2026年高考数学一轮复习三维设计创新-微突破 圆锥曲线的切线和切点弦

圆锥曲线的切线和切点弦1.圆锥曲线的切线和切点弦（1）切线方程：过圆锥曲线Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0（A，C不全为0）上的点M（x0，y0）的切线方程为Axx0＋Cyy0＋Dx＋x02＋Ey＋（2）切点弦方程：当M（x0，y0）在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为Axx0＋Cyy0＋Dx＋x02＋Ey＋2.圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论（1）过圆x2＋y2＝r2上一点M（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2；（2）设P（x0，y0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1上的点，则过该点的切线方程为（3）设P（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2＝1上的点，则过该点的切线方程为（4）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px上的点，则过该点的切线方程为yy0＝p（x＋x0）；（5）设P（x0，y0）为圆x2＋y2＝r2外一点，则切点弦的方程为xx0＋yy0＝r2；（6）设P（x0，y0）为椭圆x2a2＋y2b2＝1外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A，B，则弦AB的方程为（7）设P（x0，y0）为双曲线x2a2－y2b2＝1外一点，过该点作双曲线的两条切线，切点为A，B，则切点弦AB的方程为（8）设P（x0，y0）为抛物线y2＝2px开口外一点，则切点弦的方程为yy0＝p（x＋x0）.一、圆锥曲线中的切线问题（1）已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），抛物线C2：y2＝4x，C1与C2在第一象限的交点为P，且C1和C2在点P处的切线斜率之积为－14，则C1A.12 B.3C.14 D.解析：（1）设P（x0，y0），抛物线在点P处的切线方程为y0y＝2（x＋x0），椭圆x2a2＋y2b2＝1在点P处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1，则有2y0·（－b2x0a2y0）＝－（2）在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x23＋y2＝1，P为椭圆C上的动点，直线l的方程为x＋y＝4，则点P到直线l的距离d的最小值为2解析：（2）令x＋y＝k与椭圆x23＋y2＝1相切，消去x整理得4y2－2ky＋k2－3＝0，所以Δ＝4k2－16（k2－3）＝12（4－k2）＝0，可得k＝±2，显然x＋y＝4与椭圆无交点，当k＝－2，切线为x＋y＝－2，与x＋y＝4距离为62＝32；当k＝2，切线为x＋y＝2，与x＋y＝4的距离为22＝2，所以点P到直线l的距离二、圆锥曲线中的切点弦问题（1）已知抛物线C：x2＝－2py（p＞0）的焦点F与y28＋x24＝1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦｜AB｜＝（A.16B.26 C.14D.24（2）已知P（1，1）是双曲线x2－y22＝1外一点，过P引双曲线的两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB的方程为2x－y－2＝0解析：（1）由题意可得，F（0，－2），则p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝p2＝2.由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx－2，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝－x128，y2＝－x228，由y＝－x28，得y'＝－x4.∴在点A处的切线方程为y－y1＝－x14（x－x1），化简得y＝－x14x＋x128①，同理可得在点B处的切线方程为y＝－x24x＋x228②，联立①②得xM＝x1＋x22，由M的横坐标为4，得x1＋x2＝8，将AB的方程代入抛物线方程，可得x2＋8kx－16＝0，∴Δ＝64k2＋64＞0，x1＋x2＝－8k＝8，得k＝－1，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）－4＝－1×8－4＝－12，则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（2）如图所示，法一根据题意，设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），根据结论：若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上，则过点P0的双曲线的切线方程是x0xa2－y0yb2＝1.则可得切线PA，PB的方程分别为x1x－y1y2＝1，x2x－y2y2＝1.又因为P（1，1）在切线上，可得x1－y12＝1，x2－y22＝1.