2026届人教版高三数学一轮复习零基础（解析几何板块：椭圆）讲义、专题练习、答案汇编

第第页高三数学一轮复习——知识点·梳理椭圆专题知识点·梳理1、椭圆的定义①椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距。说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形②定义的集合语言表述集合。【即学即练1】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（

）A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆2、椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系【即学即练2】（多选）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B． C． D．特别说明：1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同。2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法。可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑3、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，【即学即练3】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．4、椭圆的简单几何性质离心率：椭圆焦距与长轴长之比：。（）当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当时，图形为圆，方程为【即学即练4】已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5、直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．【即学即练5】若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是．6、直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长同理弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；【即学即练5】过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（）A．4B．2C．1D．4

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一椭圆的定义及辨析【例1-1】（2016年真题）在一个给定平面内，为定点，为动点，且成等差数列，则点的轨迹是A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线【例1-2】（2007年真题）已知点的三个内角的对边分别为，且成等差数列，则点一定在一条曲线上，此曲线是A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线【例1-3】点P是椭圆x22+y2A．2 B．2 C．22 【变式1】已知F1,F2分别是椭圆M:x216+y25A．2 B．3 C．5 D．6【变式2】（多选）下列是真命题的是（

）A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆。题型二根据椭圆方程求参数【例2-1】若曲线C:k−4x2+yA．4,6 B．4,5 C．5,6 D．4,5【例2-2】若方程m+1x2+1−myA．−1<m<1B．0<m<1C．−1<m<0D．−1<m<0或0<m<1【变式1】“2<|m|<6”是“方程x2mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】已知方程＝1。(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围。题型三椭圆的顶点坐标、焦距与长轴、短轴【例3-1】（2005年真题）椭圆的A、离心率是，焦距是8B、离心率是，焦距是8C、离心率是，焦距是4D、离心率是，焦距是4【例3-2】圆9x2+25y2A．x≤3,y≤5C．x≤5,y≤3【例3-3】有关椭圆x2A．长轴长等于4 B．短轴长等于4C．离心率为32 D．x的取值范围是【变式1】椭圆x212+y2A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等 D．顶点相同【变式2】已知椭圆C:x2a2+y2A．23 B．42 C．43【变式3】椭圆C:x280A．5 B．25 C．26 【变式4】若椭圆x2a2+yA．3 B．6 C．26或3 D．23题型四根据椭圆方程求a、b、c【例4-1】已知椭圆C：x28+y2k=1A．4 B．8 C．10 D．12【例4-2】椭圆x29+A．±3,0 B．0,±3 C．±【变式1】已知椭圆x2m2+y216A．5 B．5 C．7 D．7【变式2】已知椭圆y2m2+2+x2A．±2 B．±2 C．±22 【变式3】已知椭圆C:x2a2+y2=1a>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4】若椭圆C:x2m+y22A．3或23 B．83 C．3或43 D．【变式5】如果椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)A．4 B．4或−54 C．−45 题型五利用椭圆的几何性质求标准方程【例5-1】（2024年真题节选）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点和在轴上，离心率为，点在上(1)求的方程【例5-2】（2023年真题节选）已知是坐标原点，点在椭圆上(1)求证的方程【例5-3】（2019年真题节选）已知椭圆的离心率为，焦距为4(1)求的方程【例5-4】（2018年真题节选）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为【例5-5】（2015年真题）若椭圆的焦点为，，离心率为，则该椭圆的标准方程为___【例5-6】（2014年真题节选）已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点(1)求的方程【例5-7】（2011年真题）已知椭圆的两个焦点与，离心率为，则该椭圆的标准方程是___【例5-8】（2006年真题节选）设椭圆的中心在直角坐标系的原点，离心率为，右焦点是(1)求椭圆的方程【变式1】若椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（

）A．x216+y28=1B．【变式2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，FA．x281+y264=1B．【变式3】已知椭圆x2a2+yA．x24+y22=1B．【变式4】与椭圆9x2+4y2A．x225+y220=1B．x题型六求椭圆的离心率或其取值范围【例6-1】（2020年真题）若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为A、B、C、D、【例6-2】已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于．【变式1】已知椭圆的离心率为，则（

）A．2 B．4 C． D．【变式2】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为​A． B． C．23 D．【变式3】若椭圆满足，则该椭圆的离心率（

