2026届人教版高三数学一轮复习零基础题（不等式板块：基本不等式）讲义、专题练习、答案汇编

第第页高三数学一轮复习——基本不等式专题知识点知识点·梳理1、重要不等式.2、基本不等式.3、最值定理已知.有下列命题：①如果是定值，那么当且仅当时，有最小值；②如果是定值，那么当且仅当时，有最大值；口诀：积定和最小，和定积最大.重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一基本不等式--直接法【例1-1】（2011年真题）已知函数有最小值8，则【例1-2】（2008年真题）已知函数有最小值1，则___【例1-3】（2007年真题）函数的最大值是___【例1-4】（2006年真题）设，则的最小值等于A、81B、162C、49D、98【变式1】已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2】若存在，使成立，则的取值范围是___________.题型二基本不等式--配凑法【例2-1】（2009年真题）函数的最小值是___【变式1】若，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．16 D．17【变式2】若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式3】函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5题型三基本不等式--“1”的妙用【例3-1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（

）A．25 B．6 C．4 D．5【变式1】已知，则取得最小值时，（

）A． B． C．3 D．

课后模拟课后模拟·巩固练习1、已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．2、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．84．如果，那么的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知，，，则的最小值为（

）．A．4 B． C．6 D．6．设，且，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．27．函数的最小值是（

）A． B． C． D．8．若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．49．函数y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－310．已知都是正数，若，则的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．11．当时，函数有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值212．已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（

）A．4 B．8 C．12 D．1613．已知正实数a，b满足，则的最小值为．

知识点·梳理知识点·梳理1、重要不等式.2、基本不等式.3、最值定理已知.有下列命题：①如果是定值，那么当且仅当时，有最小值；②如果是定值，那么当且仅当时，有最大值；口诀：积定和最小，和定积最大.重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一基本不等式--直接法【例1-1】（2011年真题）已知函数有最小值8，则【答案】2【解析】，最小值为【例1-2】（2008年真题）已知函数有最小值1，则___【答案】【解析】由基本不等式得，即【例1-3】（2007年真题）函数的最大值是___【答案】【解析】最小值8，故最大值【例1-4】（2006年真题）设，则的最小值等于A、81B、162C、49D、98【答案】B【解析】由基本不等式得，【变式1】已知，，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用基本不等式可求得结果.【详解】，，（当且仅当，时取等号），的最大值为.故选：B.【变式2】若存在，使成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即；故答案为：题型二基本不等式--配凑法【例2-1】（2009年真题）函数的最小值是___【答案】21【解析】【变式1】若，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．16 D．17【答案】C【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于，所以，，当且仅当，即时，等号成立.故最小值为16故选:C【变式2】若，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由，可得，，当且仅当，即时取等号，【变式3】函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x=1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．题型三基本不等式--“1”的妙用【例3-1】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（

）A．25 B．6 C．4 D．5【答案】D【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值.【详解】因为不等式恒成立，，，所以恒成立，设，则当且仅当时等号成立，所以，所以，所以m的最大值为5，故选：D．【变式1】已知，则取得最小值时，（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.【详解】∵，则，∴，当且仅当，即当时，等号成立.故选：C.课后模拟课后模拟·巩固练习1、已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得结果.【详解】由，，得：，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故选：C.2、若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；故选：C3．已知且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.【详解】且，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8.故选：D4．如果，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得.【详解】，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.故选：C5．已知，，，则的最小值为（

）．A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选：B6．设，且，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】，等号成立当且仅当，所以的最小值为4.故选：B.7．函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先将函数解析式化为，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】将式子整理为，进而结合基本不等式求得答案.【详解】由题意，，所以，当且仅当时取“=”.故选：D.9．函数y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－3【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当时等号成立.故选：.10．已知都是正数，若，则的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用将化为积为定值的形式后，由基本不等式可求得结果.【详解】∵，∴，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．当时，函数有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2【答案】B【解析】根据题中条件，利用基本不等式，即可求出函数的最值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.即有最大值1.故选：B.【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，属于基础题型.12．已知长为､宽为的矩形的面积为，则该矩形周长的最小值为（

）A．4