七年级数学学习重点与练习题集

七年级数学学习重点与练习题集一、有理数：数系扩展与运算基础有理数是初中数学的起点，也是后续代数学习的基石。其核心是数的分类、数轴表示、绝对值意义及运算规则。（一）学习重点解析1.有理数分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。注意：0既不是正数也不是负数；π等无理数不属于有理数。2.数轴三要素：数轴是表示数的工具，需具备原点（0的位置）、正方向（通常向右）、单位长度（统一的度量标准）。数轴上的点与有理数一一对应（后续扩展到实数）。3.绝对值的意义：几何意义：数轴上表示数\(a\)的点到原点的距离（非负性，\(|a|\geq0\)）。代数意义：\(|a|=\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}\)。4.有理数运算规则：加减：同号相加取原符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减；减去一个数等于加上其相反数（如\(a-b=a+(-b)\)）。乘除：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；除以一个数等于乘其倒数（\(a\divb=a\times\frac{1}{b}\)，\(b\neq0\)）。运算顺序：先乘方（后续学习），再乘除，后加减；有括号的先算括号内（小→中→大）。（二）针对性练习题1.基础题（巩固概念与基本运算）（1）将下列数分类：\(-5\)，\(0\)，\(\frac{3}{4}\)，\(-0.2\)，\(7\)，\(-\frac{1}{3}\)，\(\sqrt{2}\)（注：\(\sqrt{2}\)不是有理数）。答案：整数：\(-5\)，\(0\)，\(7\)；分数：\(\frac{3}{4}\)，\(-0.2\)，\(-\frac{1}{3}\)；有理数：除\(\sqrt{2}\)外所有数。（2）数轴上表示\(-3\)的点到原点的距离是______，表示\(2\)的点到表示\(-1\)的点的距离是______。答案：\(3\)；\(3\)（解析：\(|2-(-1)|=3\)）。（3）计算：\(|-4|+(-3)-(-2)=\______\)。答案：\(3\)（解析：\(4+(-3)+2=3\)）。（4）计算：\((-6)\times\frac{1}{2}\div(-3)=\______\)。答案：\(1\)（解析：先算乘法得\(-3\)，再除以\(-3\)得\(1\)）。2.提升题（综合应用与思维拓展）（1）若\(|x-1|+|y+2|=0\)，求\(x+y\)的值。思路：绝对值非负性，两个非负数相加为0，则各自为0，得\(x=1\)，\(y=-2\)，故\(x+y=-1\)。答案：\(-1\)。（2）计算：\((-2)^2\times3-(-8)\div2+(-1)\)（注：\((-2)^2=4\)）。思路：先算乘方得\(4\)，再算乘除：\(4\times3=12\)，\(-8\div2=-4\)，故\(12-(-4)+(-1)=15\)。答案：\(15\)。（3）已知\(a\)、\(b\)互为相反数，\(c\)、\(d\)互为倒数，\(|m|=3\)，求\(a+b+cd-m\)的值。思路：相反数和为0（\(a+b=0\)），倒数积为1（\(cd=1\)），\(|m|=3\)则\(m=\pm3\)。代入得\(0+1-m\)，故值为\(-2\)或\(4\)。答案：\(-2\)或\(4\)。二、整式的加减：代数运算的基础整式是代数的基本语言，其核心是同类项合并与去括号法则，是后续学习方程、函数的基础。（一）学习重点解析1.整式的概念：单项式：数字与字母的乘积（单独一个数或字母也是单项式，如\(5\)、\(x\)）。多项式：几个单项式的和（如\(3x^2-2x+1\)）。注：分母含字母的式子不是整式（如\(\frac{1}{x}\)）。2.单项式的系数与次数：系数：单项式中的数字因数（包括符号，如\(-2xy^2\)的系数是\(-2\)）。次数：所有字母的指数和（如\(-2xy^2\)的次数是\(1+2=3\)）。3.多项式的项与次数：项：多项式中的每个单项式（包括符号，如\(3x^2-2x+1\)的项是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(1\)）。次数：次数最高的项的次数（如\(3x^2-2x+1\)是二次三项式）。4.同类项与合并法则：同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项（如\(2xy\)与\(-3xy\)是同类项，\(2x^2y\)与\(3xy^2\)不是）。合并法则：系数相加，字母和指数不变（如\(3x+2x=5x\)，\(-xy+4xy=3xy\)）。5.去括号法则：括号前是“\(+\)”：去括号后各项符号不变（如\(a+(b-c)=a+b-c\)）。括号前是“\(-\)”：去括号后各项符号改变（如\(a-(b-c)=a-b+c\)）。（二）针对性练习题1.基础题（巩固概念与基本运算）（1）下列式子中，属于整式的是（）（多选）。A.