）A． B． C． D．题型七直线与椭圆的位置关系【例10-1】（2017年真题）直线与椭圆有两个不同交点，则的取值范围为___【例10-2】（2014年真题）知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点(1)求的方程(2)如果直线与有两个交点，求的取值范围【变式1】经过点且与椭圆相切的直线方程是

()A． B．C． D．【变式2】已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．【变式3】已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值．题型八椭圆中焦点三角形的周长、面积问题【例8-1】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为．【例8-2】（2024年真题）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点和在轴上，离心率为，点在上(1)求的方程（）(2)设点在上，，求的面积【例8-3】（2021年真题）若椭圆的焦点为和，过的直线交椭圆于两点，且的周长为12，则椭圆的方程为．【例8-4】（2013年真题）已知椭圆的焦点为，过斜率为1的直线交椭圆于点，则的面积为___【变式1】过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作直线l交椭圆于A、A．20 B．5002329 C．10 【变式2】已知F1,F2是椭圆C:x216+y212A．3 B．4 C．6 D．10题型九综合运用【例9-1】（2023年真题）已知是坐标原点，点在椭圆上(1)求证的方程（）(2)设是上两点，且，证明【例9-2】（2019年真题）已知椭圆的离心率为，焦距为4(1)求的方程（）(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值【例9-3】（2018年真题）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为(1)求的方程(2)设是上的点，过的直线交轴于点，若，求坐标原点到的距离【例9-4】（难）（2012年真题）设是椭圆的右焦点，半圆在点的切线与椭圆交于两点(1)证明：为常数(2)设切线的斜率为1，求的面积(是坐标原点)【例9-5】（2010年真题）为椭圆上的一点，和为椭圆的两个焦点，已知，以为中心，为半径的圆交线段于，则A、B、C、D、【例12-6】（2009年真题）中心在原点，焦点在轴的椭圆的左右焦点分别是，斜率为1的直线过，且到直线的距离等于(1)求的方程（难）(2)与交点的中点为，已知到轴的距离等于，求的方程和离心率【例9-7】（2006年真题）设椭圆的中心在直角坐标系的原点，离心率为，右焦点是(1)求椭圆的方程(2)设是椭圆上的一点，过点与点的直线与轴交于点，若，求直线的方程【例9-8】（2003年真题）中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线相交于两点，且，求此椭圆的方程【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，。(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率。【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．【变式3】已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，求的面积．课后模拟·巩固练习课后模拟·巩固练习1、已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段2、设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（

）A．椭圆 B．圆 C．不存在 D．线段3、如果动点满足，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段4、椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（

）A．B．C．D．5、平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（

）A．B．C．D．6、椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B。若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（

）A．B．C．D．7、已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（

）A．6 B．3 C．4 D．28、椭圆的焦距为4，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．9、对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则．10、若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则11、若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为．12、长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是13、中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为．14、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．15、已知曲线，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的条件。16、设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为。17、已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则．18、已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（

）A．4 B．8 C．10 D．1219、已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（

）A．8 B．6 C．4 D．320、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．21、设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则．22、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)经过和点．23、已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过．(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长．24、离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（

）A． B． C． D．25、过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．26、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点。(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；27、求与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆的标准方程。28、已知椭圆的离心率为，则（

）A．3 B． C．2 D．29、已知平面内两定点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．30、已知椭圆的焦距为2，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆的左焦点作倾斜角为60°的直线，直线与椭圆交于M，N两点，点为椭圆的右焦点，求的面积．31、已知椭圆的离心率为，则（

）A．3 B． C．2 D．32、已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（

）A．1 B．2 C．4 D．33、中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（

）A． B．或C． D．或34、已知椭圆，则椭圆的（

）A．长轴长为4 B．焦点在轴上C．离心率为 D．焦距为35、若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．36、椭圆的一个焦点坐标为（

）A． B． C． D．37、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；(2)过点，离心率；38、已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程．

想破130，可以试试1、已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为。(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值。2、已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E相交于M，N两点，与y轴相交于点，且满足，求直线的方程．3、已知和为椭圆上两点。(1)求的离心率；(2)若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程。4、椭圆过点且。(1)求椭圆的标准方程；(2)设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于两点，，求的面积。

知识点·梳理椭圆知识点·梳理1、椭圆的定义①椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距。说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形②定义的集合语言表述集合。【即学即练1】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（

