2026年高考数学一轮复习三维设计创新-重难专攻（九）　立体几何中的创新性问题

重难专攻（九）立体几何中的创新性问题【重点解读】对于立体几何中的新情境、新定义问题，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合.明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式.在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题.对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明.同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象.提能点1新情境问题胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781—1864）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例（1+52≈1.618），泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若h2＝as，则由勾股定理，as＝s2－a2，即（sa）2－sa－1＝0，因此可求得sa为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形（2a＝856），顶点P的投影为底面中心O，H为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）A.611.6 B.481.4C.692.5 D.512.4解析：C由2a＝856和PH＝s＝5+12a可得PH＝5+12×8562≈692.规律方法新情境创设的几种常见类型（1）从情境的复杂程度出发，高考一般从学生的“熟悉情境、关联情境、综合情境”三个层次命题；（2）从情境与学科知识的融合度上可分为“情境分离型”（去掉情境素材，仍能完成学科任务）；“情境嵌入型”（此类题目中的情境与题目中的学科任务相互融合，一些关键信息可直接从情境中获取，但取消情境内容题目无法解决）；“情境结合型”（此类问题的考查内容及知识点都需要从情境中提取，如果对材料的理解不够深入，没有提取到其中蕴含的信息，没有完成新信息与旧知识的转化，问题就无从求解）.提能点2定义新概念（2025·上海普陀区测评）对于一个三维空间，如果一个平面与一个球只有一个交点，则称这个平面是这个球的切平面.已知在空间直角坐标系O-xyz中，球O的半径为1，记平面xOy、平面zOx、平面yOz分别为α，β，γ.（1）若棱长为a的正方体、棱长为b的正四面体的内切球均为球O，求ab的值（2）若球O在点（16，13，12）处有一切平面λ0，求λ0与α的交线方程解：（1）由题意可知，a＝2.正四面体ABCD的内切球为球O.如图，设顶点A在底面BCD上的射影为点F，则F为△BCD的中心，取线段CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD，F在BE上，则BE＝BCsin60°＝32b，BF＝23BE＝3所以AF＝AB2－BF2V正四面体ABCD＝13AF·S△BCD连接OB，OC，OD，因为V正四面体ABCD＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝4×13×1×S△BCD，所以43S△BCD＝13AF·S△BCD，故AF＝63b＝4，解得b所以ab＝226（2）在λ0与α的交线上任取一点P（x，y，0），记点Q（16，13，1连接OQ，QP，则OQ·QP＝0，即（16，13，12）·（x－16，y－13，－即x6－16＋y3－13－12＝0，即x＋2y所以λ0与α的交线方程为x＋2y－6＝0，该直线的一个方向向量为（－2，1，0）.规律方法解决定义新概念型问题的关键是把新概念理解透彻（如等腰四面体、球切面等），再逐步转化为用熟知的符号知识、方法表示解决.本例破障关键为理解α与λ0两平面的位置特征及交线的位置特征.将几何特征用向量表示，确定在平面α上的直线方程，再确定该直线在空间中的一个方向向量.提能点3定义新运算设全体空间向量组成的集合为V，a＝（a1，a2，a3）为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”f（x）：f（x）＝－x＋2（x·a）a（x∈V）.（1）设u＝（1，0，0），v＝（0，0，1），若f（u）＝v，求向量a；解：（1）依题意得f（u）＝－u＋2（u·a）a＝v，设a＝（x，y，z），代入运算得2xa＝（22，0，22）或a＝（－22，0，－（2）对于V中的任意两个向量x，y，证明：f（x）·f（y）＝x·y；解：（2）证明：设x＝（a，b，c），y＝（m，n，t），a＝（a1，a2，a3），则f（x）·f（y）＝[－x＋2（x·a）a]·[－y＋2（y·a）a]＝x·y－4（y·a）（x·a）＋4（y·a）·（x·a）a2＝x·y－4（y·a）（x·a）＋4（y·a）·（x·a）＝x·y，从而得证.（3）对于V中的任意单位向量x，求｜f（x）－x｜的最大值.解：（3）设x与a的夹角为α，则x·a＝｜x｜·｜a｜cosα＝cosα，则｜f（x）－x｜＝｜2x－2（x·a）a｜＝（2x－2cosαa）2＝4－4cos2α≤2规律方法定义新运算问题一般先考查对运算法则的理解，这时只需一一验证新运算满足的条件.再考查满足该新运算后要解决什么问题.如本例，满足新运算的函数有某些新的性质，这也是在新背景下研究“旧”性质，此时需结合新运算下新的数学表达式，依据熟知的运算法则和定理进行逻辑推理与运算，创造性地证明更新的结论成立.