开放探究题综合检测卷及答案

开放探究题综合检测卷及答案

开放探究题综合检测卷一、选择题（每题3分，共30分）1.已知一个三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可能是（）A.1B.2C.4D.82.若点\(P(x,y)\)在第二象限，且\(\vertx\vert=2\)，\(y^2=9\)，则点\(P\)的坐标是（）A.\((-2,3)\)B.\((2,-3)\)C.\((-2,-3)\)D.\((2,3)\)3.一次函数\(y=kx+b\)的图象经过点\((1,-2)\)和\((-1,4)\)，则\(k\)，\(b\)的值分别为（）A.\(k=3\)，\(b=-5\)B.\(k=-3\)，\(b=1\)C.\(k=-4\)，\(b=2\)D.\(k=4\)，\(b=-6\)4.已知\(\odotO\)的半径为\(5\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(3\)，则点\(P\)与\(\odotO\)的位置关系是（）A.点\(P\)在\(\odotO\)内B.点\(P\)在\(\odotO\)上C.点\(P\)在\(\odotO\)外D.无法确定5.把抛物线\(y=x^2\)向上平移\(2\)个单位，再向右平移\(3\)个单位，得到的抛物线解析式为（）A.\(y=(x+3)^2+2\)B.\(y=(x-3)^2+2\)C.\(y=(x+3)^2-2\)D.\(y=(x-3)^2-2\)6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形7.某班\(50\)名学生的一次数学测验成绩如下表所示：|成绩（分）|50|60|70|80|90|100||---|---|---|---|---|---|---||人数|2|3|10|15|18|2|则这次测验成绩的众数和中位数分别是（）A.90，80B.80，80C.80，90D.90，908.已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)，当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，则一次函数\(y=kx-k\)的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD:DB=1:2\)，则\(\triangleADE\)与\(\triangleABC\)的面积比为（）A.\(1:2\)B.\(1:4\)C.\(1:9\)D.\(1:16\)10.用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.七边形二、填空题（每题4分，共24分）11.分解因式：\(x^2-4=\)________________。12.若分式\(\frac{x-1}{x+2}\)的值为\(0\)，则\(x=\)________________。13.已知\(\angleA=30^{\circ}\)，则\(\angleA\)的余角是________________度。14.一个多边形的内角和是外角和的\(3\)倍，则这个多边形是________________边形。15.已知\(x_1\)，\(x_2\)是一元二次方程\(x^2-3x-1=0\)的两个根，则\(x_1+x_2=\)________________。16.观察下列一组数：\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{5}{6}\)，\(\frac{7}{8}\)，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第\(n\)个数是________________。三、解答题（共66分）17.（6分）计算：\(\sqrt{12}-4\sin60^{\circ}+(-1)^{2023}\)。18.（8分）解不等式组\(\begin{cases}3x-1\ltx+5\\\frac{x-3}{2}\geq-1\end{cases}\)，并把解集在数轴上表示出来。19.（8分）先化简，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})\div\frac{x^2+x}{x^2+2x+1}\)，其中\(x=\sqrt{2}\)。20.（10分）如图，在\(\squareABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，连接\(BE\)，\(DF\)。（1）求证：\(\triangleABE\cong\triangleCDF\)；（2）判断四边形\(BEDF\)是什么特殊四边形，并说明理由。21.（10分）为了解学生对篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球这五种球类运动的喜爱情况，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共抽取多少名学生进行问卷调查？（2）补全条形统计图，求出扇形统计图中“篮球”所对应的圆心角的度数。（3）该校共有\(2500\)名学生，请估计全校学生喜欢足球运动的人数。22.（12分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降\(1\)元，商场平均每天可多售出\(2\)件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利\(1200\)元，衬衫的单价应降多少元？23.（12分）如图，已知\(AB\)是\(\odotO\)的直径，点\(C\)在\(\odotO\)上，过点\(C\)的直线与\(AB\)的延长线交于点\(P\)，\(AC=PC\)，\(\angleCOB=2\anglePCB\)。（1）求证：\(PC\)是\(\odotO\)的切线；（2）若\(AB=4\)，求\(PC\)的长。答案一、选择题1.C解析：设第三边为\(x\)，根据三角形三边关系，\(5-3\ltx\lt5+3\)，即\(2\ltx\lt8\)，所以选C。2.A解析：因为点\(P(x,y)\)在第二象限，所以\(x\lt0\)，\(y\gt0\)。