2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 隐圆问题

微突破隐圆问题高中总复习·数学

一、利用圆的定义（方程）确定隐圆

（1）已知平面内一个动点A和两个定点B，C满足｜BC｜＝5，

△ABC的边AB上的中线长为3，则动点A的轨迹方程为

⁠

⁠；

（x－10）2＋y2

＝36（y≠0）

规律方法

对于动点的轨迹问题，一是利用曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物

线等）的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程

识别轨迹.二、由圆周角的性质（垂直关系）确定隐圆

（1）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x

＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距

离的最大值为（

C

）A.

B.2

C

C.

3

D.

4

（2）已知点P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圆C：（x＋2）2＋

（y－3）2＝1上存在点M，使得∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是

（

A

）A.

[4，6]B.

（4，6）C.

（0，4）∪[6，＋∞）D.

（0，4）∪（6，＋∞）A

规律方法

利用圆的性质，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，则点P的轨迹

是以AB为直径的圆.注意轨迹中要删除不满足条件的点.三、由向量关系确定隐圆

（－∞，2）规律方法

四、由平方关系确定隐圆

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝

1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，

则实数a的取值范围是

⁠.[0，3]

变式在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x＋1）2＋y2＝2，点A（2，

0），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，则点M的纵坐

标的取值范围是

⁠.

规律方法

两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ，确定隐圆.

A.

（x＋1）2＋y2＝4B.

x2＋（y＋1）2＝4C.

（x＋1）2＋y2＝2D.

x2＋（y＋1）2＝2

A（2）已知点P是圆（x－4）2＋（y－4）2＝8上的动点，A（6，－1），

O为坐标原点，则｜PO｜＋2｜PA｜的最小值为

⁠.

10规律方法1.

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，如图，点A，B为两定点，动点P满足｜PA｜＝λ｜PB｜.则当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.

2.

阿波罗尼斯圆的逆用：当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们可以

假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利用两圆是同一个圆，便可以求出

定点的坐标.

A.

[－2，0）B.

[－2，1]C.

（0，1]D.

（1，3]

√2.

（2025·秦皇岛一模）已知点A（－m，0），B（m，0），若圆C：

x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是

（

）A.4B.5C.6D.7√

3.

（2025·济宁一模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：（x－a）2＋（y－

a＋4）2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为

A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为（

）A.

［1－

，2＋

］B.

［1＋

，2＋

］C.

［2－

，1＋

］D.

［2－

，2＋

］√

4.

（2025·杭州一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线

l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使｜

M