初二数学中全等三角形系列教案

**系列概述**全等三角形是初二数学的核心内容之一，是后续学习相似三角形、四边形、圆等知识的基础，也是培养学生逻辑推理能力的关键载体。本系列教案共6课时，遵循“概念-性质-判定-应用”的认知规律，从直观感知到逻辑论证，逐步深化学生对全等三角形的理解与应用。**课时1：全等三角形的概念与性质****一、教学目标**1.知识与技能：理解全等三角形的定义，能准确识别对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）。2.过程与方法：通过叠合实验，经历“观察-猜想-验证”的过程，培养直观感知与抽象概括能力。3.情感态度与价值观：感受全等三角形在生活中的应用，激发学习兴趣。**二、教学重难点**重点：全等三角形的定义与性质。难点：对应元素的准确识别。**三、教学准备**多媒体课件、全等三角形纸片（每组2张）、直尺、量角器。**四、教学过程****1.情境引入（5分钟）**展示生活中的全等实例（如两张相同的身份证、全等的三角形警示牌），提问：“这些图形有什么共同特征？”引导学生说出“能够完全重合”。**2.概念建构（15分钟）**定义讲解：通过叠合实验，明确“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，记作“△ABC≌△DEF”（注意顶点顺序对应）。对应元素识别：对应顶点：重合的顶点（如A与D、B与E、C与F）；对应边：重合的边（如AB与DE、BC与EF、AC与DF）；对应角：重合的角（如∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F）。技巧：通过顶点顺序判断对应关系（如△ABC≌△DEF，则A→D，B→E，C→F）。**3.性质探究（10分钟）**实验验证：让学生用纸片叠合全等三角形，测量对应边长度与对应角度数，得出结论：全等三角形的对应边相等（AB=DE，BC=EF，AC=DF）；全等三角形的对应角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F）。**4.巩固应用（10分钟）**基础练习：①已知△ABC≌△XYZ，写出所有对应边与对应角；②若△ABC≌△DEF，∠A=50°，BC=7cm，则∠D=______，EF=______。拓展思考：全等三角形的周长、面积有什么关系？（引导学生猜想“周长相等、面积相等”）。**5.小结与作业（5分钟）**小结：回顾全等三角形的定义（完全重合）、对应元素（顶点、边、角）、性质（对应边/角相等）。作业：①课本第X页练习1、2题（识别对应元素）；②选做：用纸片剪出两个全等三角形，标注对应元素并测量验证性质。**课时2：全等三角形的判定（SSS）****一、教学目标**1.知识与技能：掌握SSS判定定理（三边对应相等的两个三角形全等），能规范书写证明过程。2.过程与方法：通过“画三角形-比较全等”的实验，体会“边边边”的唯一性。3.情感态度与价值观：培养严谨的逻辑推理意识。**二、教学重难点**重点：SSS判定定理的理解与应用。难点：证明过程的规范书写。**三、教学准备**直尺、圆规、白纸（每组若干）。**四、教学过程****1.问题引入（5分钟）**提问：“已知一个三角形的三边长度，能否画出唯一的三角形？”（如给定三边3cm、4cm、5cm）。**2.实验探究（15分钟）**动手操作：让学生用圆规、直尺画△ABC，使AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm；再画△DEF，使DE=3cm，EF=4cm，DF=5cm。比较全等：将两个三角形叠合，发现完全重合，得出结论：三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。**3.定理应用（15分钟）**规范证明步骤：例1：已知△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，求证△ABC≌△DEF。证明：在△ABC和△DEF中，\[\begin{cases}AB=DE\quad(\text{已知})\\BC=EF\quad(\text{已知})\\AC=DF\quad(\text{已知})\end{cases}\]∴△ABC≌△DEF（SSS）。练习：已知△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，求证△ABD≌△ACD（引导学生发现公共边AD）。**4.巩固与拓展（10分钟）**基础练习：课本第X页练习3、4题（用SSS证明全等）；拓展思考：SSS判定能否用于证明直角三角形全等？（为后续HL判定铺垫）。**5.小结与作业（5分钟）**小结：SSS判定的条件（三边对应相等）、证明步骤（列出三边相等→结论）。