2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第4节　直线、平面垂直的判定与性质

第4节直线、平面垂直的判定与性质【课标要求】（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；（2）掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.知识点一直线与平面垂直1.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直m，n⊂αm性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥结论（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；（2）垂直于同一条直线的两个平面平行；（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直；（4）三垂线定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥CO，则l⊥PC；（5）三垂线定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α内的射影为CO，l⊂α，l⊥PC，则l⊥CO.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE.证明：（1）在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的常用方法及关键（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；④面面垂直的性质；（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.练1（1）（人A必修二P162习题1（2）题改编）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.（1）解析：Bn⊂α，m⊥nm⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.（2）证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，∴EF⊥平面A1C1D， ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D， ②由①②可知EF∥BD1.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直a⊂αa⊥性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂β结论两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.（2023·全国甲卷文18题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；解：（1）证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC.因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.因为AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.（2）设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高.解：（2）如图，取棱AA1的中点D，连接BD，CD.因为AB＝A1B，所以AA1⊥BD.因为BC⊥平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AA1.因为BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BCD，所以AA1⊥平面BCD.因为CD⊂平面BCD，所以AA1⊥CD.因为AA1∥CC1，所以CD⊥CC1.又因为CD⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.因为AA1＝2，所以CD＝1.易知AA1∥平面BB1C1C，所以四棱锥A1-BB1C1C的高为CD＝1.规律方法1.判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定义；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.2.已知面面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.练2（1）（苏教必修二P195练习4题改编）已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是（D）A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β解析：（1）α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；当a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β，又b⊂α，所以α⊥β，故D正确.（2）〔多选〕（人A必修二P165习题20题改编）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是（ABD）A.BC⊥平面PAC B.AE⊥EFC.AC⊥PB D.平面AEF⊥平面PBC解析：（2）对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质，可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；对于B，由A项可知，BC⊥AE，由题意可知，AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，若AC⊥PB，因为AC⊥BC，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PBC，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理，可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确.故选A、B、D.提能点平行与垂直的综合问题（2025·石家庄模拟）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点.（1）若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点；解：（1）证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点.又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1，所以OE∥BD1.又因为O为AD1的中点，所以E为AB的中点.（2）在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.解：（2）存在点E，当AE＝12时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下设AC∩DE＝F，因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD，又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D，所以D1D⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，当AE＝12时，在Rt△ADE中tan∠ADE＝AEAD＝1在Rt△ABC中，tan∠BAC＝BCAB＝1所以∠ADE＝∠BAC，又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，所以∠ADE＋∠DAC＝90°，则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE，又因为DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE.又因为AC⊂平面AD1C，所以平面D1DE⊥平面AD1C.规律方法1.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.练3（2023·全国乙卷文19题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，PB＝PC＝6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.（1）求证：EF∥平面ADO；（2）若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积.解：（1）证明：因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝22，O是BC的中点，所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA，所以∠HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF，故CF＝AF，所以F是AC的中点.因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC.因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO，所以EF∥平面ADO.（2）由（1）得FO∥AB，因为AB⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC，所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角，所以二面角P-BC-F的大小为120°.如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，MB，则∠POM是二面角P-BC-M的平面角，所以∠POM＝60°.在△PBC中，由PB＝PC＝6，BC＝22，得PO＝2，所以PM＝3.所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝13S△ABC×PM＝13×12×2×22×3一、单项选择题1.（2024·天津高考6题）若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m⊥nB.若m∥α，n∥α，则m∥nC.若m∥α，n⊥α，则m⊥nD.