第十章二元一次方程组-二元一次方程组的工程问题讲义人教版数学七年级下册

第十章二元一次方程组二元一次方程组的工程问题讲义人教版初中数学七年级下册一、知识点回顾1.1工程问题中的基本量关系（教材核心内容）：

1.工作量：通常将总工作量视为单位1；

2.工作效率：单位时间完成的工作量，公式为效率=工作量时间；

3.工作时间：完成工作量所需的时间，公式为1.2合作问题模型：

若甲单独完成需a天，乙单独完成需b天，则：

甲的工作效率为1a，乙为1b；

合作完成时间t满足二、重难点讲解2.1从实际问题抽象出方程组

关键步骤：

1.设两个未知数（如甲、乙的工作时间或人数）；

2.根据“总工作量”或“时间差”建立方程。示例（教材改编）：

甲工程队单独铺设管道需12天，乙队单独铺设需8天。若甲队先工作3天后两队合作，还需几天完成？

解析：

1.设合作时间为x天，总工作量为1；

2.甲完成312+x12，乙完成x8；

3.方程：2.2效率变化问题

题型特点：工作过程中效率因人数、设备等发生改变，需分段分析。

示例：

某工程原计划10天完成，若增加2人后效率提升50%，结果提前2天完成。求原计划人数。

解析：

1.设原计划人数为x，原效率为110x；

2.增加人数后效率为1.510x，时间8天；

3.方程：1.5×1三、易错点与解题方法3.1常见易错点

1.单位混淆：

错误：将“甲队工作3天”误写为工作量13（正确为3a）。

2.总工作量设定错误：

错误：未将总工作量设为1，导致方程复杂化。

3.忽略效率与人数关系：

错误：认为“增加2人”后效率变为原来的2倍（实际为3.2解题技巧与方法

1.表格分析法：

列出“工作效率”“工作时间”“工作量”三列，明确各量关系。示例：

甲、乙两队合作6天完成工程，若甲队单独做5天后乙队加入，再合作4天完成，求两队单独完成时间。方程组：

1四、典型例题解析例1（合作问题）：

甲、乙两人粉刷房间，甲单独做需4小时，乙单独做需6小时。若甲先做1小时后乙加入，求完成剩余工作的时间。

解：

1.设乙加入后工作时间为t小时；

2.方程：14×1+14例2（效率变化问题）：

某工程原计划由8人15天完成，现需提前3天完成，求需增加多少人（假设每人效率相同）。

解：

1.总工作量为8×15=120人天；

2.设增加x人，方程：五、巩固练习甲、乙两队合修公路需20天，甲队单独修需50天，求乙队单独修需多少天。

某工程原计划12人10天完成，实际工作2天后调走4人，求实际完成天数。

甲、乙两人加工零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工100个与乙加工80个时间相同，求甲的工作效率。

某水池有进水管和出水管，单开进水管3小时注满，单开出水管4小时放空。若同时打开两管，求注满水池的时间。一、选择1.(单选)（四川成都龙泉驿区期末）若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨货．设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（

）．A.B.C.D.2.(单选)甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（

）A.320，360B.360，320C.300，380D.380，3803.(单选)某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（

）A.B.C.D.4.(单选)世界地球日（）即每年的月日，是一项世界性的环境保护活动日．某工厂计划生产个地球日徽章，若甲机器和乙机器同时运作天后，甲机器再单独运作天，还有个未完成．若乙机器先运作天后，甲再加入后共同运作天，则可超产个．设甲机器每天生产个，乙机器每天生产个，则可列方程组为（

）．A.B.C.D.5.(单选)我市为争创“全国文明城市”，对城区主干道进行绿化，如图所示，计划把某一段公路的侧全部栽上梧桐树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔米栽棵，则树苗缺棵；如果每隔米栽棵，则树苗正好用完．甲：设共需树苗x棵，根据题意，得；乙：设公路长为y米，依题意，得其中正确的是A.甲对，乙不对B.甲不对，乙对C.两人都对D.两人都不对6.(单选)羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（

）天．A.B.C.D.7.(单选)在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余米，问木头长多少米？若设木头长为米，绳子长为米，则所列方程组正确的是（

）．A.B.C.D.8.(单选)在月日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植棵树，小刚植树小时，小敏植树小时，两人一共植树棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（

）．A.B.C.D.二、填空1.（实验班原创）某校计划对校园广场和道路改造，该项目月日正式动工，经过近四个月的紧张施工，于月日竣工，若该工程拆除旧设施每平方米需要元，建造新设施每平方米需要元，计划拆除旧设施与建造新设施共平方米，在实施中为扩大绿化面积．新建设施只完成了计划的，而拆除旧设施则超过了计划的，结果比原计划的拆、建总面积少平方米．(1)求原计划拆除旧设施面积为

平方米；(2)若绿化平方米需要元，那么把在实际的拆、建工程中结余的资金全部用来绿化，可绿化的面积为

平方米．2.风味美饭店生意火爆，座无虚席，老板决定扩大规模重新装修．若先请甲施工队单独做天、再请乙施工队单独做天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱元．若先请甲施工队单独做天，再请乙施工队单独做天，可完成施工，风味美饭店老板共付工钱元．(1)甲施工队工作天，风味美饭店老板应付

