补角．

在△CB1D1中，cos∠B1CD1=52+52−(42)22×5×5=925，

所以异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为925，故①错误．

由于A1B/​/CD1，A1B⊄平面B1D1C，CD1⊂平面B1D1C，故②正确．

设点B到平面B1CD1的距离为ℎ，由VB−B1CD1=VD1−BCB1=13×(12×4×3)×4=8，

得13×(12×42×1715.【答案】解：(1)由题意知EF=EC+CF，

因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点，

所以EF=12BC+13CD，

在矩形ABCD中，BC=AD，CD=−AB，

所以EF=−13AB+12AD，

即λ=−13，μ=12，

则λ+μ=−13+12=16．

(2)以AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设F(x,2)，其中0≤x≤3；

则：A(0,0)【解析】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．

(1)由题意用AD、AB表示出EF，求出λ、μ的值，求和即可．

(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示AF、EF，计算AF⋅16.【答案】解：(Ⅰ)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a)×10=1，

解得a=0.030，

因为0.01×10×200=20(人)，0.015×10×200=30(人)．

所以不高于50分的抽5×2020+30=2(人)；

(Ⅱ)平均数x−=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．

由图可知，学生成绩在[40,70)内的频率为0.4，在[70,80)内的频率为0.3，

设学生成绩中位数为t，t∈[70,80)，则：(t−70)0.03+0.4=0.5，解得t=2203，

所以中位数为2203．

(Ⅲ)记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，

【解析】本题主要考查频率分布直方图，分层随机抽样，平均数、中位数、众数，相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．

(Ⅰ)由频率和为1即可求解a的值，再利用抽样比求解即可；

(Ⅱ)由频率分布直方图的平均数与中位数公式求解即可；

(Ⅲ)利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．17.【答案】解：(1)∵asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA，

由正弦定理可得a2+accosB+bccosA=b2+ac，

又由余弦定理知2accosB=a2+c2−b2，2bccosA=b2+c2−a2，

∴a2+c2=b2+ac，∴cosB=a2+c2−b22ac=12，

又A∈(0,π)，∴B=π3；

(2)由△ABC为锐角三角形，【解析】(1)直接利用正余弦定理即可求解；

(2)利用正弦定理将周长转化为关于角A的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；

本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，函数思想的应用，化归转化思想，属中档题．18.【答案】(0,0,1)，(1,0,0)，(1,1,1)．

25．【解析】(1)定义n维空间中任意两点：

A(x1,x2,x3,