九年级数学一元一次方程复习题集

九年级数学一元一次方程复习题集前言一元一次方程是初中数学的核心基础，是建立“方程思想”、培养“数学建模能力”的起点。九年级复习中，需重点巩固基本解法、概念辨析，并强化其与实际问题、函数/不等式的综合应用。本习题集围绕“基础-能力-综合-拓展”梯度设计，覆盖中考常见考点，助力学生系统梳理、提升解题能力。一、知识梳理1.定义与标准形式一元一次方程：只含1个未知数（元），未知数次数为1，且等号两边均为整式的方程。示例：\(3x-5=0\)（是）；\(\frac{1}{x}+2=3\)（否，分式方程）；\(x^2+1=0\)（否，二次方程）。标准形式：\(ax+b=0\)（\(a\)、\(b\)为常数，\(a\neq0\)）。注：若\(a=0\)，则方程变为\(b=0\)——\(b=0\)时有无穷多解，\(b\neq0\)时无解。2.解法步骤与易错点步骤操作要点易错提醒去分母两边同乘分母最小公倍数勿漏乘常数项（如\(\frac{x}{2}+1=3\)→\(x+2=6\)）去括号分配律展开，注意符号括号前负号，括号内变号（如\(-2(x-3)=-2x+6\)）移项含未知数项左移，常数项右移移项必变号（如\(3x+5=2x-1\)→\(3x-2x=-1-5\)）合并同类项化简为\(ax=b\)形式系数相加，字母及次数不变（如\(2x+3x=5x\)）系数化为1两边同除以\(a\)（\(a\neq0\)）系数为负时，符号同步改变（如\(-3x=6\)→\(x=-2\)）3.应用类型行程问题：路程=速度×时间（相遇：\(s_甲+s_乙=s_总\)；追及：\(s_快-s_慢=s_差\)）。工程问题：工作量=效率×时间（合作：\(效率和×时间=总工作量\)，常设总工作量为1）。利润问题：利润=售价-成本；利润率=（利润/成本）×100%。浓度问题：溶质=溶液×浓度（稀释/浓缩后溶质质量不变）。二、基础巩固训练1.概念辨析（选择题）（1）下列方程中，属于一元一次方程的是（）A.\(x+y=5\)B.\(x^2-2x=0\)C.\(\frac{x}{3}-1=2\)D.\(\frac{1}{x}=3\)（2）方程\(2x-1=3\)的解是（）A.\(x=1\)B.\(x=2\)C.\(x=-1\)D.\(x=-2\)2.基本解法（填空题）（1）解\(3(x-2)=9\)，得\(x=\_\_\_\_\)。（2）解\(\frac{x-1}{2}=3\)，得\(x=\_\_\_\_\)。3.基本解法（解答题）（1）\(4x+5=2x-1\)；（2）\(\frac{2x+1}{3}-\frac{x-1}{2}=1\)。三、能力提升训练1.参数方程（解答题）（1）关于\(x\)的方程\(kx+3=2(x-1)\)有唯一解，求\(k\)的取值范围。（2）若方程\(2x+a=3(x-1)\)的解为正数，求\(a\)的取值范围。2.绝对值方程（解答题）（1）\(|3x-2|=5\)；（2）\(|x+1|=2x-1\)。3.解的条件问题（解答题）（1）若方程\(2x-1=3m\)与\(3x+2=m\)的解相同，求\(m\)的值。（2）若方程\(ax+1=2x-3\)的解为整数，求整数\(a\)的取值范围。四、综合应用训练1.行程问题（1）甲、乙两车从相距\(s\)千米的两地相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，3小时后相遇，求\(s\)。（2）小明步行上学每小时行5千米，迟到10分钟；骑车每小时行15千米，早到20分钟，求家到学校的距离。2.工程问题（1）甲单独完成一项工程需10天，乙需15天，两人合作需多少天？（2）原计划每天修120米，实际每天多修30米，提前5天完成，求工程总量。3.利润问题（1）商品进价100元，售价150元，打8折出售，求每件利润及利润率。（2）每件盈利20元时每天售50件，每降价1元多售10件，若每天盈利1200元，每件应降价多少元？4.浓度问题（1）20%的盐水500克，加多少水稀释为10%的盐水？（2）10%的盐水200克，加多少盐浓缩为20%的盐水？五、拓展探究训练1.与函数结合（1）一次函数\(y=3x+2\)与\(y=kx-1\)的交点横坐标为2，求\(k\)。（2）直线\(y=2x+b\)与x轴交于(3,0)，求方程\(2x+b=0\)的解。2.