提能点4定义新性质类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理.如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A-PC-B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ＋sinαsinβcosθ.（1）当α，β∈（0，π2）时，证明以上三面角余弦定理（2）如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°.①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.解：（1）证明：如图，过射线PC上一点H作HM⊥PC交PA于M点，作HN⊥PC交PB于N点，连接MN，则∠MHN是二面角A-PC-B的平面角.在△MNP中和△MNH中分别用余弦定理，得MN2＝MP2＋NP2－2MP·NP·cosγ，MN2＝MH2＋NH2－2MH·NH·cosθ，两式相减得MP2－MH2＋NP2－NH2－2MP·NP·cosγ＋2MH·NH·cosθ＝0，∴2MP·NP·cosγ＝2PH2＋2MH·NH·cosθ，两边同除以2MP·NP，得cosγ＝cosαcosβ＋sinαsinβcosθ.（2）①由平面AA1C1C⊥平面ABCD，知二面角A1-AC-B的大小为90°，∴由（1）得cos∠A1AB＝cos∠A1AC·cos∠CAB，∵∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，∴cos∠A1AB＝12×22＝②在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1.连接B1C，延长C1C至P，使CP＝C1C，连接BP（图略），在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1AB，ABCD，∴A1B1DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1DB1C.在四边形B1BPC中，B1BCP，∴四边形B1BPC为平行四边形，∴B1CBP，∴A1D∥BP，又A1D⊂平面DA1C1，BP⊄平面DA1C，∴BP∥平面DA1C1.∴当点P在C1C的延长线上，且使CP＝C1C时，BP∥平面DA1C1.规律方法用类比方法求解定义新性质创新问题的三个切入角度（1）从两个性质的相似性和差异性上理解新性质的准确性；（2）从两个性质的内涵、应用环境上的差异刻画新性质的“全貌”（本质）；（3）从类比方法获得启示，从而应用新性质解决问题.1.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（）A.3 B.4C.6 D.8解析：B如图所示，等腰四面体A-BCD的体积等于长方体体积减去四个三棱锥的体积.设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则等腰四面体A-BCD的体积V＝abc－4×13×（12abc）＝13abc＝4.故选2.空间直角坐标系O-xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为m＝（A，B，C）的平面方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0，经过点（x0，y0，z0）且一个方向向量为n＝（a，b，c）（abc≠0）的直线l的方程为x－x0a＋y－y0b＋z－z0c＝0，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面α的方程为2x－3y－z＝0，经过点（0，0，0）的直线l的方程为x－A.514 B.C.513 D.解析：A由题设知：平面α的法向量m＝（2，－3，－1），直线l的方向向量n＝（－1，2，－3），且平面α与直线l相交于（0，0，0），所以直线l与平面α所成角的正弦值为｜cos＜m，n＞｜＝｜m·n｜｜m||n3.〔多选〕设Ox，Oy，Oz是空间中两两夹角均为θ（θ∈（0，π2］）的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z轴正方向同向的单位向量，若OP＝xe1＋ye2＋ze3（x，y，z∈R），则把有序数对（x，y，z）θ叫做向量OP在坐标系Oxyz中的坐标，则下列结论正确的是（A.若向量a＝（－1，3，－7）θ，向量b＝（3，－2，4）θ，则a＋b＝（2，1，3）θB.若向量a＝（2，6，－3）π2，向量b＝（3，－1，0）π2，则aC.若向量a＝（x，y，0）θ，向量b＝（1，2，0）θ，则当且仅当x∶y＝1∶2时，θ＝πD.若向量OA＝（1，0，0）π3，向量OB＝（0，1，0）π3，向量OC＝（0，0，1）π3，则二面角O解析：BD对于A，若向量a＝（－1，3，－7）θ＝－e1＋3e2－7e3，向量b＝（3，－2，4）θ＝3e1－2e2＋4e3，则a＋b＝2e1＋e2－3e3＝（2，1，－3）θ，故A错误；对于B，若向量a＝（2，6，－3）π2，向量b＝（3，－1，0）π2，此时在空间直角坐标系中a·b＝2×3＋6×（－1）＝0，故B正确；对于C，若向量a＝（x，y，0）θ＝xe1＋ye2，向量b＝（1，2，0）θ＝e1＋2e2，当x∶y＝1∶2时，y＝2x，则a＝（x，y，0）θ＝xe1＋2xe2＝x（e1＋2e2）＝xb，此时a∥b，无法判断θ的大小，故C错误；对于D，若向量OA＝（1，0，0）π3，向量OB＝（0，1，0）π3，向量OC＝（0，0，1）π3，则三棱锥O-ABC是棱长为1的正四面体，如图所示，在等边△OAB和等边△ABC中，易知OH⊥AB，HC⊥AB，OH＝HC＝32，则∠OHC即为二面角O-AB-C的平面角，在△OHC中，由余弦定理得，cos∠OHC＝OH2＋HC2－OC22OH·HC＝34＋34－124.