2021-2022学年人教A版必修一 2.1.2.1. 指数函数的图象及性质 课件（35张）

2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质必备知识·自主学习1.指数函数函数________________叫做指数函数,其中自变量是x,定义域是R.【思考】(1)为什么指数函数的底数a>0,且a≠1?提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义.②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,这时对于x=,…该函数无意义.③如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值.为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.y=ax(a>0,且a≠1)(2)指数函数的解析式有什么特征?提示:①a>0,且a≠1;②ax的系数为1;③自变量x的系数为1.2.指数函数的图象和性质0<a<1a>1图象

定义域R值域(0,+∞)性质过定点______,即x=0时,y=1在R上是_______在R上是_______(0,1)减函数增函数【思考】对于指数函数y=2x,y=3x,y=,y=,…,为什么一定过点(0,1)?提示:当x=0时,a0=1恒成立,即指数函数的图象一定过点(0,1).

【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)y=x5是指数函数. (

)(2)y=2ax(a>0,且a≠1)是指数函数. (

)(3)指数函数的图象都在x轴的上方. (

)(4)若指数函数y=ax是减函数,则0<a<1. (

)提示:(1)✕.y=x5不是指数函数,指数函数的底数是常数.(2)✕.指数函数的系数为1.(3)√.由指数函数的性质可知正确.(4)√.由指数函数的单调性可知正确.2.函数y=2-x的图象是 (

)【解析】选B.因为y=2-x=,故图象为B.3.(教材二次开发:例题改编)函数f(x)=-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点________.

【解析】令x+1=0,则x=-1,f(-1)=a0-2=-1,则f(x)的图象恒过定点(-1,-1).答案:(-1,-1)关键能力·合作学习类型一指数函数的概念及应用(数学抽象)【题组训练】1.若点(a,27)在函数y=()x的图象上,则的值为 (

)A. B.1 C.2 D.02.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值为________.

3.指数函数y=f(x)的图象经过点,那么f(4)·f(2)=________.

【解析】1.选A.点(a,27)在函数y=()x的图象上,所以27=()a,即33=,所以=3,解得a=6,所以2.由题意得a2-3a+3=1,即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或a=1(舍).答案:23.设指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),因为函数的图象经过点,所以=a-2,所以a=2,所以指数函数的解析式为y=2x,所以f(4)·f(2)=24·22=26=64.答案:64【解题策略】判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征:①底数a>0,且a≠1;②ax的系数为1;③自变量x的系数为1;(2)有些函数需要对解析式变形后判断,如y=是指数函数.【补偿训练】函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= (

)A.8

B.C.4 D.2【解析】选D.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,所以2a-3=1,解得a=2,所以f(x)=2x,所以f(1)=2.类型二指数函数的图象及应用(直观想象)【典例】已知函数y=3x的图象,怎样变换得到y=+2的图象?并画出相应的图象.【思路导引】把函数y=+2化为y=3-(x+1)+2,然后观察二者的差别即可得到变换方法.【解析】y=+2=3-(x+1)+2.作函数y=3x的图象关于y轴的对称图象得函数y=3-x的图象,再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图象,最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=+2的图象,如图所示.【解题策略】处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.【跟踪训练】1.函数y=2|x|的图象是 (

)2.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(

)A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0【解析】1.选B.y=2|x|=2.选D.从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有0<a<1;从曲线位置看,是由函数y=ax(0<a<1)的图象向左平移|-b|个单位长度得到,所以-b>0,即b<0.【拓展延伸】在同一平面直角坐标系中,底数a的大小决定了图象相对位置的高低:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,即“底数大图象高”;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大,即“底数大图象低”.例如:函数y=2x和y=3x,y=和y=的图象如图所示.【拓展训练】函数①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的图象如图所示,a,b,c,d分别是下列四个数:

中的一个,则对应的a,b,c,d的值是 (

)【解析】选C.方法一:从第一象限看指数函数的图象,逆时针方向底数依次从小变大.方法二:直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c,d,a,b,而

,所以a=,b=,c=,d=.【补偿训练】已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限,则t的取值范围为

(

)A.t≤-1

B.t<-1C.t≤-3 D.t≥-3【解析】选A.由指数函数的性质知,函数g(x)=3x+t恒过点(0,1+t),函数g(x)是增函数,图象不经过第二象限,所以1+t≤0,解得t≤-1.类型三指数函数的定义域、值域问题(数学运算)角度1与指数函数相关的定义域问题

【典例】函数y=的定义域为________.

【思路导引】利用被开方数大于等于0,列式求范围.【解析】依题意得,2x-8≥0,所以2x≥8=23,又y=2x为增函数,所以x≥3.所以函数y=的定义域为{x|x≥3}.答案:[3,+∞)角度2简单的值域问题

【典例】函数y=3-x(-2≤x≤1)的值域是 (

)A.[3,9] B.C. D.【思路导引】先确定函数的单调性,再结合图象求最值.【解析】选B.函数y=3-x=在[-2,1]上递减,故ymax=3-(-2)=9,ymin=3-1=.【变式探究】将本题的函数变为y=(0<x≤2),试求函数的值域.【解析】因为0<x≤2,所以1<2x≤4,所以-4≤-2x<-1,所以1≤5-2x<4,所以≤1,故所求函数的值域为.角度3与参数相关的值域问题

【典例】已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则实数a的值为________.

【思路导引】分情况表示出最大值、最小值,列式求a的值.【解析】当a>1时,y=ax在[-1,1]上单调递增,所以当x=-1时,y取到最小值a-1,当x=1时,y取到最大值a,所以a-a-1=1,解得a=;当0<a<1时,y=ax在[-1,1]上单调递减,所以当x=-1时,y取到最大值a-1,当x=1时,y取到最小值a,所以a-1-a=1,解得a=.所以a=.答案:

【解题策略】1.与指数函数相关的定义域问题(1)函数y=af(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.(2)涉及不等关系求定义域时,先化同底,再利用单调性求范围.2.含参数的值域问题对底数a不确定时,需要分a>1,0<a<1两种情况讨论,特别地,如果是最大值与最小值的和,则不需要讨论,因为无论单调递增还是递减,最值总在端点处取到.【题组训练】1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在x∈[1,2]上的最大值和最小值的和是3a,则实数a的值是________.

【解析】函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在x∈[1,2]上的最大值和最小值的和是3a,所以f(1)+f(2)=a+a2=3a,解得a=2或0(舍去).答案:22.求下列函数的定义域.(1)y=.(2)y=.【解析】(1)令1-≥0,则≤1,则x≥0,所以函数的定义域为[0,+∞).(2)由x2-5x-6≠0,得x≠-1,且x≠6,故y=的定义域为{x|x∈R,x≠-1,且x≠6}.【补偿训练】1.