）A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆【答案】C【详解】可设，，则，可得，由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，。故选：C2、椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系【即学即练2】（多选）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由题，，故，椭圆的标准方程可能为或．故选：AC．特别说明：1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同。2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法。可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑3、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，【即学即练3】（23-24高二上·新疆和田·期末）求椭圆的长轴长和焦距、焦点坐标和离心率．【答案】答案见解析【详解】由题设，椭圆标准方程为，则，所以长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率为4、椭圆的简单几何性质离心率：椭圆焦距与长轴长之比：。（）当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当时，图形为圆，方程为【即学即练4】已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题的，所以，所以离心率为，故选：C。5、直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为。①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．【即学即练5】若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是．【答案】且【详解】由直线，则可知其过定点，易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，则，解得且。故答案为：且。6、直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长同理弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；【即学即练5】过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（）A．4 B．2C．1 D．4【答案】C【详解】因为椭圆，可得，所以，所以椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，求得，所以。故选：C

重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一椭圆的定义及辨析【例1-1】（2016年真题）在一个给定平面内，为定点，为动点，且成等差数列，则点的轨迹是A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线【答案】B【解析】成等差数列，则，点到的距离等于定值且大于，轨迹为椭圆【例1-2】（2007年真题）已知点的三个内角的对边分别为，且成等差数列，则点一定在一条曲线上，此曲线是A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线【答案】B【解析】成等差数列，，动点到两个顶点的距离之和为定值，运动轨迹为椭圆。【例1-3】点P是椭圆x22+y2A．2 B．2 C．22 【解答过程】由x22+y2故选：C【变式1】已知F1,F2分别是椭圆M:x216+y25A．2 B．3 C．5 D．6【解答过程】由椭圆M:x216+y25=1，可得a2=16，所以a=4，因为F1,F2分别是椭圆【变式2】（多选）下列是真命题的是（

）A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆【答案】BD【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误；对于B，点的轨迹为线段，故B正确；对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误；对于D，到定点的距离的和为，所以点的轨迹为椭圆，故D正确．故选：BD。。题型二根据椭圆方程求参数【例2-1】若曲线C:k−4x2+yA．4,6 B．4,5 C．5,6 D．4,5【解答过程】因为曲线C:k−4x2１k−4>0,6−k>0,【例2-2】若方程m+1x2+1−myA．−1<m<1 B．0<m<1C．−1<m<0 D．−1<m<0或0<m<1【解答过程】方程m+1x2+1−my2=1−m2可化为：x21−m【变式1】“2<|m|<6”是“方程x2mA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答过程】若方程x2m2−4+y2所以“2<|m|<6”是“方程x2m【变式2】已知方程＝1。(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围。【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意，有，解得。故实数m的取值范围为。（2）依题意，有，解得。故实数m的取值范围为。（3）依题意，有，解得，且，故实数m的取值范围是题型三椭圆的顶点坐标、焦距与长轴、短轴【例3-1】（2005年真题）椭圆的A、离心率是，焦距是8B、离心率是，焦距是8C、离心率是，焦距是4D、离心率是，焦距是4【答案】A【解析】离心率;焦距为【例3-2】圆9x2+25y2A．x≤3,y≤5C．x≤5,y≤3【解答过程】由9x2+25y2=225，得因为点Px,y在椭圆上，所以x【例3-3】有关椭圆x2A．长轴长等于4 B．短轴长等于4C．离心率为32 D．x的取值范围是【解答过程】椭圆方程化为：x216+y24=1，则a=4,b=2,c=a【变式1】椭圆x212+y2A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同【解答过程】对于椭圆x212+y24=1，a12=12，∴长轴长2a1=43，短轴长2b1=4，焦距2c1=42，对于椭圆x216+y28=1，∴椭圆x212+y2【变式2】已知椭圆C:x2a2+y2A．23 B．42 C．43【解答过程】因为a2>a2−6，依题意可得b2=a2−6，所以c2=【变式3】椭圆C:x280A．5 B．25 C．26 【解答过程】由题得a2=80，b2=35，所以a=45，c=a2−b【变式4】若椭圆x2a2+yA．3 B．6 C．26或3 D．23【解答过程】若椭圆的焦点在x轴，则离心率e=a2−3a=若椭圆的焦点在y轴，则离心率e=3−a23=22，得a2题型四根据椭圆方程求a、b、c【例4-1】已知椭圆C：x28+y2k=1A．4 B．8 C．10 D．12【解答过程】由题意得，c2=4，a2=k，【例4-2】椭圆x29+A．±3,0 B．0,±3 C．±【解答过程】由椭圆方程可知：a2=12,b2=9，且焦点在y轴上，可得c=a2【变式1】已知椭圆x2m2+y216A．5 B．5 C．7 D．7【解答过程】因为椭圆的焦点在y轴上，所以a=4，b=m．因为c2=a2−b【变式2】已知椭圆y2m2+2+x2A．±2 B．±2 C．±22 【解答过程】由椭圆y2m2+2+x2m2=1，可得a【变式3】已知椭圆C:x2a2+y2=1a>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答过程】由椭圆C的方程x2a2+y2=1a>0，可得：当a>1时，可得c=a2−1，此时椭圆的离心率为e=ca=1−1a2，由e=32，可得1−【变式4】若椭圆C:x2m+y22A．3或23 B．83 C．3或43 D．【解答过程】若椭圆焦点在x上，则a2=m,b2=2，所以c2=a2−b2=m−2，故e2=c2a2【变式5】如果椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)A．4 B．4或−54 C．−45 【解答过程】解：因为椭圆x2k+8+y29=1(k>−8)的离心率为e=12，当k+8>9时，椭圆焦点在x轴上，可得：a=k+8,b=3,∴c=a2−b2题型五利用椭圆的几何性质求标准方程【例5-1】（2024年真题节选）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点和在轴上，离心率为，点在上(1)求的方程解:(1)由题意得所以的方程【例5-2】（2023年真题节选）已知是坐标原点，点在椭圆上(1)求证的方程解:(1)点在椭圆上所以，即所以的方程为【例5-3】（2019年真题节选）已知椭圆的离心率为，焦距为4(1)求的方程解:(1)，所以椭圆的方程为【例5-4】（2018年真题节选）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为(1)求的方程解:，所以椭圆的方程为【例5-5】（2015年真题）若椭圆的焦点为，，离心率为，则该椭圆的标准方程为___【答案】【解析】，所以椭圆的标准方程为，即【例5-6】（2014年真题节选）已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点(1)求的方程解：(1)椭圆离心率为，设椭圆的方程为，即，把点代入椭圆方程得，解得，椭圆的方程为。【例5-7】（2011年真题）已知椭圆的两个焦点与，离心率为，则该椭圆的标准方程是___【答案】【解析】，所以椭圆标准方程为，即【例5-8】（2006年真题节选）设椭圆的中心在直角坐标系的原点，离心率为，右焦点是(1)求椭圆的方程1)解：焦点，即;离心率所以椭圆的方程为，即【变式1】若椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（