\(2x\)B.\(\frac{1}{x}\)C.\(-3xy^3\)D.\(x+\frac{1}{y}\)答案：A、C。（2）单项式\(-\frac{1}{2}x^3y\)的系数是______，次数是______；多项式\(x^3-2x^2+5\)的次数是______，常数项是______。答案：\(-\frac{1}{2}\)；\(4\)；\(3\)；\(5\)。（3）合并同类项：\(4x^2-3x+7x^2+5x=\______\)。答案：\(11x^2+2x\)（解析：\(4x^2+7x^2=11x^2\)，\(-3x+5x=2x\)）。（4）去括号：\(3(a-2b)-(2a+3b)=\______\)。答案：\(a-9b\)（解析：\(3a-6b-2a-3b=a-9b\)）。2.提升题（综合应用与思维拓展）（1）化简求值：\(2(x^2-xy)-3(xy-x^2)+1\)，其中\(x=-1\)，\(y=2\)。思路：先去括号得\(2x^2-2xy-3xy+3x^2+1=5x^2-5xy+1\)，代入\(x=-1\)、\(y=2\)得\(5\times1-5\times(-1)\times2+1=5+10+1=16\)。答案：\(16\)。（2）若\(3x^2y^m\)与\(-2x^ny^3\)是同类项，求\(m+n\)的值。思路：同类项字母相同且指数相同，得\(n=2\)，\(m=3\)，故\(m+n=5\)。答案：\(5\)。（3）已知\(A=x^2+2xy-1\)，\(B=-2x^2+xy+3\)，求\(2A-B\)的值。思路：\(2A=2x^2+4xy-2\)，\(-B=2x^2-xy-3\)，相加得\(4x^2+3xy-5\)。答案：\(4x^2+3xy-5\)。三、一元一次方程：代数方程的入门与应用一元一次方程是初中数学的核心内容之一，其核心是解方程步骤与实际问题建模，培养逻辑思维与应用能力。（一）学习重点解析1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程（如\(3x+5=14\)）。2.解方程的步骤：去分母：两边乘各分母的最小公倍数（注意不含分母的项也要乘）。去括号：按去括号法则进行（注意符号）。移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边（移项要变号，如\(3x+5=14\)→\(3x=14-5\)）。合并同类项：把方程化为\(ax=b\)（\(a\neq0\)）的形式。系数化为1：两边除以\(a\)（如\(3x=9\)→\(x=3\)）。3.实际应用类型：行程问题：相遇（路程和=总路程）、追及（路程差=初始距离）。工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（通常设工作总量为1）。利润问题：利润=售价-成本，利润率=（利润/成本）×100%。浓度问题：溶质=溶液×浓度（如盐水的溶质是盐，溶液是盐+水）。（二）针对性练习题1.基础题（巩固解方程步骤）（1）解方程：\(2x-3=7\)。步骤：移项得\(2x=10\)，系数化为1得\(x=5\)。答案：\(x=5\)。（2）解方程：\(3(x-2)+1=4x-5\)。步骤：去括号得\(3x-6+1=4x-5\)→\(3x-5=4x-5\)；移项得\(-x=0\)→\(x=0\)。答案：\(x=0\)。（3）解方程：\(\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=1\)。步骤：去分母（乘6）得\(2(x-1)+3(x+2)=6\)；去括号得\(2x-2+3x+6=6\)；合并同类项得\(5x+4=6\)；移项得\(5x=2\)；系数化为1得\(x=\frac{2}{5}\)。答案：\(x=\frac{2}{5}\)。2.提升题（实际应用与思维拓展）（1）行程问题：甲、乙两人从相距\(80\)千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度是每小时\(5\)千米，乙的速度是每小时\(3\)千米，问几小时后两人相遇？思路：等量关系：甲的路程+乙的路程=总路程。设\(t\)小时后相遇，列方程\(5t+3t=80\)→\(8t=80\)→\(t=10\)。答案：\(10\)小时。（2）工程问题：一项工程，甲单独做需要\(15\)天完成，乙单独做需要\(10\)天完成，两人合作需要几天完成？思路：设工作总量为1，甲的效率为\(\frac{1}{15}\)，乙的效率为\(\frac{1}{10}\)，合作效率为\(\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}\)。设合作需要\(x\)天完成，列方程\(\frac{1}{6}x=1\)→\(x=6\)。答案：\(6\)天。（3）利润问题：某商品的进价为每件\(150\)元，售价为每件\(180\)元，求该商品的利润率。若要使利润率达到\(20\%\)，则售价应定为多少元？思路：第一问：利润=____=30元，利润率=（30/150）×100%=20%；第二问：设售价为\(x\)元，利润=\(x-150\)，利润率=（\(x-150\)/150）×100%=20%，解得\(x=180\)。