高三数学函数专题复习练习题

高三数学函数专题复习练习题引言函数是高中数学的核心内容，也是高考的重点考查模块（占分比例约20%-25%）。高考对函数的考查覆盖基本概念（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）、常见函数（一次、二次、指数、对数、幂函数）、复合与分段函数、函数与方程及实际应用等内容，注重考查学生的逻辑推理、数学运算和直观想象素养。本专题将按考点分类梳理函数的核心知识，通过典型例题讲解解题方法，结合针对练习巩固技能，并总结易错点避免失分，助力高三学生系统复习函数专题。专题一：函数的定义域与值域一、考点梳理1.函数的定义域定义域是自变量\(x\)的取值范围，需满足函数表达式有意义：分式：分母\(\neq0\)（如\(\frac{1}{x-1}\)中\(x\neq1\)）；偶次根号：根号内\(\geq0\)（如\(\sqrt{x+2}\)中\(x\geq-2\)）；对数函数：真数\(>0\)，底数\(>0\)且\(\neq1\)（如\(\log_2(x-1)\)中\(x>1\)）；三角函数：正切函数\(\tanx\)中\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；实际问题：自变量需满足实际意义（如时间\(t\geq0\)）。2.函数的值域值域是函数值的集合，常用求法：观察法：适用于简单函数（如\(y=2x+1\)的值域为\(\mathbb{R}\)）；配方法：适用于二次函数或可化为二次函数的函数（如\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，值域为\([2,+\infty)\)）；换元法：适用于含根号的函数（如\(y=x+\sqrt{1-2x}\)，令\(t=\sqrt{1-2x}\geq0\)，转化为二次函数）；单调性法：适用于单调函数（如\(y=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)递减，\([1,+\infty)\)递增，值域为\([2,+\infty)\)）；导数法：适用于高次函数或分式函数（如\(y=x^3-3x+1\)，求导得极值点，计算极值得值域）。二、典型例题例1：求函数\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}+\log_2(4-x)\)的定义域解：需满足以下条件：\(\sqrt{x+2}\geq0\Rightarrowx\geq-2\)；\(x-1\neq0\Rightarrowx\neq1\)；\(4-x>0\Rightarrowx<4\)。综上，定义域为\([-2,1)\cup(1,4)\)。思路：列所有限制条件，解不等式组取交集。例2：求函数\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的值域解：配方得\(f(x)=(x-1)^2+2\)，对称轴\(x=1\in[0,3]\)。最小值：\(f(1)=2\)；最大值：\(f(3)=6\)（端点值）。值域为\([2,6]\)。思路：二次函数闭区间值域，先看对称轴是否在区间内，再算端点和顶点值。例3：求函数\(f(x)=x+\sqrt{1-2x}\)的值域解：令\(t=\sqrt{1-2x}\geq0\)，则\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\[f(t)=-\frac{1}{2}t^2+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1)^2+1.\]当\(t=1\)时，\(f(t)\)取最大值\(1\)；\(t\to+\infty\)时，\(f(t)\to-\infty\)。值域为\((-\infty,1]\)。思路：换元法转化为二次函数，注意新变量范围。三、针对练习基础题（答案）1.求\(f(x)=\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{x-1}\)的定义域：\([-2,1)\cup(1,2]\)；2.求\(f(x)=2x+1\)在\([-1,2]\)上的值域：\([-1,5]\)；3.求\(f(x)=\log_2(x+1)\)的值域：\(\mathbb{R}\)。中档题（提示）4.求\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的值域：先求定义域\(x\leq-1\)或\(x\geq3\)，二次函数\(x^2-2x-3\geq0\)，值域为\([0,+\infty)\)；5.求\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)的值域：分离常数得\(f(x)=1-\frac{1}{x+1}\)，值域为\((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。难题（提示）6.求\(f(x)=x^3-3x+2\)的值域：求导得\(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)，极值点\(x=\pm1\)，计算得值域为\(\mathbb{R}\)；7.求\(f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+1}\)的值域：判别式法，解得\(2\leqy\leq\frac{10}{3}\)。