2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第8节　正弦定理和余弦定理的综合应用

第8节正弦定理和余弦定理的综合应用高中总复习·数学课标要求

正弦定理和余弦定理的综合应用是高考命题的热点，主要包括与三角形有关的证明问题、平面图形中的计算问题及三角形中的三线问题等.目录CONTENTS提能点1与三角形有关的证明问题01.提能点2平面多边形中的计算问题02.提能点3三角形中的三线问题03.课时跟踪检测04.PART01提能点1与三角形有关的证明问题

（2025·安徽质量联合检测）在△ABC中，A，B，C所对的边分别

是a，b，c.（1）请用正弦定理证明：若a＞b，则A＞B；

（2）请用余弦定理证明：若A＞B，则a＞b.

规律方法证明与三角形有关等（不等）式的一般思路（1）利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等（不等）式

转化为以角为研究对象的三角等（不等）式或以边为研究对象的代数等

（不等）式；（2）充分利用三角形中隐含条件：①A＋B＋C＝π；②A＞B⇔sin

A＞

sin

B；③a－b＜c＜a＋b及三角函数的性质、三角恒等变换公式等推导

证明.练1（2022·全国乙卷文17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，已知sin

C

sin（A－B）＝sin

B

sin（C－A）.（1）若A＝2B，求C；

（2）证明：2a2＝b2＋c2.

法二因为A＋B＋C＝π，所以

sin

C

sin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2A

cos2B－

cos2A

sin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin

2B，sin

B

sin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A，又sin

C

sin（A－B）＝sin

B

sin（C－A），所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.PART02提能点2平面多边形中的计算问题

（2025·梅州一模）如图，在四边形ABCD中，AB2＋BC2＋

AB·BC＝AC2.（1）若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；

解得θ＝45°，即∠ACB＝45°.规律方法利用正、余弦定理解决平面多边形问题的策略（1）将所给平面多边形分拆成若干个三角形，然后在各个三角形内利用

正、余弦定理建立边角关系进行求解；（2）充分注意各个三角形之间的联系，特别是公共边、邻角之间的等量

关系，交叉使用公共条件进行求解；（3）注意三角形相似、平行四边形性质等几何结论的应用；（4）注意方程思想的灵活运用，通过设出未知变量，建立方程进行求解.

（1）求sin∠BCE的值；

（2）求CD的长.

PART03提能点3三角形中的三线问题角度1

三角形的角平分线问题

（1）（2024·南充诊断）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别

为a，b，c，已知b＝2，c＝4，∠BAC的平分线交边BC于点D，且AD

＝2，则cos∠BAC＝

⁠；

（2）在△ABC中，A＝2B，AC＝9，BC＝12，CD平分∠ACB交AB于

点D，则BD的长度为

⁠.

4

规律方法

角平分线是平面几何的一个重要特征，解题方法主要有两种，一是利

用角平分线定理，找边之间的关系；二是角平分线把三角形分成两个三角

形，利用等面积法求解.角度2

三角形的中线问题

（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则

BC＝（

B

）A.

2

B.4

C.

2

D.4

B

（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为

AC边上的中线，BD＝2，且a

cos

C－2b

cos

B＋c

cos

A＝0，则△ABC的面

积为

⁠.

规律方法三角形的中线问题的解题策略（1）可根据两角互补或面积相等用正、余弦定理建立方程求解；

（3）利用中线长定理求解.角度3

三角形的高线问题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，

△ABC三边上的高之比为2∶3∶4.（1）求cos

C的值；

（2）若E为边AC上一点，∠CEB＝30°，BC＝3，求BE的长.

规律方法利用三角形高线解三角形的一般思路（1）构建直角三角形；

（3）三角形三条高线交于一点（此点为该三角形的垂心）；（4）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边

长度.

（2）设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是∠ACB的

角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长.注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

PART04课时跟踪检测

A.

B.

C.

D.

12345678√

A.1B.

C.2D.3√12345678

123456783.

（2025·聊城二模）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，B

＝2D＝120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2－S1＝（

）A.2B.

C.1D.

√12345678

12345678

A.

AB＝8B.

＝

C.

AB＝6D.△ABD的面积为

√√√12345678

12345678

12345678

12345678

12345678（2）若CD＝CB＝2，求△ABC的面积.

12345678

12345678

12345678（2）设点E为AD的中点，求BE的长.

12345678

123456788.

（2025·东营模拟）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的