2026届人教版高三数学一轮复习零基础（数列板块：数列的概念及等差数列）讲义、专题练习、答案汇编

第第页高三数学一轮复习——数列的概念及等差数列专题知识点知识点·梳理一、数列的概念①数列的概念：按照一定规律排列的一列数称为数列；记作.②数列的分类1）按照项数分类：有穷数列、无穷数列.2）按照变化趋势分类：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列.③数列与函数的关系：数列可以看成是一个自变量为N∗的函数.④数列的通项公式与递推公式1）递推公式：如果数列相邻两项(多项)的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做递推公式.2）通项公式：如果数列第项与序号的关系可以用一个式子表示，这个公式叫做通项公式.⑤数列的前项和1）我们把数列从第一项到第n项的和称为数列前n项和，记为.2）与的关系：.二、等差数列①等差数列的有关概念1）等差数列的定义：一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，其中这个常数称为公差.2）等差数列定义式：.3）等差中项：若成等差数列，则.4）等差数列的通项公式：或.5）等差数列的前n项和：或.②等差数列的性质已知数列是等差数列，是数列的前项和.1）若,则有.2）等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数数列.3）若数列是等差数列，公差为，则成等差数列.4）数列成等差数列.5）若数列是等差数列，则成等差数列.6）当为奇数时，；当为偶数时，.

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一数列的概念及其表示【例1-1】（2024年真题）已知数列的前项和，则其通项____【例1-2】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式．【变式1】已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式.题型二等差数列基本量计算【例2-1】在等差数列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【例2-2】（2023年真题）记为等差数列的前n项和.若，则（

）A．17 B．19 C．21 D．23【例2-3】（2022年真题节选）已知函数，是等差数列，且(1)求的前项和；【例2-4】（2017年真题）已知等差数列的公差为，则的前12项和为___【例2-5】（2014年真题）已知是等差数列，则其第16项的值是___【例2-6】（2012年真题）等差数列的前项和为，若，则A、8B、9C、10D、11【例2-7】（2011年真题）是等差数列的前项和，已知，则公差A、-1B、-2C、1D、2【变式1】在等差数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首项与公差；(8)已知，，求通项．【变式2】（2010年真题）等差数列中，，公差，若数列前项和，则A、5B、9C、13D、17【变式3】（2008年真题）已知是等差数列，，则的通项公式【变式4】（2005年真题）设等差数列的前项和为，已知，则A、235B、175C、205D、265【变式5】已知等差数列的前n项和，且则（

）A．10 B．15 C．30 D．3【变式6】已知等差数列，若，，则（

）A．30 B．36 C．24 D．48【变式7】已知为等差数列的前项和，若，，则（

）A．3 B．5 C．7 D．8题型三等差数列的性质【例3-1】（2021年真题）已知数列满足，且，则（

）A．B．C．D．【例3-2】（2020年真题）1，3的等差中项是A、1B、2C、3D、4【例3-3】（2019年真题）记等差数列的前项和为，若，则A、110B、80C、55D、30【例3-4】（2013年真题）等差数列共有20项，其奇数项之和为130，偶数项之和为150，则该数列的公差为___【例3-5】（2004年真题）在等差数列中，若，则的值是A、45B、75C、90D、180【例3-6】（2003年真题）在数列中，若，且对任意，有，则数列的前10项和为A、5B、C、D、25【变式1】已知数列是等差数列，，则（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【变式2】在等差数列中，，则（

）A．36 B．48 C．60 D．72【变式3】等差数列中，，，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．3【变式4】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.课后模拟课后模拟·巩固练习1、已知数列的前项和为，则数列的通项公式.2、（多选）已知数列，则下列说法正确的是（

）A．此数列的通项公式是 B．是它的第项C．此数列的通项公式是 D．是它的第项3、已知数列的前n项和，则.4、等差数列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．365、在等差数列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)已知，，，求；(6)已知，，，求；(7)已知，，，求d；(8)已知，，，求．6、已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A．60 B．45 C．30 D．157、已知等差数列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．1608、已知等差数列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．1609、一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为.10、已知，，则、的等差中项为（