四、易错点提醒忽略分母不为零：如\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)，易漏\(x\neq1\)；换元法未注意新变量范围：如例3中\(t\geq0\)，若忽略会得值域\(\mathbb{R}\)；二次函数最值忽略区间：如\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([2,3]\)上单调递增，值域为\([3,6]\)，而非\([2,6]\)。专题二：函数的单调性、奇偶性与周期性一、考点梳理1.单调性定义：任取\(x_1<x_2\)，若\(f(x_1)<f(x_2)\)，则\(f(x)\)在区间上递增；若\(f(x_1)>f(x_2)\)，则递减。判定方法：定义法（适用于简单函数）；导数法（\(f'(x)>0\)递增，\(f'(x)<0\)递减）；复合函数（同增异减，如\(f(g(x))\)，\(f\)与\(g\)单调性相同则递增）。2.奇偶性定义：定义域关于原点对称，若\(f(-x)=f(x)\)则偶；若\(f(-x)=-f(x)\)则奇。判定步骤：先看定义域是否对称→计算\(f(-x)\)→比较与\(f(x)\)的关系。3.周期性定义：存在\(T>0\)，使得\(f(x+T)=f(x)\)对所有\(x\)成立，\(T\)为周期。常见结论：\(f(x+a)=-f(x)\RightarrowT=2a\)；\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\RightarrowT=2a\)；\(f(x+a)=f(x-a)\RightarrowT=2a\)。二、典型例题例1：用定义法证明\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((0,1]\)上递减证明：任取\(0<x_1<x_2\leq1\)，则：\[f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right).\]因为\(x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)；又\(x_1x_2\leq1\)，故\(1-\frac{1}{x_1x_2}\leq0\)。因此\(f(x_1)>f(x_2)\)，函数递减。思路：定义法步骤：任取\(x_1<x_2\)→计算\(f(x_1)-f(x_2)\)→因式分解→判断符号。例2：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x-3)\)的单调递增区间解：先求定义域：\(x^2-2x-3>0\Rightarrowx<-1\)或\(x>3\)。令\(g(x)=x^2-2x-3\)，则\(f(x)=\log_2g(x)\)。\(g(x)\)在\((3,+\infty)\)上递增，\(\log_2t\)递增，故\(f(x)\)的递增区间为\((3,+\infty)\)。思路：复合函数单调性“同增异减”，需先求定义域。例3：已知\(f(x)\)是奇函数，且\(f(1)=2\)，求\(f(-1)\)解：奇函数满足\(f(-x)=-f(x)\)，故\(f(-1)=-f(1)=-2\)。思路：奇偶性的核心是\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系，前提是定义域对称。三、针对练习基础题（答案）1.判断\(f(x)=x^3\)的奇偶性：奇函数；2.判断\(f(x)=\log_2x\)的单调性：递增；3.证明\(f(x)=2x+1\)在\(\mathbb{R}\)上递增：定义法，\(f(x_1)-f(x_2)=2(x_1-x_2)<0\)。中档题（提示）4.求\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的单调递减区间：定义域\(x\leq-1\)或\(x\geq3\)，\(g(x)=x^2-2x-3\)在\((-\infty,-1]\)递减，故递减区间为\((-\infty,-1]\)；5.已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)是偶函数，求\(b\)：\(f(-x)=f(x)\Rightarrowb=0\)。难题（提示）6.已知\(f(x+2)=-f(x)\)，\(f(1)=2\)，求\(f(7)\)：周期\(T=4\)，\(f(7)=f(1)=2\)；7.判断\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\-x^2+1,&x<0\end{cases}\)的奇偶性：任取\(x>0\)，\(f(-x)=-x^2+1=f(x)\)，故偶函数。四、易错点提醒复合函数单调性忽略定义域：如\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)，易漏定义域\(x<0\)或\(x>2\)；奇偶性未先看定义域：如\(f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)，定义域\(\{1\}\)，非奇非偶；周期性结论记混：如\(f(x+2)=-f(x)\)，周期是\(4\)，不是\(2\)；导数法忽略导数为零的点：如\(f(x)=x^3\)，\(f'(x)\geq0\)，递增区间为\(\mathbb{R}\)。