2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第1课时 平均数

第二十章数据的分析20．1数据的集中趋势20．1.1平均数教学设计课题平均数授课人素养目标1.理解数据的权和加权平均数的概念，理解加权平均数在数据统计中的意义和作用．2．会根据算术平均数和加权平均数的计算公式进行有关计算，发展初步的统计意识和数据处理能力．3.明确加权平均数与算术平均数的区别和联系，感受加权平均数在现实生活中的广泛应用4.理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理，进一步加深对加权平均数的认识教学重点加权平均数概念的理解以及运用加权平均数解决实际问题．教学难点1.理解权的差异对平均数的影响．2.对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解.教学活动教学步骤师生活动活动一：回顾旧知，导入新课设计意图通过简单的对算术平均数的复习，为新知识的学习奠定基础，并进行比较.【回顾导入】日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”．一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把x＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做x(读作x拔)．算一算：求下列各组数据的平均数：(1)1，2，3，4，5；(2)3，3，2，2，2，5，5，5，5，8.问题：对于第(2)问有没有不同的求解过程？这是我们本课时要解决的问题！我们一起来探讨下.【教学建议】指定学生代表回答，引导学生思考新的不同的求解过程，为新课的学习做好铺垫.活动二：问题探究，引出新知设计意图通过计算平均数的不同方式，以及学生可能的常见错误，强化对权的认识，理解权的重要性.探究点加权平均数1．权表示数据的重要程度(权以比例的形式出现)问题1[教材P111问题1(1)]一家公司打算招聘一名英文翻译．对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如表所示．如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制)．从他们的成绩看，应该录取谁？第1课时平均数教学步骤师生活动如果计算平均成绩的话，显然甲的平均成绩较高，但是在现实生活中，公司往往更看重翻译的笔译能力，那么应该怎样设计成绩评比的方案呢？我们一起来看下面的问题：问题2[教材P111问题1(2)]如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，用算术平均数来衡量他们的成绩合理吗？如果听、说、读、写的成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，应该录取谁？解：不合理．如果听、说、读、写的成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，那么甲的平均成绩为eq\f(85×2＋78×1＋85×3＋73×4,2＋1＋3＋4)＝79.5(分)，乙的平均成绩为eq\f(73×2＋80×1＋82×3＋83×4,2＋1＋3＋4)＝80.4(分)．因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙.问题3比较问题1和问题2中的数据，他们在重要程度上有什么不同？答：问题1中的数据被认为是同等重要，问题2是根据实际需要对不同类型的数据赋予与其重要程度相应的比重.即：问题2中的2，1，3，4分别称为听、说、读、写四项成绩的权.问题4说一说问题1中听、说、读、写四项成绩的权是多少？问题2这四项中哪一项最重要？答：问题1中听、说、读、写四项成绩的权都是1，问题2这四项中“写”最重要.问题5能把问题2中这种平均数的计算方法推广到一般吗？能概念引入：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则eq\f(x1w1＋x2w2＋…＋xnwn,w1＋w2＋…＋wn)叫做这n个数的加权平均数问题6利用上面提到的权和加权平均数的有关知识，我们再来看一个问题：(教材P112思考)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写的成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？答：甲的平均成绩为eq\f(85×3＋78×3＋85×2＋73×2,3＋3＋2＋2)＝80.5(分)，乙的平均成绩为eq\f(73×3＋80×3＋82×2＋83×2,3＋3＋2＋2)＝78.9(分).因为甲的平均成绩比乙高，所以甲将被录取.【教学建议】教师通过问题串的形式引导学生得出权及加权平均数的基本概念．教学过程中要注意告知学生：权能够反映数据的相对重要程度，权的改变会影响这组数据的平均水平.答：通过上述问题的分析，我们可以发现权能够反映数据的相对重要程度，权的改变一般会影响这组数据的平均水平，它对最后结果也会产生很重要的影响．某一项的权越大，说明此项越重要，那么此项的成绩越高，被录取的可能性也越大.2.权表示数据的重要程度(权以百分比的形式出现)例1(教材P112例1)一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制)．进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次.解答前提问：这里“演讲内容、演讲能力、演讲效果”成绩的权是以什么形式出现的？各是多少？哪一项最重要？答：“演讲内容、演讲能力、演讲效果”成绩的权是以百分比的形式出现的，分别是50%，40%，10%，“演讲内容”最重要.写出例1的解答过程.解：选手A的最后得分是85×50%＋95×40%＋95×10%＝90(分).选手B的最后得分是95×50%＋85×40%＋95×10%＝91(分).因为90＜91，所以选手B获得第一名，选手A获得第二名.解答后提问：两名选手的单项成绩都是两个95分和一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？答：因为每一项的权不同，也就是重要程度不同，计算时不只看单项成绩，还要看权的大小.归纳总结：在加权平均数中，百分比越大，也就是权越大，代表此项内容越重要.3.权表示数据出现的次数上面出现的加权平均数中，权表现数据的重要程度．但如果我们在求n个数据的算术平均数时，如果有k个数据多次重复出现，权没有重要程度的区别，它是否有简便的算法呢？比如活动一中3，3，2，2，2，5，5，5，5，8这样一组数据？答：有．x＝eq\f(3×2＋2×3＋5×4＋8×1,10)＝4归纳总结：在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么这n个数的平均数x＝eq\f(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk,n)也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权.