答案：\(20\%\)；\(180\)元。四、几何初步：图形的认识与度量几何初步是初中数学的另一个核心板块，其核心是图形分类、线段与角的度量及基本性质，培养空间观念与图形意识。（一）学习重点解析1.图形的分类：立体图形：如正方体、长方体、圆柱、圆锥（具有三维空间）。平面图形：如直线、射线、线段、角（具有二维空间）。2.直线、射线、线段的区别：直线：没有端点，无限长（如直线\(AB\)）。射线：有一个端点，无限长（如射线\(OA\)）。线段：有两个端点，有限长（如线段\(AB\)，可度量）。3.线段的中点：把线段分成相等两段的点（如点\(M\)是线段\(AB\)的中点，则\(AM=MB=\frac{1}{2}AB\)）。4.角的定义与度量：定义：由公共端点的两条射线组成的图形（静态）；或一条射线绕端点旋转形成的图形（动态）。度量：\(1\)周角\(=360^\circ\)，\(1\)平角\(=180^\circ\)，\(1\)直角\(=90^\circ\)，\(1^\circ=60'\)，\(1'=60''\)（60进制）。5.角的平分线：从角的顶点出发，把角分成相等两个角的射线（如\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分线，则\(\angleAOC=\angleCOB=\frac{1}{2}\angleAOB\)）。6.余角与补角：余角：和为\(90^\circ\)的两个角（如\(\angle\alpha=30^\circ\)，则余角为\(60^\circ\)）。补角：和为\(180^\circ\)的两个角（如\(\angle\alpha=30^\circ\)，则补角为\(150^\circ\)）。性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。（二）针对性练习题1.基础题（巩固图形认识与度量）（1）下列图形中，属于线段的是（）。A.直线\(AB\)B.射线\(OA\)C.线段\(CD\)D.角\(AOB\)答案：\(C\)。（2）线段\(AB=10\)cm，点\(C\)是\(AB\)的中点，点\(D\)是\(AC\)的中点，则\(BD=\______\)cm。思路：\(AC=CB=5\)cm，\(AD=DC=2.5\)cm，\(BD=BC+CD=5+2.5=7.5\)cm。答案：\(7.5\)。（3）计算：\(25^\circ30'+35^\circ45'=\______\)；\(180^\circ-60^\circ15'=\______\)。答案：\(61^\circ15'\)；\(119^\circ45'\)（解析：\(30'+45'=75'=1^\circ15'\)，\(25^\circ+35^\circ+1^\circ15'=61^\circ15'\)；\(180^\circ=179^\circ60'\)，\(179^\circ60'-60^\circ15'=119^\circ45'\)）。（4）若\(\angle\alpha=40^\circ\)，则\(\angle\alpha\)的余角是______，补角是______。答案：\(50^\circ\)；\(140^\circ\)（解析：余角\(=90^\circ-40^\circ=50^\circ\)，补角\(=180^\circ-40^\circ=140^\circ\)）。2.提升题（综合应用与思维拓展）（1）如图，点\(A\)、\(B\)、\(C\)在同一直线上，点\(M\)是\(AB\)的中点，点\(N\)是\(AC\)的中点，若\(AB=8\)cm，\(BC=4\)cm，求\(MN\)的长度。（注：可画线段图辅助）思路：\(AC=AB+BC=12\)cm，\(AM=MB=4\)cm，\(AN=NC=6\)cm，\(MN=AN-AM=6-4=2\)cm（或\(MN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{1}{2}BC=2\)cm）。答案：\(2\)cm。（2）已知\(\angleAOB=90^\circ\)，\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分线，\(OD\)是\(\angleAOC\)的平分线，求\(\angleBOD\)的度数。思路：\(OC\)平分\(\angleAOB\)，故\(\angleAOC=\angleCOB=45^\circ\)；\(OD\)平分\(\angleAOC\)，故\(\angleAOD=\angleDOC=22.5^\circ\)；\(\angleBOD=\angleCOB+\angleDOC=45^\circ+22.5^\circ=67.5^\circ\)。答案：\(67.5^\circ\)（或\(67^\circ30'\)）。（3）一个角的补角比它的余角大\(30^\circ\)，求这个角的度数。思路：设这个角为\(x^\circ\)，补角为\((180-x)^\circ\)，余角为\((90-x)^\circ\)，列方程\((180-x)-(90-x)