第13讲抛物线的几何性质（原卷版）

第13讲抛物线的几何性质题型梳理题型梳理易错分析易错点一忽视点与抛物线的位置关系而致错易错点二忽视焦点的位置而致错题型方法题型一抛物线性质的应用题型二焦点弦的性质题型三直线与抛物线的位置关系知识清单知识清单知识点01抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离顶点O(0，0)对称轴x轴y轴离心率e=1范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下知识点02抛物线的焦点弦1.焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所得的线段，称为抛物线的焦点弦2.通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所得的弦，称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p，是所有焦点弦中最短的弦.3.有关抛物线焦点弦的结论如图，已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AA‘，BB'均垂直于准线，直线AB的倾斜角为θ.则有：(1)AB=x1+x2+p=2psin(2)x1x2=p24，y1y2=p2，OA·OB=34(3)AF=p1−cosθ，BF=p(4)1AF+1BF=(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)以AB为直径的圆与准线相切；(7)A，O，B'共线，A'，O，B共线(8)∠A'FB'=90°；(9)S△AOB=p2(10)抛物线在A，B处的切线互相垂直且交点在准线上.4.圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1时，它是椭圆；当e>1时，它是双曲线；当e=1时，它是抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线.根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F1(c，0)，F2(c，0)对应的准线方程分别为x=a2c，x=知识点03抛物线几何性质的应用涉及抛物线的几何性质的问题，常画出图形，结合抛物线的定义求解，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征.知识点04抛物线的焦点弦问题解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论，并灵活运用.知识点2中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的，在实际应用中不能盲目套用易错分析易错分析【易错点一】忽视点与抛物线的位置关系而致错【例1】过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（

）A．1条 B．2条C．3条 D．4条【易错点二】忽视焦点的位置而致错【举一反三】【变式1】（2020高三·江苏·专题练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为.题型方法题型方法【题型一】抛物线性质的应用解题技巧把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.A． B．1 C．2 D．3(1)求抛物线的准线方程及焦点坐标；【题型二】焦点弦的性质A．6 B．4 C．3 D．2(1)求值；(3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程．【题型三】直线与抛物线的位置关系(1)求抛物线E的标准方程；好题必刷好题必刷一、单选题A． B．3 C． D．4A．12 B．14