若m∥α，n⊥α，则m与n相交解析：C对于A、B，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故A、B错误；对于C、D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，m与n可能相交垂直，也可能异面垂直，故C正确，D错误.2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（）A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析：A连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.3.已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为26πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（A.33 B.C.32 D.解析：A设圆锥的高为h，则由题意可得，V＝13πr2h＝26πr3，解得ℎr＝22，所以母线与底面所成角的正切值为22，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为4.（2025·景德镇开学考试）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的是（）A.若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥nB.若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nC.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n解析：C由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正确；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因为n∥β，则m⊥n，故B正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故C错误；如图，设α∩β＝l，在平面β内作直线c⊥l，又因为α⊥β，则c⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因为n⊥β，c⊂β，所以n⊥c，从而有m⊥n，故D正确.5.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定解析：B作AE⊥BD，交BD于E，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，又∵AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ABD，∴BC⊥平面ABD，而AB⊂平面ABD，∴BC⊥AB，即△ABC为直角三角形.6.（2025·东营模拟）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN（）A.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条解析：D如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE.因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN.所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条.7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的中点，点F在BB1上，记B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（）A.13 B.C.23 D.解析：D由题意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于点F（如图），连接FC1，A1B，此时AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四边形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D为A1B1的中点，所以F为BB1的中点，所以B1F＝BF，因为B1F＝λBF，所以λ＝1.二、多项选择题8.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）解析：BD对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.9.（2025·武汉模拟）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，PB的中点，则下列结论正确的是（）A.CD⊥PDB.AB⊥PCC.平面PBD⊥平面PACD.E，F，C，D四点共面解析：AD如图所示，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正确；因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB与PC不垂直，故B错误；因为底面ABCD是矩形，所以BD与AC不一定垂直，则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；因为点E，F分别是棱PA，PB的中点，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F，C，D四点共面，故D正确.三、填空题10.（2025·泉州质检）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足BM⊥PC（或DM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD.解析：由题知△PAB≌△PAD，所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，当BM⊥PC时，则有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，此时PC⊥平面MBD，PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.11.如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱CG，DH，EH，FG（任选一个作答）所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.（注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况）解析：如图，结合平面图形还原出正方体，结合正方体性质易知，棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.12.（2025·威海模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分别是线段BS，AD的中点，点R在线段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，则AR＝455解析：如图，取SA的中点E，连接PE，QE.∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴SA⊥AB，而AB⊥AD，AD∩SA＝A，AD，SA⊂平面SAD，∴AB⊥平面SAD，故PE⊥平面SAD，又AR⊂平面SAD，∴PE⊥AR.又∵AR⊥PQ，PE∩PQ＝P，PE，PQ⊂平面PEQ，∴AR⊥平面PEQ，∵EQ⊂平面PEQ，∴AR⊥EQ，∵E，Q分别为SA，AD的中点，∴EQ∥SD，则AR⊥SD，在Rt△ASD中，AS＝4，AD＝2，可求得SD＝25，由等面积法可得AR＝455四、解答题13.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥PC.（1）求证：AD⊥平面PDC；（2）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.证明：（1）在平面PCD中过点D作DH⊥DC，交PC于H，因为平面ABCD⊥平面PCD，DH⊂平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，所以DH⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以DH⊥AD，又AD⊥PC，且PC∩DH＝H，PC，DH⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD.（2）法一假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC，显然F与点C不重合，所以P，M，F，C四点共面于α，所以FC⊂α，PM⊂α，所以B∈FC⊂α，A∈PM⊂α，所以α就是点A，B，C确定的平面，所以P∈α，这与P-ABCD为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证.法二假设棱BC上存在点F，使得MF∥PC，连接AC，取其中点N，在△PAC中，因为M，N分别为PA，CA的中点，所以MN∥PC，因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以MF与MN重合，所以点F在线段AC上，所以F是AC，BC的交点C，即MF就是MC，而MC与PC相交，矛盾，所以假设错误，问题得证.14.在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.（1）在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由；（2）若△PCD的面积为87，求四棱锥P-ABCD的体积.解：（1）存在，当M为AD的中点时，平面PCM⊥平面ABCD.证明：取AD的中点M，连接CM，PM，由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，由平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，可得PM⊥平面ABCD，由PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.（2）设AB＝a，可得BC＝a，AD＝2a，由（1）可得MC＝AB＝MD＝a，则CD＝2a，PD＝2a，PM＝3a，由PM⊥MC，可得PC＝PM2＋MC2由S△PCD＝12·2a·4a2－12a2＝72a2所以四棱锥P-ABCD的体积V＝13S四边形ABCD·PM＝13×12×（4＋8）×4×43＝15.刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，