江苏新高考理科数学试卷

江苏新高考理科数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，则集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}

B.{x|2<x<3}

C.{x|x=2}

D.∅

2.若复数z满足|z|=1，且z+2i为实数，则z等于（）

A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i

3.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[0,2]

C.(0,2)

D.R

4.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5，a₃=9，则该数列的通项公式为（）

A.aₙ=4n+1

B.aₙ=2n+3

C.aₙ=4n-3

D.aₙ=2n+5

5.抛掷两个均匀的六面骰子，记事件A为“两个骰子的点数之和为7”，则事件A的概率为（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

6.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于y轴对称，则φ的可能取值为（）

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ-π/2(k∈Z)

C.kπ+π(k∈Z)

D.kπ(k∈Z)

7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-bc，则角B等于（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.已知点P在曲线y=xe^(-x²)上运动，则点P到直线y=x的距离的最小值为（）

A.√2/4

B.1/2

C.√3/4

D.1

9.已知函数f(x)在区间[0,1]上的图像如下，则函数f(x)在[0,1]上的平均变化率为（）

（此处应有图像，假设图像为一段从(0,0)到(1,1)的直线）

A.1

B.2

C.1/2

D.3

10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间[-2,2]上的实数根的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极大值，且其图像与y轴交于点(0,1)，则下列说法正确的有（）

A.a>0

B.b=-2a

C.c=1

D.Δ=b²-4ac>0

2.在等比数列{aₙ}中，已知a₂=6，a₅=162，则下列结论正确的有（）

A.公比q=3

B.首项a₁=2

C.a₈=4374

D.数列的前n项和Sₙ=3(3ⁿ-1)

3.已知函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx，则下列说法正确的有（）

A.函数的最小正周期为π

B.函数的图像关于直线x=π/4对称

C.函数在区间[-π/2,π/2]上是增函数

D.函数的最大值为2

4.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，则△ABC的面积S的最小值为（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1时取得极值，且极值为0，则下列结论正确的有（）

A.a=e

B.f(x)在x=1时取得极大值

C.f(x)在(-∞,1)上单调递减

D.f(x)在(1,+∞)上单调递增

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=2³ˣ-3ˣ，则方程f(x)=1的解集为________。

2.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为________。

3.已知直线l：x-y+1=0与圆C：x²+y²-2x+4y-3=0交于A、B两点，则弦AB的长度为________。

4.在等差数列{aₙ}中，若a₁=10，d=-2，则该数列的前n项和Sₙ取最大值时，n的值为________。

5.已知函数f(x)=sin(x+π/3)，则函数f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x³-3x²+2。求函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。

2.已知等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₂=4，a₄=16。求该数列的通项公式及前10项和S₁₀。

3.已知函数f(x)=sin(2x-π/4)。求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间。

4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=√3，b=1，cosC=1/2。求sinA的值。

5.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1时取得极值，且极值为0。求实数a的值，并判断该极值是极大值还是极小值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题（每题1分，共10分）答案

1.A

2.B

3.D

4.B

5.A

6.A

7.C

8.A

9.A

10.C

二、多项选择题（每题4分，共20分）答案

1.B,C

2.A,B,C

3.A,B,D

4.A,B

5.A,C,D

三、填空题（每题4分，共20分）答案

1.{1}

2.3/5

3.4√2

4.6

5.3

四、计算题（每题10分，共50分）答案

1.解：f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-2)=-8，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2。故最大值为2，最小值为-8。

2.解：q=a₄/a₂=16/4=4。a₁=a₂/q=4/4=1。通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹=1*4ⁿ⁻¹=4ⁿ⁻¹。S₁₀=a₁(1-q¹⁰)/(1-q)=1*(1-4¹⁰)/(1-4)=4¹⁰/3。

3.解：f'(x)=2cos(2x-π/4)。令2cos(2x-π/4)>0，得cos(2x-π/4)>0。2x-π/4∈(2kπ-π/2,2kπ+π/2)，k∈Z。即x∈(kπ-π/8,kπ+3π/8)，k∈Z。在[0,π]上，单调递增区间为(0,3π/8)和(5π/8,π)。

4.解：由cosC=1/2，得∠C=π/3。由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinA=b*sinC/a=1*sin(π/3)/√3=√3/(2√3)=1/2。

5.解：f'(x)=e^x-a。由题意，f'(1)=e-a=0，得a=e。f''(x)=e^x。f''(1)=e>0，故x=1处取得极小值。

知识点分类和总结

1.集合与常用逻辑用语：集合的交并补运算，复数的几何意义，函数的定义域。

2.函数与导数：函数的单调性、奇偶性、周期性，函数的极值与最值，导数的几何意义和物理意义。

3.数列：等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，数列的递推关系。

4.三角函数：三角函数的定义、图像与性质，三角恒等变换，解三角形。

5.解析几何：直线与圆的方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系。

6.概率与统计：古典概型，几何概型，平均变化率。

各题型所考察学生的知识点详解及示例

1.选择题：主要考察学生对基础概念和基本运算的掌握程度，题型涵盖集合运算、复数、函数性质、数列、三角函数、解析几何、概率等多个方面。例如，第1题考察集合的交运算，第2题考察复数的几何意义，第3题考察函数的定义域，第4题考察等差数列的通项公式，第5题考察古典概型，第6题考察三角函数的对称性，第7题考察余弦定理，第8题考察函数的最值，第9题考察函数的平均变化率，第10题考察函数的零点个数。

2.多项选择题：比单项选择题难度略高，要求学生能够综合运用多个知识点进行分析和判断。例如，第1题要求学生结合导数和函数图像判断参数关系，第2题要求学生运用等比数列的性质求解，第3题要求学生判断函数的周期性和对称性，第4题要求学生结合几何知识求解最小面积，第5题要求学生判断极值类型和函数的单调性。

3.填空题：主要考察学生对基础知识的记忆和基本运算的熟练程度，题型较为简洁，但要求学生准确无误。例如，第1题考察指数方程的求解，第2题考察余弦定理的应用，第3题考察直线与圆的位置关系，第4题考察等差数列的性质，第5题考察三角函数的零点。

4.计算题：综合性较强，要求学生能够运用所学知识解决较为复杂的问题，题型覆盖面广，难度较大。例如，第1题要求学生结合导数和函数值求解最值，第2题要求学生运用等比数列的性质求解通项公式和前n项和，第3题要求学生结合三角恒等变换和不等式求解单调区间，第4题要求学生运用正弦定理求解三角函数值，第5题要求学生结合导数和极值定义求解参数值和极值类型。

示例

1.选择题示例：已知函数f(x)=x²-2x+3，则f(1)的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解：f(1)=1²-2*1+3=1-2+3=2。故选B。

2.多项选择题示例：已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=2，d=3，则下列说法正确的有（）

A.a₅=14

B.S₁₀=165

C.aₙ=3n-1

D.Sₙ=n(n+1)

答案：A,B,C

解：a₅=a₁+4d=2+4*3=14。故A正确。S₁₀=10*2+(10*9)*3/2=20+135=155。故B错误。aₙ=a₁+(n-1)d=2+(n-1)*3=3n-1。故C正确。Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=n(2+3n-1)/2=n(3n+1)/2。故D错误。故选A,C。

3.填空题示例：已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则函数f(x)在区间[0,π]上的零点个数为________。

答案：3

解：令sin(2x+π/3)=0，得2x+π/3=kπ，k∈Z。x=(kπ-π/3)/2。在[0,π]上，k=0时，x=-π/6（舍去）；k=1时，x=π/3