2023-2024学年深圳理工大学附属实验高级中学高一（上）10月月考数学试题含答案

试题试题2023-2024学年度高中数学10月月考卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合，，，则A. B. C. D.2.若，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知集合，，若，则实数的满足（）A. B. C. D.5.集合的真子集的个数是（）A.15 B.8 C.7 D.46.下列四个关系中，正确的是A. B. C. D.7.已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（）A B.C. D.8.设，则的最小值是（）A. B. C. D.二、多选题9.已知，，下列关系正确的是（）A. B.C D.10.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.611.下列四个命题中真命题为（）A.∀x∈R，2x2－3x＋4>0B.∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0C.∃x∈N*，x为29的约数D.对实数m，命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0.命题q：m≥3.则p是q的必要不充分条件12.若，，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.若，则a的值是___．14.若，则的最小值为___________.15.已知命题，写出命题的否定___________16.已知，则的取值范围是___________.四、解答题17.设.（1）当时，比较的大小；（2）当时，比较的大小.18已知集合.（1）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.19.设集合.（1）当时，求的非空真子集的个数；（2）若，求的取值范围.20.设集合，.（1）当时，求（2）若，求m的取值范围.21.（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最小值；（3）已知，求的最大值.22.为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.（1）试求关于函数解析式；（2）公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.2023-2024学年度高中数学10月月考卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知集合，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】，，，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2.若，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对于取特殊值验证即可判断；对于，根据不等式的性质即可判断；对于，令，即可判断.【详解】若，满足，但，故错误；，，则有，即，故正确；，当时，，故错误；当时，，故错误，故选：3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】由，得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知集合，，若，则实数的满足（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件得出关于的不等式，从而可得出正确选项.【详解】，，且，因此，.故选D.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，对于无限数集之间的包含关系，可结合数轴来理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5.集合的真子集的个数是（）A.15 B.8 C.7 D.4【答案】C【解析】【分析】根据具有个元素的集合，其真子集的个数为个，计算即可得出答案．【详解】因为，所以的真子集的个数是，故选：C.6.下列四个关系中，正确的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合与元素的关系和集合与集合的关系可以选出正确答案.【详解】元素与集合是属于关系，故A对，C、D错误，而之间是包含关系，所以B错误，故本题选A.【点睛】本题考查了元素与集合之间以及集合与集合之间关系，掌握属于关系和包含关系是解题的关键.7.已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交并补的定义，结合图即可求解.【详解】因为或，或，所以或或或，或或或.由题意可知阴影部分对于的集合为，所以，或.故选：D.8.设，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用1的代换化成，然后展开利用基本不等式求解即可.【详解】∵，∴，∴，∵，∴（当且仅当时取等号），∴，故当时，的最小值为．故选D．【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查“1”的代换和计算能力，属于中档题.二、多选题9.已知，，下列关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据集合A、B的特征，结合元素与集合的关系进行判断．【详解】∵是数集；为点集，∴，，，故A错误，C、D正确；由知，时，∴,，故B错误．故选：CD．10.若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】BCD【解析】【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，∴实数a的值可以是4，5，6．故选：BCD．11.下列四个命题中真命题为（）A.∀x∈R，2x2－3x＋4>0B.∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0C.∃x∈N*，x为29的约数D.对实数m，命题p：∀x∈R，x2－4x＋2m≥0.命题q：m≥3.则p是q必要不充分条件【答案】ACD【解析】【分析】A利用配方即可判断，B取代入判断；C利用约数概念进行理解判断，D命题p可得，结合充分、必要条件的概念加以判断．【详解】，A正确；∵，则，B不正确；29的约数有1和29，C正确；∀x∈R，x2－4x＋2m≥0，则，即p是q的必要不充分条件，D正确；故选：ACD．12.若，，，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误.【详解】因为，，，对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，取，，得，故D错误.故选：ABC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.若，则a的值是___．【答案】【解析】【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案.【详解】由于，所以或，解得或.当时，不满足集合元素的互异性；当时，集合为，符合题意.所以的值为.故答案为：14.若，则的最小值为___________.【答案】0【解析】【分析】构造，利用基本不等式计算即可得出结果.详解】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：015.已知命题，写出命题否定___________【答案】【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，解答即可.【详解】命题，则.故答案为：.16.已知，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】先用已知表示所求式子，再根据不等式的性质求得正确答案.【详解】设，所以，解得，所以，，所以，即的取值范围是.故答案为：四、解答题17.设.（1）当时，比较的大小；（2）当时，比较的大小.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用作差法比较的大小；（2），再对分类讨论得解.【详解】（1）当时，，则，所以.（2），①当时，，则；②当时，，则；③当时，，则.【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知集合.（1）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）的值为或者，当时，；当时，.（2）【解析】【分析】（1）谈论和两种情况，当时，，解出即可；（2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得.【小问1详解】当，集合，当时，，解得此时，综上可知，的值为或者，当时，；当时，.【小问2详解】当集合中无元素时，方程无解，则且，解得，又当中只有一个元素时，或者故中至多有一个元素时，的范围为或者，所以的取值范围为19.设集合.（1）当时，求的非空真子集的个数；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）254（2）【解析】分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.【小问1详解】由题知，，当时，共8个元素，的非空真子集的个数为个；【小问2详解】由题知，显然，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是.20.设集合，.（1）当时，求.（2）若，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入相应集合，并结合交集与并集的概念即可求解.（2）由题意，这里要注意对集合分两种情形讨论：集合为空集或者集合不为空集，然后相应去求解即可.【小问1详解】当时,,又因为，所以【小问2详解】若,则分以下两种情形讨论：情形一：当集合为空集时，有，解不等式得.情形二：当集合不为空集时，由以上情形以可知，此时首先有，其次若要保证，在数轴上画出集合如下图所示：由图可知，解得；结合可知.综合以上两种情形可知：m的取值范围为.21.（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最小值；（3）已知，求的最大值.【答案】（1）4；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据基本不等式求解即可；（2）配凑再根据基本不等式求解即可；（3）根据结合基本不等式求解即可【详解】（1）因为，故，当且仅当，即时取等号.故的最小值为4；（2）因为，故，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为；（3）因为，故，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.22.为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.（1）试求关于的函数