）A． B． C． D．11、在等差数列中，，则（

）A． B．C． D．12、已知是等差数列的前n项和，，则（

）A．22 B．33 C．40 D．4413、设等差数列的前项和，若，，则（

）A．18 B．27 C．45 D．6314、已知为等差数列，若，则=（

）A．73 B．120 C．121 D．12215、一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．16、数列满足，，则（

）A． B． C． D．17、已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．45 B．60 C．160 D．8018、在等差数列中，，则（

）A． B． C．1345 D．234519、已知等差数列的前项和为，若，，则．20、已知等差数列的前项和为，且，，则.

数列的概念及等差数列知识点·知识点·梳理一、数列的概念①数列的概念：按照一定规律排列的一列数称为数列；记作.②数列的分类1）按照项数分类：有穷数列、无穷数列.2）按照变化趋势分类：递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列.③数列与函数的关系：数列可以看成是一个自变量为N∗的函数.④数列的通项公式与递推公式1）递推公式：如果数列相邻两项(多项)的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做递推公式.2）通项公式：如果数列第项与序号的关系可以用一个式子表示，这个公式叫做通项公式.⑤数列的前项和1）我们把数列从第一项到第n项的和称为数列前n项和，记为.2）与的关系：.二、等差数列①等差数列的有关概念1）等差数列的定义：一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列，其中这个常数称为公差.2）等差数列定义式：.3）等差中项：若成等差数列，则.4）等差数列的通项公式：或.5）等差数列的前n项和：或.②等差数列的性质已知数列是等差数列，是数列的前项和.1）若,则有.2）等差数列的单调性：当时，是递增数列；当时，是递减数列；当时，是常数数列.3）若数列是等差数列，公差为，则成等差数列.4）数列成等差数列.5）若数列是等差数列，则成等差数列.6）当为奇数时，；当为偶数时，.

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一数列的概念及其表示【例1-1】（2024年真题）已知数列的前项和，则其通项____【答案】【解析】，同样适合通项公式，故【例1-2】已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式．【答案】【解析】由题知，，则，，又，符合上式，所以.故答案为：【变式1】已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式.【答案】【解析】当时，，当时，，显然，故.故答案为：题型二等差数列基本量计算【例2-1】在等差数列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由，，，则．（2）由，，，则，解得．（3）由，，则．（4）由，，则．【例2-2】（2023年真题）记为等差数列的前n项和.若，则（

）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】B【解析】提示:当算出，也可以把数列的每个数一个一个列出来，即，方法二:，上式乘以6，下式减上式得，代入上式，解得同理算出和之后，也可以把数列每个数一个一个列出来。【例2-3】（2022年真题节选）已知函数，是等差数列，且(1)求的前项和；解:(1) 为等差数列,即解得 公差,首项16前项和【例2-4】（2017年真题）已知等差数列的公差为，则的前12项和为___【答案】90【解析】【例2-5】（2014年真题）已知是等差数列，则其第16项的值是___【答案】55【解析】首项为-5，公差为4，通项公式；【例2-6】（2012年真题）等差数列的前项和为，若，则A、8B、9C、10D、11【答案】C【解析】【例2-7】（2011年真题）是等差数列的前项和，已知，则公差A、-1B、-2C、1D、2【答案】D【解析】【变式1】在等差数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首项与公差；(8)已知，，求通项．【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8).【解析】（1）由知：；（2）因为，，所以，所以，解得；（3）由知：，解得.（4）在等差数列中，由，得：，解得，所以.（5）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以.（6）设等差数列的公差为，由，得：，解得，所以.（7）由已知可得，解得.（8）由已知可得，解得.所以，.【变式2】（2010年真题）等差数列中，，公差，若数列前项和，则A、5B、9C、13D、17