）A．x216+C．x29+【解答过程】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，所以a=4，2c=6，则c=3，b2=a2【变式2】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，FA．x281+y264=1 B．【解答过程】因为PF1的最小值为1，所以a−c=1．因为△PF所以c=8,a=9．因为a2−b2=c【变式3】已知椭圆x2a2+yA．x24+C．x216+【解答过程】由长轴长为4，可得2a=4，又离心率为22，即e=ca=22，解得a=2,c=【变式4】与椭圆9x2+4y2A．x225+C．x220+【解答过程】椭圆9x2+4y2=36化成标准方程为x24+y2故选：B题型六求椭圆的离心率或其取值范围【例6-1】（2020年真题）若一个椭圆的两个焦点三等分它的长轴，则该椭圆的离心率为A、B、C、D、【答案】B【解析】椭圆两个焦点的距离为，长轴长为，两个焦点的距离三等分长轴长，即【例6-2】已知焦点在x轴上的椭圆离心率为，则实数m等于．【答案】8【详解】由题意焦点在x轴上的椭圆离心率为，可得＝，解得m＝8．故答案为：8．【变式1】已知椭圆的离心率为，则（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【详解】，，所以，，，解得，。故选：A【变式2】直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为​A． B． C．23 D．【答案】B【详解】不妨设椭圆方程为：，则可设直线：，依题有，，即，，，故选：B．【变式3】若椭圆满足，则该椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】椭圆满足，则该椭圆的离心率。故选：B题型七直线与椭圆的位置关系【例10-1】（2017年真题）直线与椭圆有两个不同交点，则的取值范围为___【答案】【解析】将代入椭圆得，整理得，有两个不同的交点，则，即【例10-2】（2014年真题）知椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点(1)求的方程(2)如果直线与有两个交点，求的取值范围解：(1)椭圆离心率为，设椭圆的方程为，即，把点代入椭圆方程得，解得，椭圆的方程为。(2)把代入椭圆得，化简得，有两个交点，，即，【变式1】经过点且与椭圆相切的直线方程是