〔多选〕球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，若a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC.设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则下列结论正确的是（）A.若平面△ABC是面积为34R2的等边三角形，则a＝b＝c＝B.若a2＋b2＝c2，则α2＋β2＝γ2C.若a＝b＝c＝π3R，则球面O-ABC的体积V＞212D.若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB＝π2，则a2＋b2＝c解析：BC对于A，因等边三角形ABC的面积为34R2，则AB＝BC＝AC＝R，又OA＝OB＝OC＝R，故α＝β＝γ＝π3，则a＝b＝c＝π3R，故A错误；对于B，由a2＋b2＝c2可得（αR）2＋（βR）2＝（γR）2，故α2＋β2＝γ2，即B正确；对于C，由a＝b＝c＝π3R可得，α＝β＝γ＝π3，故平面△ABC中AB＝BC＝AC＝R.由正弦定理，△ABC的外接圆半径为23·32R＝33R，点O到平面ABC的距离h＝R2－（3R3）2＝63R，则三棱锥O-ABC的体积VO-ABC＝13S△ABC·h＝13×34R2×63R＝212R3，而球面O-ABC的体积V＞VO-ABC＝212R3，故C正确；对于D，由余弦定理可知BC2=2R2－2R2cosα，AC2=2R2－2R2cosβ，AB2=2R2－2R2cosγ，由∠ACB＝π2可得，BC2＋AC2＝AB2，即4R2－2R2cosα－2R2cosβ＝2R2－2R2cosγ，化简得，cosα5.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为2π－3×π3＝π，故其总曲率为4π.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为π2，四棱锥的总曲率为解析：根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为2π－3×π2＝π2；由定义可得多面体的总曲率＝2π×顶点数－各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为2π×5－（π×4＋2π×1）＝6.18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式V＝16h（L＋4M＋N）（其中h，L，M，N分别为Ω的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为V＝16×2R（0＋4×πR2＋0）＝43πR3；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为V＝16×h［0＋4×（a2）2＋a2］＝13a2h.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为36πcm2，若用距离球心O都为1cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体Ω的体积为52解析：如图所示，设上、下截面小圆的圆心分别为E，F，上底面截面小圆上一点A，连接OA，因为球O的表面积为4πR2＝36π，解得R＝3，所以OA＝R＝3，又因为OE＝1且OE⊥EA，所以截面小圆半径r＝EA＝OA2－OE2＝9－1＝22，根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为：V＝16×2×（8π＋47.设S是空间中n个不同的点构成的集合，n≥4且n∈N*，其中任意四点不在同一个平面上，dAB表示点A，B间的距离，记集合τ（S）＝{dAB｜∀A，B∈S，A≠B}.已知四面体ABCD满足：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1.（1）求二面角C-AD-B的余弦值；（2）若S＝{A，B，C，D}，求τ（S）.解：（1）易知AB，BC，CD两两垂直.根据题意作图，并以C为坐标原点，CD，CB，BA的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A（0，1，1），CA＝（0，1，1），CD＝（1，0，0），DB＝（－1，1，0），DA＝（－1，1，1）.设平面CAD的法向量为m＝（x，y，z），则m·CA=0，m·CD=0，即y＋z=0，设平面BAD的法向量为n＝（a，b，c），则n·DA=0，n·DB=0，即－a＋b＋所以cos＜m，n＞＝m·n｜m||n｜＝12×2＝12，（2）AB＝BC＝CD＝1，BD＝AC＝2，AD＝3，所以τ（S）＝{1，2，3}.8.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段｜AB｜是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用d（A，B）表示，又称“曼哈顿距离”，即d（A，B）＝｜AC｜＋｜CB｜，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若A（x1，y1），B（x2，y2），则d（A，B）＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜.（1）①点A（3，5），B（2，－1），求d（A，