【答案】B【解析】列举等差数列，看前多少项的和为0，，故前9项的和为0【变式3】（2008年真题）已知是等差数列，，则的通项公式【答案】【解析】，故【变式4】（2005年真题）设等差数列的前项和为，已知，则A、235B、175C、205D、265【答案】A【解析】;解得【变式5】已知等差数列的前n项和，且则（

）A．10 B．15 C．30 D．3【答案】B【解析】因为是等差数列，，所以，则，所以.故选：B【变式6】已知等差数列，若，，则（

）A．30 B．36 C．24 D．48【答案】A【解析】已知等差数列，①，②，设数列的公差为d，②－①得，则．故选：A.【变式7】已知为等差数列的前项和，若，，则（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】B【解析】因为数列是等差数列，成等差数列，而，，，故选：B.题型三等差数列的性质【例3-1】（2021年真题）已知数列满足，且，则（

）A．B．C．D．【答案】【解析】，数列首项为2;，公差【例3-2】（2020年真题）1，3的等差中项是A、1B、2C、3D、4【答案】【解析】有一列有规律的数，差相等，1和3中间那个数就是2，2比1大1，3比2大1，故等差，也就是说2是1和3的等差中项。【例3-3】（2019年真题）记等差数列的前项和为，若，则A、110B、80C、55D、30【答案】C【解析】是和的等差中项， 是和的等差中项，同理也是和的等差中项， 【例3-4】（2013年真题）等差数列共有20项，其奇数项之和为130，偶数项之和为150，则该数列的公差为___【答案】2【解析】10个奇数项，10个偶数项，差10个，即【例3-5】（2004年真题）在等差数列中，若，则的值是A、45B、75C、90D、180【答案】D【解析】【例3-6】（2003年真题）在数列中，若，且对任意，有，则数列的前10项和为A、5B、C、D、25【答案】C【解析】数列首项，公差，所以前10项分别是：，首尾相加最后结果2、5 【变式1】已知数列是等差数列，，则（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【答案】B【解析】数列是等差数列又故选：B.【变式2】在等差数列中，，则（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【解析】由题设，，则，所以.故选：C【变式3】等差数列中，，，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】设等差数列的公差为，则②-①可得：，所以.故选：A.【变式4】已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.【答案】见解析【解析】根据题意设这5个数分别为,则,即,解得.当时,这5个数分别为；当时,这5个数分别为.课后模拟课后模拟·巩固练习1、已知数列的前项和为，则数列的通项公式.【答案】【解析】当时，；当时，；显然时也符合上式，所以.故答案为：2、（多选）已知数列，则下列说法正确的是（

）A．此数列的通项公式是 B．是它的第项C．此数列的通项公式是 D．是它的第项【答案】AB【解析】数列，即，则此数列的通项公式为，A正确，C错，令，解得，故B正确，D错.故选：AB3、已知数列的前n项和，则.【答案】【解析】当时，，当时，，不满足上式.故.故答案为：4、等差数列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．36【答案】D【解析】因为是等差数列，所以，解得，所以，故选：D5、在等差数列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)已知，，，求；(6)已知，，，求；(7)已知，，，求d；(8)已知，，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.(5)13(6)8(7)(8)【解析】（1），，；（2），，；（3），，；（4），，上两式联立：，，；故答案为：，，-12，28，17.（5）解：因为数列为等差数列，，，，所以，所以；（6）解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得；（7）解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得；（8）解：因为数列为等差数列，，，，所以，解得6、已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A．60 B．45 C．30 D．15【答案】B【解析】因为，所以．故选：B．7、已知等差数列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【答案】C【解析】在等差数列中，公差，，所以,所以，故选：C8、已知等差数列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【答案】C【解析】在等差数列中，公差，，所以,所以，故选：C9、一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为.【答案】3【解析】题知不妨设等差数列为,首项为,公差为,项数为,故有,两式相减,因为,故,故.故答案为:310、已知，，则、的等差中项为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】、的等差中项为.故选：B11、在等差数列中，，则（