专题三：常见函数的图像与性质一、考点梳理函数类型表达式定义域值域单调性奇偶性图像特征一次函数\(y=kx+b\)\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)\(k>0\)递增，\(k<0\)递减\(b=0\)时奇函数直线，斜率\(k\)，截距\(b\)二次函数\(y=ax^2+bx+c\)\(\mathbb{R}\)\(a>0\)时\([\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)\)对称轴\(x=-\frac{b}{2a}\)，左减右增（\(a>0\)）\(b=0\)时偶函数抛物线，开口方向由\(a\)决定指数函数\(y=a^x\)\(\mathbb{R}\)\((0,+\infty)\)\(a>1\)递增，\(0<a<1\)递减非奇非偶过\((0,1)\)，渐近线\(x\)轴对数函数\(y=\log_ax\)\((0,+\infty)\)\(\mathbb{R}\)\(a>1\)递增，\(0<a<1\)递减非奇非偶过\((1,0)\)，渐近线\(y\)轴幂函数\(y=x^\alpha\)由\(\alpha\)决定由\(\alpha\)决定由\(\alpha\)决定\(\alpha\)整数时，奇/偶过\((1,1)\)，\(\alpha>0\)过原点二、典型例题例1：求二次函数\(f(x)=x^2-2x+3\)的顶点坐标和最值解：配方得\(f(x)=(x-1)^2+2\)，顶点坐标为\((1,2)\)，最小值为\(2\)（\(a>0\)，开口向上）。思路：二次函数顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)，顶点\((h,k)\)，最值为\(k\)。例2：比较\(0.3^2\)、\(2^{0.3}\)、\(\log_20.3\)的大小解：\(0.3^2=0.09<1\)；\(2^{0.3}>2^0=1\)；\(\log_20.3<\log_21=0\)。综上，\(\log_20.3<0.3^2<2^{0.3}\)。思路：利用指数、对数函数的单调性，与\(0\)、\(1\)比较。例3：识别幂函数\(y=x^\alpha\)的图像（\(\alpha=\frac{1}{2}\)、\(-1\)、\(2\)）解：\(y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)：定义域\([0,+\infty)\)，过\((0,0)\)、\((1,1)\)，单调递增；\(y=x^{-1}=\frac{1}{x}\)：定义域\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，过\((1,1)\)，单调递减；\(y=x^2\)：定义域\(\mathbb{R}\)，过\((0,0)\)、\((1,1)\)，偶函数，开口向上。三、针对练习基础题（答案）1.求\(y=2x+1\)的斜率：\(2\)；2.求\(y=\log_3x\)的过定点：\((1,0)\)；3.比较\(3^{-0.5}\)、\(0.5^3\)、\(\log_30.5\)的大小：\(\log_30.5<0.5^3<3^{-0.5}\)。中档题（提示）4.求\(y=x^2-4x+5\)的最小值：配方得\((x-2)^2+1\)，最小值\(1\)；5.求\(y=2^{x+1}\)的图像平移方向：由\(y=2^x\)向左平移\(1\)个单位。难题（提示）6.已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)过\((1,0)\)、\((2,3)\)、\((-1,6)\)，求\(a,b,c\)：列方程组解得\(a=1,b=-2,c=1\)；7.求\(y=x^3\)与\(y=3x-1\)的交点个数：画图得\(3\)个交点。四、易错点提醒指数函数底数范围：\(a>0\)且\(a\neq1\)，易忽略\(a\neq1\)；对数函数真数范围：\(x>0\)，易漏；幂函数指数正负：\(\alpha>0\)时过原点，\(\alpha<0\)时不过原点；二次函数开口方向：\(a>0\)开口向上，\(a<0\)开口向下，影响最值方向。专题四：复合函数与分段函数一、考点梳理1.复合函数定义：\(y=f(g(x))\)，其中\(g(x)\)是内函数，\(f(x)\)是外函数；定义域：\(g(x)\)的值域需满足\(f(x)\)的定义域；单调性：同增异减（内、外函数单调性相同则递增，相反则递减）。2.分段函数定义：不同区间用不同表达式表示的函数；求值：代入对应区间的表达式；单调性：各区间单调且衔接点连续；奇偶性：各区间分别判断\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系；零点：各区间分别求\(f(x)=0\)的解。二、典型例题例1：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x-3)\)的定义域解：内函数\(g(x)=x^2-2x-3\)，需满足\(g(x)>0\Rightarrowx<-1\)或\(x>3\)，故定义域为\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。思路：复合函数定义域=内函数值域满足外函数定义域。