元；乙施工队工作天，风味美饭店老板应付

元．(2)若甲、乙两施工队合作，则需要同时做

天才能完成施工任务．3.古运河扬州段是整个运河中最古老的一段，是扬州的“母亲河”，为打造古运河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治米，乙工程队每天整治米，共用时天．求：整治任务完成时，甲、乙两个工程队分别整治河道多少米．嘉嘉，淇淇两位同学提出的解题思路如下．嘉嘉同学：设整治任务完成时，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据题意，得淇淇同学：设整治任务完成时，表示

，表示

．根据题意，得.(1)请你补全嘉嘉

、

、

，淇淇

、

两位同学的解题思路．(2)你能从中任选一位同学的解题思路写出完整的解答过程吗．

4.两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产

个零件、第二组生产

个零件．5.年来，河南省舞钢市按照《森林河南生态建设规划（年）》要求，累计造林近两万亩，义务植树万株以上，成功创建省级森林城市．现有一块面积为亩的荒地需要绿化，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用天完成．已知甲工程队每天绿化亩，乙工程队每天绿化亩，设原计划甲工程队需绿化天，乙工程队需绿化天，则可列方程组为：

．6.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件．则这队工人有

人，全队每天制造的工件数额为

件．7.杭州某公司准备安装完成辆共享单车并投入市场．由于抽调不出足够多的熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：名熟练工人和名新工人每天共安装辆共享单车；名熟练工人每天安装的共享单车数与名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装

、

辆共享单车．(2)若公司原有熟练工人名，现招聘名新工人（），使得最后能刚好一个月（天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占，的值为

．8.在、两城市间准备修建一条千米的高速公路，该任务由甲、乙两工程队接力完成路基建设，甲工程队每天修建千米，乙工程队每天修建千米，两工程队共需天完成路基建设，求甲、乙两工程队分别修建高速公路路基多少千米．根据题意，小刚同学列出了一个尚不完整的方程组．(1)根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义：表示

，表示

．(2)小红同学设甲工程队修建高速公路路基千米，乙工程队修建高速公路路基千米，请你利用小红同学设的未知数解决问题：

，

．三、解答1.根据以下素材，探索完成任务．有、两种卡纸，可用来做小旗子，若张卡纸和张卡纸共能做小旗子面，张卡纸和张卡纸共能做小旗子面．(1)求、两种卡纸．每张可分别做几面小旗子．(2)由于艺术节场地布置需要，某学校打算采购、两种卡纸．卡纸每张元，卡纸每张元，正好赶上商场促销活动：买一张卡纸，就赠送一张卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子．①制作过程中，若、卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用．②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼个．已知一张、卡纸可分别做灯笼个和个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）．由卡纸制作由卡纸制作小旗子（面）小灯笼（个）小旗子（面）小灯笼（个）方案评价表方案等级采购费用制作中卡纸使用情况评分优秀低于元两种卡纸均无余料剩余分良好低于元两种卡纸均有余料剩余分合格低于元仅一种卡纸有余料剩余分

2.根据以下信息，探索完成任务：如何设计招聘方案？素材某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装．素材调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车．素材工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资．

(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？(3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人

名．（直接写出答案）3.半溪河是南川城区的重要河流，为打造半溪河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成．工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．(1)求、两工程队分别整治河道多少天？(2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？4.某城市计划修建一段公路，现有甲乙两个工程队，如果甲乙合作，每天可以修米；如果先由甲单独做天，再由乙单独做天，可以修米．(1)甲，乙工程队每天分别可以修路多少米？(2)甲乙工程队都需要租，，三种车（各队每种车至少租辆）来运输修路产生的建筑垃圾．每辆车，车，车每天运输的建筑垃圾重量分别为吨，吨，吨．甲和乙工程队都分别租了辆车，其中两队租用车的数量一样，两队租用车，车的数量刚好互换，甲队每天运输的垃圾总重量是乙队每天运输的垃圾总重量的．已知每辆车，车，车每天的租金分别为元，元，元．请问甲工程队有哪几种租车方案？其中哪种方案甲队每天的租车费用最低，最低费用为多少？5.在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条米长的公路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，一共用天完成．(1)李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，请写出李东所列方程组中未知数，表示的意义：表示

，表示

；并写出该方程组中处的数应是

，处的数应是

．(2)陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了米公路，乙工程队一共修建了米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？6.巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天．(1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答）(2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？7.为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面．(1)甲装修组每天比乙装修组多铺设平方米，两组每天可共铺设地面平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？(2)已知两个装修组同时施工天，共需要工时费元，若甲组单独施工天，乙组单独施工天，共需要工时费用元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？8.大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（天）的报酬是型平板电脑一台和元现金．当她工作满天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和元现金．(1)这台型平板电脑价值多少元？(2)若小敏工作天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含的代数式表示）？9.某工厂每周需要对面积为平方米的仓库进行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任务，后来为提高效率，采用机器人消毒，机器人每分钟消毒面积是人工操作的倍，并且提前分钟完成消毒任务．求机器人每分钟消毒面积为多少平方米?10.如何分配工作时间使公司能在规定时间内完成任务素材：某电子零件生产公司承接到零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产天，乙车间生产天，则比订单多生产个；若甲车间生产天，乙车间生产天，则比订单少生产个零件．素材：经调查，甲车间每人每天能生产个电子零件，乙车间每人每天能生产个电子零件．素材：