2026年高考数学一轮复习三维设计创新-第10节　函数模型的应用

第10节函数模型的应用高中总复习·数学课标要求

（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异；（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义；（3）能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.目录CONTENTS知识点一用函数图象刻画变化过程01.知识点二已知函数模型解决实际问题02.课时跟踪检测03.PART01知识点一用函数图象刻画变化过程

三种函数模型的性质

函数性质

y＝ax（a＞1）y＝logax（a＞1）y＝xα（α＞0）在（0，＋∞）上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐

表现为与

⁠

⁠平行随x的增大逐渐

表现为与

⁠

⁠平行随α值的变化而

各有不同y

轴

x

轴

（1）（人A必修一P139练习4题改编）在一次实验中，某小组测得一

组数据（xi，yi）（i＝1，2，…，11），并由实验数据得到散点图.由此

散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型（a，b为待定系数）

中，最能反映x，y函数关系的是（

B

）A.

y＝a＋bxB.

y＝a＋bxC.

y＝a＋logbxD.

y＝a＋

B解析：由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.（2）（2025·西安模拟）高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（

B

）B解析：由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f（h）是个增函数，故排除A、C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗上面细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢，所以B正确.规律方法用函数图象刻画变化过程的2种方法（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模

型，再结合模型选图象；（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变

化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情

况的答案.练1（1）已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向

A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）

的图象是（

D

）

D（2）〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人

体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低

中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相

关信息如图所示，A.

首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B.

每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中

毒C.

首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药

物持续发挥治疗作用D.

首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物

中毒根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是

（

ABC

）ABC解析：从图象可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.PART02知识点二已知函数模型解决实际问题

几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）反比例函数模型f（x）＝

＋b（k，b为常数，k≠0）指数函数模型f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，

b≠0）对数函数模型f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且

a≠1，b≠0）幂函数模型f（x）＝axα＋b（a，b，α为常数，a≠0，α≠0）

A.

3N2＝2N1B.2N2＝3N1C.

＝

D.

＝

D

CA.32天B.33天C.34天D.35天

规律方法已知函数模型解决实际问题的关键（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；（2）根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数；（3）利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行

检验.

A.120

dBB.100

dBC.80

dBD.60

dB√

（1）“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水

面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏

时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20

m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每

一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6

m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳

次数为（参考数据：lg

2≈0.3，lg

3≈0.48，lg

17≈1.23）（

C

）A.6B.7C.8D.9C提能点构建函数模型解决实际问题

（2）某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200

kg，每千克饲

料的价格为1.8元，饲料的保管费用与其他费用为平均每千克每天0.03

元，购买饲料每次支付运费300元.则该场

⁠天购买一次饲料才能使平

均每天支付的总费用最少.10

规律方法构建函数模型解决实际问题的步骤（1）建模：抽象出实际问题的数学模型；（2）推理、运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数

学意义上的解；（3）评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，

然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.

A.4年B.5年C.6年D.8年B

PART03课时跟踪检测一、单项选择题1.

（2025·内江模拟）现有一组关于速度v（单位：m/s）与时间t（单

位：s）的实验数据如表：t2.03.04.05.16.18v1.54.027.51218.3用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个

是（

）A.

v＝log2tB.

v＝lo

tC.

v＝

D.

v＝2t－2√123456789101112解析：

从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意，C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意.1234567891011122.

（2025·衡阳一模）有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中

因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘.假设货船在静水中

的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x（小

时），货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间

函数关系的大致图象是（

）解析：分析图象可知选项A正确.故选A.

√123456789101112

A.

倍B.10

倍C.10倍D.ln

倍√

123456789101112

A.

[4，8]B.[6，10]C.

[4%，8%]D.[6%，10%]

√1234567891011125.

（2025·福州模拟）当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以

每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余

量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800

mg药品A和

500

mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间

约为（参考数据：lg

2≈0.301，lg

3≈0.477）（

）A.0.57

hB.1.36

hC.2.58

hD.3.26

h√123456789101112

123456789101112二、多项选择题6.

（2025·宝鸡一模）某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费

满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在

该商场消费.抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y（元）的关系

式为y＝eax＋b＋k，3等奖比4等奖的面值多100元，比5等奖的面值多120

元，且4等奖的面值是5等奖的面值的3倍，则（

）A.

a＝－ln

5B.

k＝15C.1等奖的面值为3

130元D.3等奖的面值为130元√√√123456789101112

123456789101112

声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040123456789101112A.

p1≥p2B.

p2＞10p3C.

p3＝100p0D.

p1≤100p2

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10

m处测得实际声压分别

为p1，p2，p3，则（

）√√√123456789101112三、填空题8.

某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示.房子的高度为3

m，占地面积为6

m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体

ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2

000元.则一个

这样的简易工作房的总造价最低为

元.

4

880

123456789101112

1234567891011129.

（2025·葫芦岛一模）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购

买套票，现有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票

价打9折，若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7

折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5

000元减1

000元.已知

一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总

费用的最小值为

元.11

710

123456789101112

12345678910111210.

（2025·海南模拟）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸

福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工

厂产生的废气中污染物的含量为1.2

mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染

物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超

过0.2

mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的

次数至少为（参考数据：lg

2≈0.3，lg

3≈0.477）

⁠.8

123456789101112

123456789101112四、解答题11.

（2025·苏州期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效

益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每

尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方

米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4≤x≤20

时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为

0千克/年.（1）当0＜x≤20时，求函数v关于