2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 数列的重组问题

微突破数列的重组问题高中总复习·数学

重组数列是指由已知数列通过插项、去项或由已知的两个数列的公共

项得到新数列，解决此类问题要弄清楚重组数列与已知数列的关系，确定

重组数列的特征，以此来解决问题.一、公共项与并项问题

（1）（2025·漳州第一次质量检测）将数列{3n－1}与{2n}的公共

项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝（

C

）A.237B.238C.239D.240

C（2）若数列{4n－3}和{3n}的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的元

素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列{cn}，则c1＋c2＋c3＋…＋

c20＝

⁠.

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规律方法1.

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公

倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最

小公倍数；等差数列与等比数列的公共项是等比数列.2.

解决两数列并项问题的关键是正确理解A∪B中的元素特征并准确找出

两个数列的公共项.二、增、减项问题

（2025·滨州一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，

S5＝25.（1）求{an}的通项公式；解：因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2（n－1）＝2n－1.（2）保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1（k＝1，2，…）之

间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的

前150项和T150.

规律方法

解决此类问题的关键是通过阅读理解题意，弄清楚增加了（减少了）

多少项，增加（减少）的项有什么特征，在求新数列的和时，一般采用分

组求和法，即把原数列部分和增加（减少）部分分别求和，再相加（相

减）即可.三、区间取值数列

已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列.给

定k∈N*，记集合{n｜k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk.（1）求b1，b2的值；

（2）求最小自然数n的值，使得b1＋b2＋…＋bn＞2

025.

规律方法

“区间取值数列问题”：记数列{an}落在区间（0，g（k）]的个数

为bk，讨论数列{bk}的性质.求解这类问题的关键就是利用数列自变量n的

计数功能，通过不等式0＜an≤g（k）⇒n，由于n为正整数，从而实现对

自变量n的计数.此类题目的计算背景主要分布在解下面三个不等式：

（1）qm＜kn＋b＜qm＋1；（2）tm＜qn＜tm＋1；（3）tk＋b＜qn＜t（k

＋i）＋b.

2.

已知an＝3n＋1，bn＝2n＋1，将数列{an}和{bn}的项从小到大依次排列

（相等项计两项）得到新数列{cn}，则{cn}的前50项的和为

⁠.

3

266

3.

已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1

＝b1，a4＝b8.（1）求{bn}与{an}的通项公式；解：∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n.又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n.∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比数列{an}的公比为2，∴an＝2n.（2）若{bn}中去掉{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}

的前20项和.

4.

已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.（1）求{an}的通项公式；

（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}

的前100项和S100.解：由题意知，2n≤m，即n≤log2m，当m＝1时，b1＝0.当m∈[2k，2k＋1）时，bm＝k，k∈N*，则S100＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋b5＋b6＋b7）＋…＋（