作业：①课本第X页习题1、2题（规范书写证明）；②选做：用SSS证明“三角形的稳定性”（如三角形框架不易变形）。**课时3：全等三角形的判定（SAS）****一、教学目标**1.知识与技能：掌握SAS判定定理（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），能区分“夹角”与“对角”。2.过程与方法：通过反例实验，体会“夹角”的必要性。3.情感态度与价值观：培养批判性思维（避免“两边及对角”的错误）。**二、教学重难点**重点：SAS判定定理的理解与应用。难点：避免“两边及一边的对角相等”的错误。**三、教学准备**木棍（两根长度固定）、量角器、白纸。**四、教学过程****1.情境引入（5分钟）**提问：“已知三角形的两边和一个角，能否画出唯一的三角形？”（如两边3cm、4cm，角60°）。**2.实验探究（15分钟）**实验1（夹角）：画△ABC，使AB=3cm，∠B=60°，BC=4cm；再画△DEF，使DE=3cm，∠E=60°，EF=4cm。叠合后发现全等，得出“两边及其夹角对应相等→全等”。实验2（对角）：画△ABC，使AB=3cm，∠A=60°，BC=4cm；再画△DEF，使DE=3cm，∠D=60°，EF=4cm。叠合后发现不能完全重合，说明“两边及一边的对角相等”不能判定全等。**3.定理应用（15分钟）**例2：已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证△ABD≌△ACD。证明：∵AD是BC中线（已知），∴BD=CD（中线定义）。在△ABD和△ACD中，\[\begin{cases}AB=AC\quad(\text{已知})\\BD=CD\quad(\text{已证})\\AD=AD\quad(\text{公共边})\end{cases}\]∴△ABD≌△ACD（SSS）？（引导学生发现“AB=AC，AD=AD，BD=CD”是SSS，但如果用SAS呢？∠ADB=∠ADC？不，中线是线段，应该用SSS。此处可强调“先找已知条件，再选判定方法”。）练习：课本第X页练习3（用SAS证明全等）。**4.小结与作业（5分钟）**小结：SAS判定的条件（两边及其夹角对应相等）；易错点（避免“两边及对角”）。作业：①课本第X页习题3、4题（SAS证明）；②选做：用SAS设计一个“固定三角形框架”的方案（如用两根木棍和一个钉子固定）。**课时4：全等三角形的判定（ASA、AAS）****一、教学目标**1.知识与技能：掌握ASA（两角及其夹边）、AAS（两角及其一角的对边）判定定理，能区分两者的差异。2.过程与方法：通过“画三角形-转化角”的实验，体会ASA与AAS的联系。3.情感态度与价值观：培养分类讨论的思维能力。**二、教学重难点**重点：ASA、AAS判定定理的理解与应用。难点：区分ASA与AAS的条件。**三、教学准备**直尺、量角器、白纸。**四、教学过程****1.问题引入（5分钟）**提问：“已知三角形的两个角和一条边，能否画出唯一的三角形？”（如两角60°、70°，夹边3cm）。**2.实验探究（15分钟）**实验1（ASA）：画△ABC，使∠B=60°，BC=3cm，∠C=70°；再画△DEF，使∠E=60°，EF=3cm，∠F=70°。叠合后全等，得出ASA判定（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等）。实验2（AAS）：已知△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，BC=4cm；△DEF中，∠D=50°，∠E=60°，EF=4cm。引导学生计算∠C=70°，∠F=70°，则∠C=∠F，BC=EF，∠B=∠E，转化为ASA，得出AAS判定（两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等）。**3.定理应用（15分钟）**例3：已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证△ABC≌△DEF。分析：∠A=∠D，∠B=∠E→∠C=∠F（三角形内角和），则∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F→ASA；或∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF→AAS（∠B的对边是AC，∠E的对边是DF？不，BC是∠A的对边，EF是∠D的对边→AAS）。证明：在△ABC和△DEF中，\[\begin{cases}∠A=∠D\quad(\text{已知})\\∠B=∠E\quad(\text{已知})\\BC=EF\quad(\text{已知})\end{cases}\]∴△ABC≌△DEF（AAS）。练习：课本第X页练习4（区分ASA与AAS）。