高三试卷：2025届湖南省“炎德英才”长郡中学高三10月月考-数学试卷+答案

得分本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。1.已知集合A={x||x|≤2},B={t|1≤2'≤8(t∈Z)},则A∩B=A.[-1,3]B.{0,1}C.[0,2]2.已知复数z满足|z—i|=1,则|z|的取值范围是A.[0,1]B.(0,1)C.(0,2)D.[0,2]成立的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.若锐角α满足,则B5.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生数学试题(长郡版)第1页(共8页)6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm,上底面的直径为8cm,高为4cm,已知点P是上底面圆周上不与直径AB端点重合的一点，PC是圆台的母线，且AP=BP,O为上底面圆的圆心，则OP与平面ABC所成的角的正切值为A.27.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆C:x²+y²=1交于A,B两点，则△AOB的面积的最大值为CD8.设函数f(x)=(x²+ax+b)lnx,若f(x)≥0,则a的最小值为二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有A.若,则C.若,则P(X=1)=P(X=n—1)D.当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布数学试题(长郡版)第2页(共8页)10.已知函数f(x)=sinwx+acoswx(x∈R,w>0)的最大值为2,其部分B.函数为偶函数C.满足条件的正实数w存在且唯一11.已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点D,直线l经过F且与C交于A,B两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点B.△ABD是锐角三角形D.|BF|·|FA|>|FD|²选择题答题卡题号123456789得分答案三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)13.已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x)=f(一x)+3eˣ,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为14.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A,B中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入B中，直到一方为负一颗糖时游戏结束.那么游戏结束时B中没有糖的概率是 · 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分) (2)若,求数列{cn}的前n项和.16.(本小题满分15分)如图，在以A,B,C,D,E,F(2)若M为线段CD上一点，且CM=1,求二面角A-EM-B的余弦值.17.(本小题满分15分)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x>0,都有f(x)≥1恒成立，求a的取值范围.18.(本小题满分17分)已知双曲线E:1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,E的一条渐近线方程为y=√3x,过F₁且与x轴垂直的直线与E交于P,Q两点，且△PQF₂的周长为16.(1)求E的方程；(2)A,B为双曲线E右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点C(0,4),求∠ACB的取值范围.数学试题(长郡版)第7页(共8页)19.(本小题满分17分)成立},|A|表示集合A中元素的个数.(1)设A=[-1,1],B=[0,2],求A△B;(2)对于有限集A,B,C,证明|A△B|+|B△C|≥|A△C|,并求出固定A,C后使该式取等号的B的数量；(用含A,C的式子表示)(3)若有限集A,B,C满足|A△B|+|B△(A,B,C)为“联合对”,定义I={1,2,…,n},n∈N*,u={(A,B,C)|A,B,CCI}.(用含m的式子表示)数学参考答案题号123456789DDABCADB一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)2.D【解析】因为在复平面内，|z—i|=1表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即|z-i|=1表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，|≈|表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0,最长距离为1+1=2,则|≈|的取值范围是[0,2].因为,则,则5.C【解析】根据已知条件设理科女生有x人，理科男生有x₂人，文科女生有y₁人，文科男生有y₂人；根据题意可知x₁+x₂>y+y₂,x₂+y₂<x₁+y₁,根据异向不等式可减的性质有(x₁+x₂)—(x₂+y₂)>(y₁+y₂)一(x₁+y₁),即有x>y₂,所以理科女生多于文科男生，C正确.其他选项没有足够证据论证.6.A【解析】设O为下底面圆的圆心，连接00,CO和CO,又因为AB⊥O0,OP∩0O=0,OP,O0C平因为PC是该圆台的一条母线，所以O,0,C,P四点共面，且OC//OP,又ABC平面ABC,所以平面ABC⊥平面POC,又因为平面ABCN平面POC=OC,所以点P在平面ABC的射影在直线OC上，则OP与平面ABC所成的角即为∠POC=∠OCO,7.D【解析】设圆心C到直线l的距离为d,由题意得直线l,则当要使f(x)≥0,则二次函数y=x²+ax+b在区间(0,1)上，y≤0;在区间(1,十∞)上，y≥0,所以x=1为该二次函数的一个零点，易得b=-a-1,则y=x²+ax—(a+1)=(x-1)[x+(a+1)],且开口向上，所以，只需—(a+1)≤0→a+1≥0→a≥-1,故a的最小值为—1.二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.)9.BC【解析】对于若,则,A正确.由教材原文，知D正确.10.ACD【解析】由函数f(x)=sinwx+acoswx=√1+a²sin(wx+φ),且tan因为函数f(x)的最大值为2,可得√1+a²=2,解得a=±√3,又因为f(0)=a>0,所以a=√3,所以A正确；,且函数的附近单调递减，数学参考答案(长郡版)-1数学参考答案(长郡版)-2又因为,可得,所以,解得0<w<4,所以w=2,此时,其最小正周期为T=π,所以C,D正确；即函数为奇函数，所以B不正确.11.ABD【解析】由题意可知：抛物线的焦点为,准线为,即则,故则,故,可知△MNF为等边三角形，即∠NMF=60°,且MN//x轴，可知直线l的倾斜角为60°,斜率为k=tan60°=√3,故A正确；则直线或，联立方程’解得或，,则可得|可知∠ADB为最大角，且为锐角，所以△ABD是锐角三角形，故B正确；三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.√5【解析】设BD=mBC=(6m,3m),则AD=AB+BD=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3由AD·BC=0得AD·BC=6(6m+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0,联立可解得f(x)=e×+2e,所以f(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-3=x,故所求的切线方程为y=x+3.【解析】设最初在A中有k颗糖，B中有6一k颗糖时，游戏结束时B中没有糖的概率为a(k=0,1,…,6).四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)所以√S-√S二1=1,……………(3分)所以数列{√S}为等差数列，公差为1,,………………(10分)所以数列{c}的前n项和.…………………………(13分)连接AO,由△ADO≌△EDO,可知AOLCD且AO=2,从而OELOA,(4分)又OELCD,OA∩CD=0,OA,CDC平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD,又OEC平面CDEF,所以平面ABCD⊥平面CDEF(7分)(2)由(1)知，OE,OC,OA两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,2),E(2,0,0),M(0AE=(2,0,—2),EM=(-2,2,0),MB=(0,0设平面AEM的法向量为n=(x,y,z),则即设平面BEM的法向量为m=(x₁,y₁,≈1),数学参考答案(长郡版)-3数学参考答案(长郡版)-4由图可以看出二面角A-EM-B为锐角，故二面角A-EM-B的余弦值为……………(15分)当a≤0时，f(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；……………(3分)当时，f(x)>0,f(x)在上单调递增.…………………(6分)(2)因为对于任意的x>0,都有f(x)≥1恒成立，①当a≤0时，f'(x)>0,则f(x)在(0,十∞)上单调递增，f(x)>f(0)=1,符合题意；………(8分)所以g(a)在(1,+∞)上单调递减，所以g(a)<g(1)=1,不合题意.………(14分)