又因为\(\vertx\vert=2\)，所以\(x=-2\)；\(y^2=9\)，所以\(y=3\)，则点\(P\)坐标为\((-2,3)\)。3.B解析：把\((1,-2)\)和\((-1,4)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}k+b=-2\\-k+b=4\end{cases}\)，两式相减得\(2k=-6\)，\(k=-3\)，把\(k=-3\)代入\(k+b=-2\)得\(b=1\)。4.A解析：因为点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(3\lt\odotO\)的半径\(5\)，所以点\(P\)在\(\odotO\)内。5.B解析：抛物线\(y=x^2\)向上平移\(2\)个单位得\(y=x^2+2\)，再向右平移\(3\)个单位得\(y=(x-3)^2+2\)。6.C解析：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；正五边形是轴对称图形不是中心对称图形；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形。7.A解析：\(90\)分出现的次数最多，所以众数是\(90\)；将\(50\)个数据从小到大排列，第\(25\)、\(26\)个数据都是\(80\)，所以中位数是\(80\)。8.B解析：因为反比例函数\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)，当\(x\gt0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，所以\(k\lt0\)。对于一次函数\(y=kx-k\)，\(k\lt0\)，\(-k\gt0\)，其图象经过一、二、四象限，不经过第三象限。9.C解析：因为\(DE\parallelBC\)，\(AD:DB=1:2\)，所以\(AD:AB=1:3\)，\(\triangleADE\)与\(\triangleABC\)相似，相似比为\(1:3\)，面积比为相似比的平方，即\(1:9\)。10.D解析：用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是七边形。二、填空题11.\((x+2)(x-2)\)12.\(1\)解析：分式值为\(0\)，则分子\(x-1=0\)且分母\(x+2\neq0\)，解得\(x=1\)。13.\(60\)14.八解析：设这个多边形边数为\(n\)，由\((n-2)\times180^{\circ}=3\times360^{\circ}\)，解得\(n=8\)。15.\(3\)解析：对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq0)\)，两根之和\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，在\(x^2-3x-1=0\)中，\(a=1\)，\(b=-3\)，所以\(x_1+x_2=3\)。16.\(\frac{2n-1}{2n}\)解析：分子为\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，…，是\(2n-1\)；分母为\(2\)，\(4\)，\(6\)，\(8\)，…，是\(2n\)，所以第\(n\)个数是\(\frac{2n-1}{2n}\)。三、解答题17.解：原式\(=2\sqrt{3}-4\times\frac{\sqrt{3}}{2}+(-1)\)\(=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-1\)\(=-1\)。18.解：解不等式\(3x-1\ltx+5\)，移项得\(3x-x\lt5+1\)，\(2x\lt6\)，解得\(x\lt3\)。解不等式\(\frac{x-3}{2}\geq-1\)，两边同时乘以\(2\)得\(x-3\geq-2\)，移项得\(x\geq-2+3\)，解得\(x\geq1\)。所以不等式组的解集为\(1\leqx\lt3\)，在数轴上表示如下：（数轴略）19.解：原式\(=[\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)^2}\)\(=\frac{x^2+x-1}{(x+1)(x-1)}\times\frac{(x+1)^2}{x(x+1)}\)\(=\frac{x^2+x-1}{x(x-1)}\)。当\(x=\sqrt{2}\)时，原式\(=\frac{(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}\)\(=\frac{2+\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}\)\(=\frac{1+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}\)\(=\frac{(1+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}\)\(=\frac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2}{4-2}\)\(=\frac{4+3\sqrt{2}}{2}\)\(=2+\frac{3\sqrt{2}}{2}\)。20.（1）证明：在\(\squareABCD\)中，\(AB=CD\)，\(AD=BC\)，\(\angleA=\angleC\)。因为\(E\)，\(F\)分别是\(AD\)，\(BC\)的中点，所以\(AE=\frac{1}{2}AD\)，\(CF=\frac{1}{2}BC\)，则\(AE=CF\)。在\(\triangleABE\)和\(\triangleCDF\)中，\(\begin{cases}AB=CD\\\angleA=\angleC\\AE=CF\end{cases}\)，所以\(\triangleABE\cong\triangleCDF(SAS)\)。（2）四边形\(BEDF\)是平行四边形。理由：因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AD\parallelBC\)，\(AD=BC\)。又因为