例2：求分段函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x^2-1,&x\geq0\end{cases}\)的\(f(-1)\)和\(f(1)\)解：\(f(-1)=-1+1=0\)（\(x=-1<0\)，代入第一段）；\(f(1)=1^2-1=0\)（\(x=1\geq0\)，代入第二段）。思路：分段函数求值，先判断\(x\)所在区间，再代入对应表达式。例3：求分段函数\(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<1\\x^2,&x\geq1\end{cases}\)的单调递增区间解：\(x<1\)时，\(f(x)=2x+1\)递增；\(x\geq1\)时，\(f(x)=x^2\)递增；衔接点\(x=1\)，\(f(1^-)=3\)，\(f(1^+)=1\)，不连续，但各区间单调递增。综上，递增区间为\((-\infty,1)\)和\([1,+\infty)\)（或写成\((-\infty,+\infty)\)，因衔接点不影响整体递增）。三、针对练习基础题（答案）1.求\(f(x)=\begin{cases}x-1,&x<0\\x+1,&x\geq0\end{cases}\)的\(f(-2)\)：\(-3\)；2.求\(f(x)=\log_2(x^2-1)\)的定义域：\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)；3.求\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\-x^2,&x\geq0\end{cases}\)的奇偶性：奇函数。中档题（提示）4.求\(f(x)=\sqrt{x^2-2x-3}\)的单调递增区间：定义域\(x\leq-1\)或\(x\geq3\)，\(g(x)=x^2-2x-3\)在\([3,+\infty)\)递增，故递增区间为\([3,+\infty)\)；5.求\(f(x)=\begin{cases}2x,&x<1\\x+1,&x\geq1\end{cases}\)的零点：\(x=0\)（\(x<1\)时\(2x=0\)）。难题（提示）6.求\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\\lnx,&x>0\end{cases}\)的单调递减区间：\((-\infty,0]\)（\(x^2+1\)递减）和\((0,1]\)（\(\lnx\)递减）；7.已知\(f(x)=\begin{cases}ax+1,&x<1\\x^2,&x\geq1\end{cases}\)连续，求\(a\)：\(a+1=1^2\Rightarrowa=0\)。四、易错点提醒复合函数定义域：如\(f(g(x))\)，需先求\(g(x)\)的值域满足\(f(x)\)的定义域；分段函数求值：代入错误区间，如\(f(-1)\)代入\(x\geq0\)的表达式；分段函数单调性：忽略衔接点连续性，如\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<1\\x-1,&x\geq1\end{cases}\)，在\(x=1\)处不连续，但各区间单调递增；分段函数奇偶性：需各区间分别判断\(f(-x)\)与\(f(x)\)的关系，如\(f(x)=\begin{cases}x,&x>0\\-x,&x<0\end{cases}\)，是奇函数。专题五：函数与方程、函数的应用一、考点梳理1.函数的零点定义：\(f(x)=0\)的根，即函数图像与\(x\)轴的交点横坐标；存在定理：连续函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上满足\(f(a)f(b)<0\)，则\((a,b)\)内有零点；个数判断：图像法（看与\(x\)轴交点数）、导数法（求极值点，判断极值符号）。2.函数模型一次模型：\(y=kx+b\)（适用于线性增长/递减）；二次模型：\(y=ax^2+bx+c\)（适用于最值问题，如利润最大化）；指数模型：\(y=ae^{bx}\)（适用于增长率问题，如人口增长、细胞分裂）；对数模型：\(y=alog_bx\)（适用于缓慢增长问题，如地震震级）；幂函数模型：\(y=ax^b\)（适用于幂次增长问题，如面积与边长关系）。二、典型例题例1：判断函数\(f(x)=x^3-3x+1\)的零点个数解：求导得\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，极值点\(x=\pm1\)。\(f(1)=1-3+1=-1<0\)；\(f(-1)=-1+3+1=3>0\)；当\(x\to+\infty\)时，\(f(x)\to+\infty\)；当\(x\to-\infty\)时，\(f(x)\to-\infty\)。根据零点存在定理，\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)、\((-1,1)\)、\((1,+\infty)\)各有一个零点，共\(3\)个零点。思路：导数法求极值点，判断极值符号，结合单调性得零点个数。例2：某公司生产某种产品，成本为每件\(20\)元，售价为每件\(x\)元，销售量为\(____x\)件（\(x\in[20,100]\)），求利润最大值。解：利润\(L(x)=(x-20)(____x)=-10x^2+1200x-____\)。配方得\(L(x)=-10(x-60)^2+____\)，