2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第1课时 菱形的性质

18.2.2菱形第1课时菱形的性质教学设计课题菱形的性质授课人素养目标1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系．2．经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力．3．能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解决问题的能力.教学重点菱形性质定理的理解和应用．教学难点菱形性质定理的探究与证明.教学活动教学步骤师生活动活动一：动态演示，导入新课设计意图动态演示平行四边形变成菱形的过程，使学生了解菱形的概念.【情境导入】拿一个活动的平行四边形教具，移动它的一条边，使这条边与邻边的长度相等，这时它是什么图形？(动画演示拉动过程如图)概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．仔细观察下列实际生活中的图片，你觉得哪些是菱形的形象？菱形是生活中很常见的图形，你还能列举出菱形在生活中应用的其他例子吗？我们一起来探讨一下菱形的性质吧！【教学建议】让学生根据生活经验及图片思考菱形的概念，教师总结并提示菱形的概念既是它的一种判定方法，又是它的一个基本性质.活动二：动手操作，探究新知设计意图通过动手操作让学生了解菱形的性质.探究点1菱形的性质将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开．观察图形，回答下列问题：(1)菱形在对称性方面有什么特点？答：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．(2)菱形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊之处？答：菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件．(3)平行四边形的两组对边分别相等，那么菱形的四条边有怎样的关系呢？答：由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，由平行四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等．归纳总结：菱形的四条边都相等．(4)我们通过刚刚的折纸，可以发现菱形的两条对角线有什么位置关系？答：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．下面我们来试着证明这条性质：求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【教学建议】(1)引导学生类比平行四边形和矩形，从边、角和对角线三个方面来研究菱形的性质．(2)告诉学生以下两点：①菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的性质外，还具有四条边都相等，两条对角线互相垂直，教学步骤师生活动设计意图引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质.已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于点O.求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OB＝OD，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD(等腰三角形的三线合一)．同理，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.归纳总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．综合来看，这两条性质可用下面的几何语言来表示：几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.【对应训练】1．菱形不具有的性质是(B)A．四条边都相等B．对角线相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上．若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为64°.3．教材P57练习第1题．探究点2菱形的面积由于菱形的对角线互相垂直，我们发现，菱形的对角线可以把菱形分成四个全等的直角三角形．那么菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？答：菱形的面积还可以利用4个全等的三角形面积的和来计算．S菱形ABCD＝4S△ABO＝4×eq\f(1,2)AO·BO＝eq\f(1,2)×2AO×2BO＝eq\f(1,2)AC·BD.归纳总结：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半．所以利用三角形的面积公式可以得到，菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．例1(教材P56例3)如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位)．解：∵花坛ABCD的形状是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.在Rt△OAB中，AO＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×20＝10，BO＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3).∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20(m)，BD＝2BO＝20eq\r(3)≈34.64(m)．并且每一条对角线平分一组对角的特殊性质．②菱形和矩形一样，都是轴对称图形.【教学建议】(1)让学生尝试利用两种不同的方法解决有关菱形面积的问题．(2)告诉学生：①除了常规的计算平行四边形面积的方法，菱形的面积也可以表示为对角线乘积的一半．②由于菱形的两条对角线互相垂直，所以在计算过程中常会用到勾股定理.教学步骤师生活动花坛的面积S菱形ABCD＝4×S△OAB＝eq\f(1,2)AC·BD＝200eq\r(3)≈346.4(m2)．【对应训练】1．教材P57练习第2题．2．小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形ABCD(如图)．若AB的长度为2，求菱形ABCD的面积．解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝2.∵∠B＝60°，∴∠BAH＝90°－∠B＝30°，△ABC是等边三角形．∴BH＝eq\f(1,2)AB＝1.由勾股定理易得AH＝eq\r(3)，∴菱形ABCD的面积为BC·AH＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3).活动三：运用新知，巩固提升设计意图巩固学生对菱形的概念及性质的认知，进一步掌握菱形面积不同于平行四边形的计算方法.例2如图，在菱形ABCD中，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，BM，BN分别交AC于点E，F.