2025秋湘教版数学九年级上册教案 第4章 课题：与方位角、坡度有关的应用问题

课题：与方位角、坡度有关的应用问题【学习目标】1．了解坡度、坡角、方位角的概念，学会解决相关问题．2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题．3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养应用数学的意识，渗透数形结合的思想方法．【学习重点】与坡度、方位角有关的解直角三角形的实际应用．【学习难点】建立直角三角形的模型．一、情景导入生成问题情景导入：1．如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度是h(即线段MN的长)，水平前进的距离是l(即线段PM的长度)．2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船的位置不停移动，同学们能否描述缉私艇的航线，探求其规律呢？二、自学互研生成能力eq\a\vs4\al(知识模块一坡度、坡角的概念及应用)阅读教材P127，完成下面的内容：在情景导入的图中，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝eq\f(h,l)．其中∠MPN叫作坡角(即PM与PN的夹角)，记作α．【例1】同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝eq\f(1,3)≈0.3333，所以α≈18°26′.∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)＝eq\f(23,0.3162)≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长度约为72.7米。eq\a\vs4\al(知识模块二方位角的概念及应用)阅读教材P128，完成下面的内容：试一试：如图，你能准确描述下列方向吗？OA：南偏西65°；OB：南偏东60°；OC：北偏东45°；OD：北偏西40°．归纳：在正确理解方位角的概念的基础上，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题．【例2】在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图)，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8eq\r(3)km的C处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1)∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形．∵AB＝40km，AC＝8eq\r(3)km，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(402＋（8\r(3)）2)＝16eq\r(7)(km)．∵1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴eq\f(16\r(7),80)×60＝12eq\r(7)(千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T.∵∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°.∵AC＝8eq\r(3)(km)，∴CS＝8eq\r(3)sin30°＝4eq\r(3)(km)．∴AS＝8eq\r(3)cos30°＝8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝12(km)．又∵∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°.∵AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝20eq\r(3)(km)．∴AR＝40×cos60°＝40×eq\f(1,2)＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴eq\f(ST,RT)＝eq\f(CS,BR)，eq\f(ST,ST＋20＋12)＝eq\f(4\r(3),20\r(3))，解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又∵AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km.∵19.5<AT<20.5，故轮船能够正好行至码头MN靠岸．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一坡度、坡角的概念及应用知识模块二方位角的概念及应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________