1.4 用一元二次方程解决问题（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册1.4用一元二次方程解决问题

第一章

一元二次方程章节导读学

习

目

标12能由实际问题抽象出一元二次方程，掌握用一元二次方程解决问题的一般步骤能用一元二次方程解决图形面积问题、增长率问题、商品销售问题、动态几何问题、数字问题等知识回顾1.用一元一次方程解决问题的一般步骤：步骤注意点（一）审审题，明确已知未知，找出等量关系等量关系关键句中找（二）设设未知数一般要带单位（三）列根据等量关系列方程方程两边单位要统一（四）解选择合适的方法解方程一般不必写出解方程的过程（五）验检验未知数的值是否满足方程，检验该值在实际问题中是否有意义若不符合实际意义，要舍去（六）答写出实际问题的答案注意带上单位新知探究知识要点类似地，用一元二次方程解决问题的一般步骤：步骤注意点（一）审审题，明确已知未知，找出等量关系等量关系关键句中找（二）设设未知数一般要带单位（三）列根据等量关系列方程方程两边单位要统一（四）解选择合适的方法解方程一般不必写出解方程的过程（五）验检验未知数的值是否满足方程，检验该值在实际问题中是否有意义若不符合实际意义，要舍去（六）答写出实际问题的答案注意带上单位典例分析图形面积典例1

如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪。要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。如果设小路宽为x

m，根据题意，所列的方程为_______________________。【分析】等量关系：草坪的面积为540m2解：∵小路宽为x

m，∴种植草坪的部分可合成长为(38

-

x

)m，宽为(20-

x

)m的矩形，由题意可得：(20-

x

)(38

-

x

)=

540。(20-

x

)(38

-

x

)=

540新知探究知识要点

原数量第一轮第二轮aa(1+x)a(1+x)2典例分析增长率

典例2

小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________________。第一天揽件数（单位：件）第二天揽件数（单位：件）第三天揽件数（单位：件）200200(1+x

)242200(1+x

)2【分析】等量关系：200(1+x

)2=242200(1+x

)2=242新知探究知识要点

原数量第一轮第二轮aa(1-x)a(1-x)2典例分析下降率

典例3

某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元。若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为___________________。原价（单位：元/块）经第一次降价后的价格（单位：元/块）经第二次降价后的价格（单位：元/块）256256(1+x

)196256(1-x

)2【分析】等量关系：256(1-x

)2

=196256(1-x

)2=196典例分析商品销售

典例4

某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，该小家电定价是____________元。【分析】等量关系：每个的销售利润

×

销售数量

=

总利润2160元解：设该小家电定价时x元，则每个的销售利润为(x

-

40)元，可销售[

200

-

10(x

-

50)]个，由题意可得：(x

-

40)[

200

-

10(x

-

50)]

=

2160，整理得：x2

-

110x

+

3016

=

0，解得：x1

=

52，x2

=

58，经检验，两解都成立，答：该小家电定价是52元或58元。52或58典例分析动态几何

典例5

如图，在Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

12cm，BC

=

9cm。现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。设运动的时间为t

s，当t为何值时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？

典例分析数字

典例6

一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则可列方程为_____________________________。解：由题意可得：十位数字是(x

+

4)，这个两位数是[10(x

+

4

)+

x

]，∴x2

+

(x

+

4)2

=

10(x

+

4)+

x

-

4。【分析】等量关系：(个位数字)2+(十位数字)2=这个两位数-4x2

+(x

+

4)2

=

10(x

+

4)+

x

-

4题型探究【例1】如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米。（围栏宽忽略不计）(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；(2)每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由。图形面积问题题型一

【分析】(1)等量关系：生态园的面积为48平方米题型探究【例1】如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米。（围栏宽忽略不计）(1)每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长；(2)每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由。图形面积问题题型一

【分析】(2)等量关系：生态园的面积为60平方米题型探究增长率/下降率问题题型二【例2】(1)某网络学习平台2022年的新注册用户数为100万，2024年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x

(x>0)，则x

=_______；2022年的用户数（单位：万）2023年的用户数（单位：万）2024年的用户数（单位：万）100100(1+x

)169100(1+x

)2解：(1)由题意可得：100(1+x

)2

=

169，解得：x1

=

0.3

=

30%，x2

=

-2.3（不合题意，舍去）。【分析】(1)等量关系：100(1+x

)2

=

16930%题型探究增长率/下降率问题题型二【例2】(2)某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是_______。原价（单位：元/件）经第一次降价后的价格（单位：元/件）经第二次降价后的价格（单位：元/件）7575(1-x

)4875(1-x

)2解：(2)设平均每次的降价百分率是x，由题意可得：75(1-x

)2

=48，解得：x1

=

0.2=20%，x2

=1.8（不合题意，舍去），∴平均每次的降价百分率是20%。【分析】(2)等量关系：75(1-x)2=4820%题型探究商品销售问题题型三【例3】某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元。甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个。乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个。假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数。(1)当甲的售价提高x元，乙的售价为__________元；（用含x的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？

题型探究商品销售问题题型三

【分析】(2)等量关系：甲的销售利润

×

甲的销售数量+乙的销售利润

×

乙的销售数量

=

总利润268元

题型探究动态几何问题题型四

题型探究动态几何问题题型四

题型探究动态几何问题题型四

题型探究数字问题题型五【例5】一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？解：设个位数字为x，则十位数字是(x

-

3)，这个两位数是[10(x

-

3)+

x]，由题意可得：x2

=

10

(x

-

3)+

x，整理得：x2

-

11x

+

30

=

0，解得：x1

=

5，x2

=

6，当x

=

5时，x

-

3

=

2，则这个两位数是25；当x

=6时，x

-

3

=3，则这个两位数是36；答：这个两位数是25或36。【分析】等量关系：