()A． B．C． D．【答案】A【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得，，得到直线与椭圆相切，故，即解得所以切线方程为，故本题选A【变式2】已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点，则直线的方程为：，设，，联立，消去，得，显然，则，所以．【变式3】已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，解得，又，故，解得，故椭圆方程为；（2）由题意得，，可得直线方程为，联立与得，设，故，故题型八椭圆中焦点三角形的周长、面积问题【例8-1】该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为．【答案】9【详解】解法一：由，得，则，设，则由题意得，由，得，所以，得，所以的面积为解法二：由，得，因为所以由焦点三角形的面积公式得．故答案为：9【例8-2】（2024年真题）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点和在轴上，离心率为，点在上(1)求的方程（）(2)设点在上，，求的面积解:(1)由题意得所以的方程(2)设长为长为由勾股定理得由椭圆性质得【例8-3】（2021年真题）若椭圆的焦点为和，过的直线交椭圆于两点，且的周长为12，则椭圆的方程为．【答案】【解析】焦点和的周长为12(椭圆上任意一点到两焦点距离和为)椭圆的标准方程即【例8-4】（2013年真题）已知椭圆的焦点为，过斜率为1的直线交椭圆于点，则的面积为___【答案】【解析】焦点坐标为，斜率为1，直线方程为到直线的距离为之间的距离为把代入得，整理得，代入求之间的距离【变式1】过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作直线l交椭圆于A、A．20 B．5002329 C．10 【解答过程】对于椭圆x225+y2AB+AF【变式2】已知F1,F2是椭圆C:x216+y212A．3 B．4 C．6 D．10【解答过程】由椭圆定义可得PF1+F1F2故sin∠F1PF2题型九综合运用【例9-1】（2023年真题）已知是坐标原点，点在椭圆上(1)求证的方程（）(2)设是上两点，且，证明解:(1)点在椭圆上所以，即所以的方程为证明(2):情况一:当与坐标轴重合时情况二:设直线函数关系式为与椭圆交于设直线函数关系式为与椭圆交于联立方程组，；同理【例9-2】（2019年真题）已知椭圆的离心率为，焦距为4(1)求的方程（）(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值解:(1)，所以椭圆的方程为(2)设过点且斜率为的直线的方程为，若，则，即 把代入椭圆得，整理得，【例9-3】（2018年真题）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为(1)求的方程(2)设是上的点，过的直线交轴于点，若，求坐标原点到的距离解:，所以椭圆的方程为(2)，又的横坐标为，代入椭圆求得纵坐标为或，当点的坐标为，设直线的方程为，代入，即，求得，直线的方程为；同理，当的坐标为，直线的方程为。化为一般式，或，所以坐标原点到的距离为【例9-4】（难）（2012年真题）设是椭圆的右焦点，半圆在点的切线与椭圆交于两点(1)证明：为常数(2)设切线的斜率为1，求的面积(是坐标原点)(1)设点坐标是切点长为(2)切线的斜率为1，设切线方程为，即又为切线坐标原点到切线的距离为1切线方程为方法一：椭圆方程为联立方程组求解，用换元法及把替换得：解得点坐标点纵坐标为方法二：之间的距离为椭圆方程为，即切线方程为，把代入椭圆得，整理得 之间的距离为【例9-5】（2010年真题）为椭圆上的一点，和为椭圆的两个焦点，已知，以为中心，为半径的圆交线段于，则A、B、C、D、【答案】C【解析】与相等，相减等于0故选C【例12-6】（2009年真题）中心在原点，焦点在轴的椭圆的左右焦点分别是，斜率为1的直线过，且到直线的距离等于(1)求的方程（难）(2)与交点的中点为，已知到轴的距离等于，求的方程和离心率(1)解：坐标为坐标为斜率为1的直线过，设直线方程为，即到直线的距离，所以直线方程为(2)设椭圆方程为坐标坐标到轴的距离等于点纵坐标为或即或直线方程，代入椭圆得因为椭圆焦点，即故，即所以椭圆的方程为，即椭圆的离心率【例9-7】（2006年真题）设椭圆的中心在直角坐标系的原点，离心率为，右焦点是(1)求椭圆的方程(2)设是椭圆上的一点，过点与点的直线与轴交于点，若，求直线的方程(1)解：焦点，即;离心率所以椭圆的方程为，即(2)因为坐标为，即过向轴做垂线交轴于点，则即所以点横坐标为、即把代入椭圆，所以点坐标或当点坐标为直线的方程为当点坐标为直线的方程为【例9-8】（2003年真题）中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线相交于两点，且，求此椭圆的方程解：设椭圆的标准方程把直线方程代入椭圆得：、 所以椭圆的方程【变式1】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于两点；当直线过焦点且与轴垂直时，。(1)求椭圆的方程；(2)若直线过点，椭圆的左顶点为，当面积为时，求直线的斜率。【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得：，，，，，，即，；当直线过焦点且与轴垂直时，，不妨令，由得：，，由得：，椭圆的方程为：。（2）由题意知：直线斜率不为，可设，由得：，则，设，则，，，又，，，解得：，直线的斜率【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为。（2）依题意，过且斜率为1的直线为，设，则消去整理得，所以，所以。【变式3】已知椭圆的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，依题意，的周长为，解得，而焦距为2，则椭圆的半焦距为，，所以椭圆的方程为；（2）由（1）知，，设，则直线的方程为，联立直线与椭圆方程整理得，所以，所以，又因为到直线的方程为的距离为，的面积。