【教学建议】启发学生思考例1中的权的含义，及它与问题1中的权的含义是否相同．这里它是以百分比的形式出现的，这一点要让学生进行体会，以加深对加权平均数的认识.教学步骤师生活动阅读教材P113例2，回答下列问题：(1)如果把教材P113例2的结果看成加权平均数，那么13岁、14岁、15岁、16岁这4个数据的权各是多少？答：13岁、14岁、15岁、16岁这4个数据的权分别是8，16，24，2.(2)这里的权是以什么形式出现的？答：这里的权是以各个年龄跳水队运动员的人数(即出现次数)的形式出现的.【对应训练】1～2.教材P113练习.3.教材P115练习第1题．【教学建议】告诉学生：当k个数据重复出现总共n次时，求这n个数据的算术平均数可以看作是求k个数据的加权平均数.活动二：知识运用，巩固提升设计意图巩固学生对加权平均数的认知，能运用加权平均数解决实际问题.例2某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加英语竞赛，对三人进行了笔试和口试，测试成绩如下表：班上50名学生又对这三名候选人进行了民主投票，三人的得票率(没有弃权票，每名学生只能投一票)如图所示，每得一票记1分．(1)甲的得票分为15分，乙的得票分为15分，丙的得票分为20分；(2)如果三项得分的平均成绩最高者去参赛，那么甲将去参赛；(3)如果笔试、口试、投票三项成绩按照5∶3∶2的比确定，平均成绩最高者去参赛，那么谁将去参赛？解：(2)解析：x甲＝eq\f(70＋90＋15,3)≈58.33(分)，x乙＝eq\f(80＋70＋15,3)＝55.00(分)，x丙＝eq\f(85＋65＋20,3)≈56.67(分)．因为58.33＞56.67＞55.00，所以甲将去参赛．故答案为甲．(3)x′甲＝eq\f(70×5＋90×3＋15×2,5＋3＋2)＝65(分)，x′乙＝eq\f(80×5＋70×3＋15×2,5＋3＋2)＝64(分)，x′丙＝eq\f(85×5＋65×3＋20×2,5＋3＋2)＝66(分).因为66＞65＞64，所以丙将去参赛.【教学建议】注意提醒学生：(1)加权平均数不仅与每个数据有关，还受每个数据权的影响，权越大，对平均数的影响越大，反之越小．(2)权的表现形式有比例、百分比、数据出现的次数等几种情况．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：加权平均数中，权的作用是什么？加权平均数的计算公式是什么？当一组数据中有多个数据重复出现时，如何简便地计算这组数据的平均数？教学步骤师生活动【知识结构】【作业布置】1.教材P121习题20.1第1，4，5题.2.《》主体本部分相应课时训练．板书设计20.1.1平均数第1课时平均数加权平均数的概念：1.一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则eq\f(x1w1＋x2w2＋…＋xnwn,w1＋w2＋…＋wn)叫做这n个数的加权平均数.2.在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么这n个数的平均数x＝eq\f(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk,n)也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权.教学反思通过复习算术平均数，再通过探究不同的求解方式发现加权平均数，在学习过程中体会权的重要性，掌握算术平均数和加权平均数的概念与计算公式，学会分析数据并利用数据指导我们的学习和生活.本节课培养了学生数学的思维能力，让学生从生活中学习数学，体现了数学来源于生活并应用于生活.解题方法：(1)若x＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，y＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋y3＋…＋yn)，则有下列结论：①x1±y1，x2±y2，x3±y3，…，xn±yn的平均数为x±y；②x1，y1，x2，y2，x3，y3，…，xn，yn的平均数为eq\f(1,2)(x＋y)；③ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b的平均数为ax＋b.(2)平均数与一组数据中的每个数据都有关系，当一个数据发生变化时，会影响整组数据的平均数．(3)加权平均数是算术平均数的特例．加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数，当加权平均数的各项的权相等时，就变成了简单的算术平均数．

例小军八年级下学期的数学成绩如表所示：测验类别平时测验1测验2测验3测验4(1)计算小军下学期平时的平均成绩；(2)如果学期总评成绩按扇形统计图所示的权重计算，那么小军下学期的总评成绩是多少分？解：(1)(90＋95＋85＋90)÷4＝90(分)．答：小军下学期平时的平均成绩是90分．(2)90×10%＋88×40%＋92×50%＝90.2(分)．答：小军下学期的总评成绩是90.2分．例1学校广播站要招聘1名记者，小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：写作能力普通话水平计算机水平小亮90分75分51分小丽60分84分72分写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由按3∶5∶2计算，变成按5∶3∶2计算后，总分的变化情况是(B)A．小丽的总分提高了B．小亮的总分提高了C．两人总分均不变化D．无法确定解析：当写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分按3∶5∶2计算时，小亮的成绩是eq\f(90×3＋75×5＋51×2,3＋5＋2)＝74.7(分)，小丽的成绩是eq\f(60×3＋84×5＋72×2,3＋5＋2)＝74.4(分)；当写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分按5∶3∶2计算时，小亮的成绩是eq\f(90×5＋75×3＋51×2,5＋3＋2)＝77.7(分)，小丽的成绩是eq\f(60×5＋84×3＋72×2,5＋3＋2)＝69.6(分)．故写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由按3∶5∶2计算，变成按5∶3∶2计算后，小亮的总分变化是77.7－74.7＝3(分)，小丽的总分变化是69.6－74.4＝－4.8(分)，故小亮的总分提高了．故选B.例2某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内各进球数的人数情况：进球数n012345投进n个球的人数127■■2已知进球3个