**4.小结与作业（5分钟）**小结：ASA（两角夹边）、AAS（两角及一角的对边）；联系（通过内角和转化）。作业：①课本第X页习题5、6题（ASA、AAS证明）；②选做：用ASA设计一个“测量未知角”的方案（如用三角板测量墙面的角）。**课时5：全等三角形的判定（HL）****一、教学目标**1.知识与技能：掌握HL判定定理（直角三角形斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。2.过程与方法：通过“画直角三角形”实验，体会直角三角形的特殊判定。3.情感态度与价值观：感受“特殊图形有特殊判定”的思想。**二、教学重难点**重点：HL判定定理的理解与应用。难点：明确HL的适用范围（直角三角形）。**三、教学准备**直尺、圆规、直角三角板。**四、教学过程****1.情境引入（5分钟）**提问：“直角三角形是特殊的三角形，它的全等判定有没有更简便的方法？”（如已知斜边和一条直角边）。**2.实验探究（15分钟）**动手操作：画Rt△ABC，使∠C=90°，AC=3cm，AB=5cm；再画Rt△DEF，使∠F=90°，DF=3cm，DE=5cm。比较全等：叠合后发现完全重合，得出HL判定（直角三角形斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。**3.定理应用（15分钟）**例4：已知Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，求证△ABC≌△DEF。证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，\[\begin{cases}AB=DE\quad(\text{已知，斜边})\\AC=DF\quad(\text{已知，直角边})\end{cases}\]∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。强调：HL的前提是“直角三角形”，需先注明“Rt△”。练习：课本第X页练习5（HL证明）。**4.小结与作业（5分钟）**小结：HL判定的条件（直角三角形、斜边+直角边）；适用范围（仅直角三角形）。作业：①课本第X页习题7、8题（HL证明）；②选做：用HL设计一个“测量河宽”的方案（如在河对岸取一点，构造直角三角形）。**课时6：全等三角形的综合应用****一、教学目标**1.知识与技能：能综合运用全等三角形的性质与判定，解决线段相等、角相等的问题。2.过程与方法：通过“分析-推理-验证”的过程，提高综合应用能力。3.情感态度与价值观：体会全等三角形在生活中的实际应用，增强应用意识。**二、教学重难点**重点：综合运用全等三角形的知识解决问题。难点：寻找解题的突破口（如添加辅助线、转化条件）。**三、教学准备**多媒体课件（展示实际问题）、直尺、量角器。**四、教学过程****1.复习引入（5分钟）**回顾全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），提问：“如何选择合适的判定方法？”（引导学生总结：先找已知条件，再看缺什么条件，最后选判定）。**2.综合例题（20分钟）**例5（证明线段相等）：已知△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，求证BD=CD。分析：要证BD=CD，需证△ABD≌△ACD。已知AB=AC，AD是公共边，∠BAD=∠CAD（角平分线），所以用SAS判定。证明：∵AD是∠BAC的平分线（已知），∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）。在△ABD和△ACD中，\[\begin{cases}AB=AC\quad(\text{已知})\\∠BAD=∠CAD\quad(\text{已证})\\AD=AD\quad(\text{公共边})\end{cases}\]∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD=CD（全等三角形对应边相等）。例6（实际应用）：测量池塘两端A、B的距离，无法直接测量，如何用全等三角形解决？方案设计：在池塘外取一点C，连接AC、BC，分别延长AC到D，使CD=AC；延长BC到E，使CE=BC，连接DE，则DE的长度等于AB的长度。证明：在△ABC和△DEC中，\[\begin{cases}AC=DC\quad(\text{构造})\\∠ACB=∠DCE\quad(\text{对顶角相等})\\BC=EC\quad(\text{构造})\end{cases}\]∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE（全等三角形对应边相等）。**3.拓展练