因此A（x1，y1），B（x2，y2）在直线x－法二可直接利用结论：若点P0（x0，y0）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外，过点P0作双曲线的两条切线，切点为点P1，P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2－y0yb2＝1，可得直线AB的方程为x－1.已知P是椭圆x2＋y24＝1上的动点，则点P到直线l：x＋y－35＝0的距离的最小值为（A.52 B.C.5 D.10解析：D设与直线l平行的直线为x＋y＋c＝0，则直线x＋y＋c＝0与椭圆相切时，联立x＋y＋c=0，x2＋y24=1，得5x2＋2cx＋c2－4＝0，Δ＝4c2－20（c2－4）＝0，得c＝±5，如图可得，距离最近时c＝－5，则过点P且与直线x＋y－35＝0平行的直线为x＋y－2.如图，已知点P（x0，y0）是双曲线C1：x24－y23＝1上的点，过点P作椭圆C2：x24＋y23＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线于点E，F，O是坐标原点，则OE解析：椭圆C2关于点P（x0，y0）的切点弦AB的方程为x0x4＋y0y3＝1，即3x0x＋4y0y＝12，由3x0同理F（433x0－2y0，－63x0－2y3.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E：x2＋y2＝a2－b2（a＞b＞0）上任意一点作双曲线C：x2a2－y2b2＝1的两条切线，这两条切线互相垂直.我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.如图，过双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞1）的蒙日圆上一点P作C的两条切线，与该蒙日圆分别交于M，N两点，tan∠PMN＝12，且△PMN的周长为6155＋23.解析：由题可知，双曲线C的蒙日圆方程为x2＋y2＝a2－1（a＞1），且PM⊥PN，所以MN为蒙日圆的直径，｜MN｜＝2a2－1.因为tan∠PMN＝12，所以sin∠PMN＝55，cos∠PMN＝255，｜PN｜＝｜MN｜·sin∠PMN＝255a2－1，｜PM｜＝｜MN｜cos∠PMN＝455a2－1.所以△PMN的周长为（655＋2）a4.（2025·八省联考）已知椭圆C的离心率为12，左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0（1）求C的方程；（2）已知点M0（1，4），证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；（3）设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.解：（1）因为椭圆左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），所以c＝1，又因为椭圆C的离心率为12得a＝2，所以b2＝3，所以椭圆方程为x24＋y2（2）证明：由M0（1，4），F1（－1，0）得直线M0F1斜率为k＝2，中点坐标为（0，2），所以线段F1M0的垂直平分线方程为y＝－12x＋2联立垂直平分线方程和椭圆方程x24＋y23=1，y＝－又Δ＝4－4＝0，所以直线与椭圆相切，所以线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.（3）法一设M（x0，y0），当y0＝0时，F1M的垂直平分线方程为x＝x0此时x0－12＝±2，x0＝5当y0≠0时，F1M的垂直平分线方程为y＝－x0+1y0x－x0联立y得3x2＋4［（x02＋y02－1）2即3+4（x0+1）2y02x2因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，故Δ＝16（x0+1）2（x02＋y02－1即3（x02＋y0即y04＋（2x02－14）y02＋（x0＋1）2（x0＋3）（xy04＋（2x02－14）y02＋（x02＋2x0＋1）·（x0即（y02＋x02＋2x0＋1）（y02＋x02－因为x02＋y02＋2x0＋1＝（x0＋1）2＋y02＞0，所以x02＋y0而（5，0），（－3，0）也满足该方程，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为x2＋y2－2x－15＝0，即（x－1）2＋y2＝16.法二设线段F1M的垂直平分线与C切于点（x0，y0），则切点处的切线方程为x0x4＋y即3x0x＋4y0y＝12，9x02x2＋16y02y2＋24x0y0xy＝易知F1M：y＝4y03x0（x＋1），即3x0y－4y0x9x02y2＋16y02x2－24x0y0xy＝16①＋②，得（9x02＋16y02）（x2＋y2）＝144＋16又3x02＋4y0所以144＝36x02＋48y02，将其代入③得x2＋y2＝4，此方程即为线段F1M中点的轨迹方程，设动点M（xM又x＝xM－12，所以（xM－12）2＋（yM即点M的轨迹方程为（xM－1）2＋yM2＝16，其为一个圆.故该圆的方程为（x－1）2＋y2＝法三设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P，则当点P不在长轴时，线段F1M的垂直平分线l即为点P处的切线，也为∠F1PM的平分线，作∠F1PF2的平分线PH，根据