课后模拟·巩固练习课后模拟·巩固练习1、已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】D【详解】因为所以为线段上的点。故选：D2、设F1，F2为定点，|F1F2|＝10，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（

）A．椭圆 B．圆 C．不存在 D．线段【答案】C【详解】|MF1|＋|MF2|＝8<10=|F1F2|，故不存在故选：C3、如果动点满足，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段【答案】D【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，即，所以点M的轨迹是线段．故选：D4、椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】由椭圆定义可知，，得，又椭圆的两个焦点是和，所以椭圆焦点在x轴上，且，所以，所以，所求椭圆的标准方程为。故选：C5、平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，平面内点P到、的距离之和是10，∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,,解得：，∴，∴轨迹方程为:，故选:B。6、椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B。若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5，又因为c＝3，所以，所以该椭圆的标准方程为。故选：B7、已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】D【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2。故选:D。8、椭圆的焦距为4，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【详解】由椭圆化为标准形式得：，且椭圆的焦距，当椭圆焦点在轴上时，，，则由，所以，此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，当椭圆焦点在轴上时，，，，解得，此时方程为：，满足题意综上所述，的值为．选：D．9、对于方程，若该方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为；椭圆的焦点为、，椭圆上的点P满足，则．【答案】/【详解】第一空，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以。第二空，由椭圆的标准方程可得，，设，则，又，由余弦定理可得，而，故，故，故。故答案为：；10、若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（

）A． B．椭圆的焦距为C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则【答案】C【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误。故选：C11、若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为．【答案】/【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为，又，椭圆过点，则，解得，所以椭圆的标准方程为。故答案为：12、长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是【答案】或．【详解】因为长轴的长是，，焦距是，解得，所以，所以当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是．故答案为：或．13、中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为．【答案】【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得，因为，由椭圆的对称性可知，所以，解得，所以，又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为。故答案为：14、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，故。故答案为：15、已知曲线，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的条件。【答案】必要不充分【详解】将曲线C的方程化为，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，即，故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件。答案为：必要不充分16、设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为。【答案】【详解】由椭圆定义可得，则有，即，，又，由，故，故。答案为：17、已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则．【答案】40【详解】由题意可得，在中，，由余弦定理，得，得，得，所以．故答案为：40．18、已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【详解】由题意得，，，，所以．故选：D．19、已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【详解】由椭圆的定义可知，。故选：A20、已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足，解得。故选：B21、设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且满足，则．【答案】18【详解】如图：由题意，椭圆，可得，，则，根据椭圆的定义，可得。又由，可得，所以。因为，即，解得．故答案为：1822、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)经过和点．【答案】(1)1(2)(3)．【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，∴椭圆方程为1；（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，则，则椭圆的标准方程为；（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，设其方程为，则有，解可得，则所求椭圆的方程为．23、已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过．(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线过与椭圆交于两点，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为椭圆的焦距为6，所以，又因为该椭圆过，所以，由解得；（2）由（1）可知，的周长为：24、离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由得焦点坐标为，即，又，，，即椭圆方程为，故选：B25、过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】椭圆的焦点为或，设所求椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为。故选：D26、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点。(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的方程为（），∵长轴长为4，焦距为2，∴，，∴，，∴，∴椭圆的方程为；（2）设所求椭圆的方程，将代入上式得，解得，所以所求椭圆的标准方程为；（3）椭圆，即，故，焦点为