求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CB，∠BAM＝∠BCN，∠BAE＝∠DAE＝∠DCF＝∠BCF.∵BM⊥AD，BN⊥CD，∴∠AMB＝∠CNB＝90°.∴∠BAM＋∠ABE＝90°，∠BCN＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.在△ABE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠BCF，,AB＝CB，,∠ABE＝∠CBF，))∴△ABE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF.【对应训练】1.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是8eq\r(3).2．如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E，连接BE.求证：∠AFD＝∠CBE.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，CB＝CD，CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又CE＝CE，∴△BCE≌△DCE(SAS)．∴∠CBE＝∠CDE.∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.【教学建议】提醒学生：(1)解题时常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．(2)如果菱形的一个内角为60°，那么菱形的两条边和较短的对角线构成的三角形为等边三角形.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：菱形的概念是什么？菱形有哪些不同于平行四边形的性质？菱形的面积都有哪些计算方法？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1．教材P60习题18.2第5，11题．2．《》主体本部分相应课时训练．板书设计18.2.2菱形第1课时菱形的性质一、菱形的概念．二、菱形的性质：1.边的性质；2.角的性质；3.对角线的性质；4.对称性．三、菱形的面积计算公式．教学反思设置菱形图片，体现数学来源于生活；通过操作平移平行四边形的一条边，使其一组邻边相等得到菱形；剪纸活动让学生主动探索菱形的性质，让学生感知菱形与平行四边形之间的关系．通过运用菱形的性质解决简单的实际问题，让学生认识到数学在现实生活中有着广泛的应用，可以培养学生的应用意识解题方法：(1)菱形的对角线互相垂直、平分，并且平分每组对角，因此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等，直线平行、垂直及进行有关的计算；(2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此常用勾股定理进行菱形的有关计算．注意：(1)菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等；(2)对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线乘积的一半．例1如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH.若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为(B)A.eq\r(5)B．3C.eq\f(5,2)D.eq\f(12,5)解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝CO.∵AO＝4，∴AC＝2AO＝8.∵S菱形ABCD＝24，∴eq\f(1,2)×8×BD＝24，解得BD＝6.∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°.∵DO＝BO，∴OH＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×6＝3.故选B.例2如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝4，CF＝2，求菱形ABCD的边长．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.在△ABE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFD，,∠B＝∠D，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADF(AAS)．(2)解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝CD＝x.∵CF＝2，∴DF＝x－2.∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x－2.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE2＋BE2＝AB2，即42＋(x－2)2＝x2，解得x＝5，∴菱形ABCD的边长是5.例3将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示的方式摆放，点A，E，B，D依次在同一直线上，连接AF，CD.(1)求证：四边形AFDC是平行四边形；(2)已知BC＝6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为18cm.(1)证明：由题意可知△ACB≌△DFE，∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE＝30°.∴AC∥DF，∴四边形AFDC是平行四边形．(2)解析：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6cm，∴AB＝2BC＝12cm，∠ABC＝60°.∵四边形AFDC是菱形，∴DA平分∠CDF，∴∠CDA＝∠FDA＝30°.∵∠ABC＝∠CDA＋∠BCD，∴∠BCD＝∠ABC－∠CDA＝60°－30°＝30°，∴∠BCD＝∠CDA.∴BD＝BC＝6cm，∴AD＝AB＋BD＝18cm.故答案为18.例1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.(1)求证：△AOE≌△DFE；(2)判断四边形AODF的形状，并说明理由．(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵DF∥AC，∴∠OAE＝∠FDE.又∠AEO＝∠DEF，∴△AOE≌△DFE(ASA)．(2)解：四边形AODF为矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO＝DF.∵AO∥DF，∴四边形AODF为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.∴四边形AODF为矩形．例2如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.(1)求证：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.在△