与不等式结合（1）方程\(3x-a=0\)的解大于2，求\(a\)的取值范围。（2）方程\(2x+1=m\)的解不小于-1，求\(m\)的取值范围。3.方案选择问题（1）方案一：每件25元，超过10件部分打7折；方案二：每件22元。购买多少件时方案一更划算？（2）套餐A：月租30元，通话费0.2元/分钟；套餐B：无月租，0.5元/分钟。每月通话多少分钟时套餐A更划算？六、答案与解析二、基础巩固训练1.（1）C（解析：A含两个未知数，B是二次方程，D是分式方程）；（2）B（解析：\(2x=4\)→\(x=2\)）。2.（1）5（解析：\(3x-6=9\)→\(3x=15\)→\(x=5\)）；（2）7（解析：\(x-1=6\)→\(x=7\)）。3.（1）解：移项得\(4x-2x=-1-5\)，合并得\(2x=-6\)，系数化为1得\(x=-3\)。（2）解：去分母（乘6）得\(2(2x+1)-3(x-1)=6\)，去括号得\(4x+2-3x+3=6\)，合并得\(x+5=6\)，移项得\(x=1\)。三、能力提升训练1.（1）解：整理得\((k-2)x=-5\)，有唯一解需\(k-2\neq0\)→\(k\neq2\)。（2）解：整理得\(x=3+a\)，解为正数→\(3+a>0\)→\(a>-3\)。2.（1）解：分两种情况：\(3x-2=5\)→\(x=\frac{7}{3}\)；\(3x-2=-5\)→\(x=-1\)。检验均符合，解为\(x=\frac{7}{3}\)或\(x=-1\)。（2）解：分情况讨论：\(x+1\geq0\)（\(x\geq-1\)）→\(x+1=2x-1\)→\(x=2\)（符合）；\(x+1<0\)（\(x<-1\)）→\(-(x+1)=2x-1\)→\(x=0\)（舍去）。解为\(x=2\)。3.（1）解：由\(2x-1=3m\)得\(x=\frac{3m+1}{2}\)，由\(3x+2=m\)得\(x=\frac{m-2}{3}\)，联立得\(\frac{3m+1}{2}=\frac{m-2}{3}\)→\(m=-1\)。（2）解：整理得\((a-2)x=-4\)，解为整数→\(a-2\)是-4的因数→\(a=3,1,4,0,6,-2\)。四、综合应用训练1.（1）解：\(60×3+40×3=s\)→\(s=300\)（千米）。（2）解：设距离为\(x\)千米，10分钟=1/6小时，20分钟=1/3小时，列方程\(\frac{x}{5}-\frac{1}{6}=\frac{x}{15}+\frac{1}{3}\)→\(x=\frac{15}{4}\)（千米）。2.（1）解：设合作需\(x\)天，\(\frac{1}{10}x+\frac{1}{15}x=1\)→\(x=6\)（天）。（2）解：设原计划\(x\)天完成，\(120x=150(x-5)\)→\(x=25\)，总量=120×25=3000（米）。3.（1）解：售价=150×0.8=120（元），利润=____=20（元），利润率=20/100×100%=20%。（2）解：设降价\(x\)元，\((20-x)(50+10x)=1200\)→\(x²-15x+20=0\)→\(x=\frac{15±\sqrt{145}}{2}\)（约1或14）。4.（1）解：溶质=500×20%=100（克），稀释后溶液=100÷10%=1000（克），加水=____=500（克）。（2）解：设加\(x\)克盐，\(200×10%+x=(200+x)×20%\)→\(x=25\)（克）。五、拓展探究训练1.（1）解：交点横坐标为2，代入\(y=3x+2\)得\(y=8\)，再代入\(y=kx-1\)得\(8=2k-1\)→\(k=\frac{9}{2}\)。（2）解：直线与x轴交于(3,0)，即\(y=0\)时\(x=3\)，故方程解为\(x=3\)。2.（1）解：\(x=\frac{a}{3}\)，解大于2→\(\frac{a}{3}>2\)→\(a>6\)。（2）解：\(x=\frac{m-1}{2}\)，解不小于-1→\(\frac{m-1}{2}\geq-1\)→\(m\geq-1\)。3.（1）解：设购买\(x\)件，方案一费用：\(250+17.5(x-10)\)（\(x>10\)），方案二费用：22x。列不等式\(250+17.5(x-10)<22x\)→\(x>16.67\)，故\(x\geq17\)时方案一更