2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2创新应用课下能力提升（八）

课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)πB.eqB.\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,3)))eq\s\up12(3)πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)πD.eqD.eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up12(3)π2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm题组2成本最低(费用最省)问题3．做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为()A．6mB．8mC．4mD．2m4．某公司一年购买某种货物2000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为eq\f(1,2)x2万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝________．5．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是P＝eq\f(1,19200)v4－eq\f(1,160)v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题组3利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．[能力提升综合练]1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.eq\r(3,V)B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)3．某厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A．32m，16mB．30m，15mC．40m，20mD．36m，18m4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．3005．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________cm.6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝eq\f(a,x2＋b)(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．答案题组1面积、体积的最值问题1．解析：选A设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝eq\f(l－4r,2)，V＝πr2h＝eq\f(1,2)πr2l－2πr3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<r<\f(l,4))).则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f(l,6)，而r>0，∴r＝eq\f(l,6)是其唯一的极值点．当r＝eq\f(l,6)时，V取得最大值，最大值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,6)))eq\s\up12(3)π.2．解析：选B设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积Vcm3.由题意，得V＝x(48－2x)2(0<x<24)，V′＝12(x－24)(x－8)，令V′＝0，得x＝8或x＝24(舍去)．当x∈(0，8)时，V′>0；当x∈(8，24)时，V′<0.∴当x＝8时，V取得最大值．题组2成本最低(费用最省)问题3．解析：选C设底面边长为xm，高为hm，则有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面积设为Sm2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0，得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．4．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝eq\f(2000,x)，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋eq\f(1,2)x2＝eq\f(8000,x)＋eq\f(1,2)x2，令f′(x)＝x－eq\f(8000,x2)＝0，解得x＝20.且当0<x<20时f′(x)<0，当x>20时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．答案：205．解：(1)Q＝P·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v4－\f(1,160)v3＋15v))·eq\f(400,v)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,19200)v3－\f(1,160)v2＋15))·400＝eq\f(v3,48)－eq\f(5,2)v2＋6000(0<v≤100)．(2)Q′＝eq\f(v2,16)－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，当0<v<80时，Q′<0；当80<v≤100时，Q′>0，∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝eq\f(2000,3)(元)．题组3利润最大问题6．解析：选C因为y′＝－x2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0，9)时，y′>0，所以函数y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．7．解析：选D设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．8．解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0，所以当x＝0.032时，y取得最大值．答案：0.0329．解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8，11]．(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，令L′(x)＝0得x＝12或x＝eq\f(26,3)，由于x∈[8，11]，所以取x＝eq\f(26,3)，当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(26,3)))时，L′(x)>0；x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(26,3)，11))时，L′(x)<0，所以当x＝eq\f(26,3)时，L(x)在[8，11]上取得极大值，也是最大值，Leq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(26,3)))＝eq\f(500,27)(万元)．故当每件售价为eq\f(26,3)元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是eq\f(500,27)万元．[能力提升综合练]1．解析：选B设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.所以当x＝4时，y最小．2．解析：选C设底面边长为x，高为h，∴eq\f(\r(3),4)x2·h＝V，∴h＝eq\f(4V,\r(3)x2)＝eq\f(4\r(3)V,3x2).∴S表＝2·eq\f(\r(3),4)x2＋3x·h＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，S′(x)＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)，令S′(x)＝0可得eq\r(3)x＝eq\f(4\r(3)V,x2)，x3＝4V，x＝eq\r(3,4V).当0<x<eq\r(3,4V)时，S′(x)<0；当x>eq\r(3,4V)时，S′(x)>0，∴当x＝eq\r(3,4V)时，S(x)最小．3．解析：选A设建堆料场与原墙平行的一边边长为xm，其他两边边长为ym，则xy＝512，堆料场的新砌墙的长l＝x＋2y＝eq\f(512,y)＋2y(y>0)，令l′＝－eq\f(512,y2)＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当0<y<16时，l′<0；当y>16时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝eq\f(512,16)＝32.4．解析：选D由题意可得总利润P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大．5．解析：设高为h，则底面半径r＝eq\r(400－h2)，0<h<20，V＝eq\f(1,3)π·r2·h＝eq\f(1,3)π·(400－h2)·h＝eq\f(400,3)πh－eq\f(π,3)h3.由V′＝eq\f(400,3)π－πh2＝0得h2＝eq\f(400,3)，h＝eq\f(20\r(3),3)或h＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)，因为当0<h<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0，当h>eq\f(20\r(3),3)时，V′<0，所以当h＝eq\f(20\r(3),3)时，V最大．答案：eq\f(20\r(3),3)6．解析：设CD＝x，则点C坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，0))，点B坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))，∴矩形ACBD的面积S＝f(x)＝x·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))\s\up12(2)))＝－eq\f(x3,4)＋x，x∈(0，2)．由f′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1＝0，得x1＝－eq\f(2\r(3),3)(舍)，x2＝eq\f(2\r(3),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)))时，f′(x)>0，f(x)是递增的，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))时，f′(x)<0，f(x)是递减的，∴当x＝eq\f(2\r(3),3)时，f(x)取最大值eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)7．解：(1)由题意得，所获得的利润为y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－2（3x＋8）（x－6）,x).当4≤x<6时，y′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6<x≤12时，y′＜0，函数在(6，12]上为减函数，所以当x＝6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(万元)．故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln6－78)万元．8．解：(1)由题意知，M点的坐标为(5，40)，N点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C的方程y＝eq\f(a,x2＋b)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40＝\f(a,52＋b)，,2.5＝\f(a,202＋b).))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1000，,b＝0.))(2)①由(1)知曲线C的方程为y＝eq\f(1000,x2)(5≤x≤20)，y′＝－eq\f(2000,x3)，所以y′eq\a\vs4\al(|)x＝t＝－eq\f(2000,t3)即为l的斜率．又当x＝t时，y＝eq\f(1000,t2)，所以P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1000,t2)))，所以l的方程为y－eq\f(1000,t2)＝－eq\f(2000,t3)(x－t)．令x＝0，得y