2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式

19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式教学设计课题一次函数与一元一次方程、不等式授课人素养目标1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的转化关系及其本质联系2．使学生能初步运用函数的图象解释一元一次方程的解、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集．3．掌握用图象求解方程、不等式的方法，进一步体会数形结合思想的应用.教学重点用函数观点解决一元一次方程和一元一次不等式的问题．教学难点三个“一次”关系的理解及相互转化.教学活动教学步骤师生活动活动一：设置疑问，导入新课设计意图提出问题，引发学生对函数与方程、不等式之间联系的思考.【置疑导入】(1)观察下面的一元一次方程与一元一次不等式，它们有什么共同之处2x－2＞0，2x－2＝0，2x－2＜0.(2)上面的一元一次方程的解与一元一次不等式的解集，和一次函数y＝2x－2的图象有关系吗？上述方程或不等式左边的式子与一次函数右边的式子相同，很明显，一元一次方程、不等式与一次函数之间存在着某种联系，但这种联系还需要我们进一步去探寻．今天，我们将以函数的角度来观察和解读解一元一次方程及不等式.【教学建议】让学生自由发言即可，教师适时引导学生关注式子结构方面的共同点，为导入新课做准备..活动二：问题引入，自主探究设计意图用数形结合的方法，建立一次函数与一元一次方程的联系.探究点1一次函数与一元一次方程阅读教材P96上方的思考，将下面的表格补充完整．1．从“数”的角度看：2.从“形”的角度看：【教学建议】让学生结合函数图象分组讨论，从函数的角度解释给出的三个方程，再由教师引导学生得出一般性结论．教学中注意引导学生对方程进行变形，总结出函数观点下解一元一次方程ax＋b＝0的意义．教学步骤师生活动设计意图比照研究一次函数和一元一次方程的联系的方法，建立一次函数与一元一次不等式的联系.在直线y＝2x＋1上取纵坐标分别为3，0，－1的点，它们的横坐标分别为1，－0.5，－1.归纳总结：解一元一次方程ax＋b＝c(a≠0)相当于在一次函数y＝ax＋b的函数值为c时，求自变量x的值.问题：将上面的方程变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，在函数观点下，应如何看待解方程ax＋b＝0？答：解一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)，相当于在一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.归纳总结：【对应训练】已知一次函数y＝－2x＋2的图象如图所示．根据图象回答：求方程－2x＋2＝0的解；求方程－2x＋2＝2的解.解：(1)一次函数y＝－2x＋2的图象与x轴的交点为(1，0)，所以方程－2x＋2＝0的解为x＝1.(2)一次函数y＝－2x＋2的图象过点(0，2)，所以方程－2x＋2＝2的解为x＝0.探究点2一次函数与一元一次不等式阅读教材P96下方的思考，将下面的表格补充完整.从“数”的角度看：2.从“形”的角度看：【教学建议】学生类比探究点1的探究过程，从函数的角度对一元一次不等式进行探究．教师应引导学生从“数”与“形”两个方面进行分析，增强学生的直观感受度．应提醒学生，在平面直角坐标系中，自变量由小到大对应横轴从左到右，函数值由小到大对应纵轴从下到上．教学步骤师生活动在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，它们的横坐标分别满足大于0、小于－eq\f(2,3)、小于－1.归纳总结：解一元一次不等式ax＋b＞c或ax＋b＜c(a≠0)，相当于在一次函数y＝ax＋b的函数值大于c或小于c时，求自变量x的取值范围.问题：将上面的不等式变形为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的形式，在函数观点下，应如何看待解不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0？答：解一元一次不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)相当于在一次函数y＝ax＋b的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.归纳总结：补充说明：探究点2中的3个不等式也可理解为求直线y＝3x＋2分别在直线y＝2上方、直线y＝0(即x轴)下方、直线y＝－1下方的部分所对应的自变量x的取值范围．(该方法可推广至结合图象比较两个函数之间的大小关系)【对应训练】如图，若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点(－1，0)，与y轴交于点(0，－3)，则不等式kx＋b＜0的解集是x＞－1.活动三：重点突破，提升探究设计意图让学生进一步体会用函数图象可以直观地求方程、不等式(组)的解或解集.例函数y＝2x＋6的图象如图，利用图象：(1)求方程2x＋6＝0的解；(2)求不等式2x＋6>0的解集；(3)求不等式组－1≤2x＋6≤3的解集.解：(1)因为图象过点(－3，0)，所以方程2x＋6＝0的解为x＝－3.(2)因为当函数y＝2x＋6的图象在x轴上方时，x>－3，所以不等式2x＋6>0的解集为x>－3.(3)因为函数图象过F(－1.5，3)，G(－3.5，－1)两点，当函数y＝2x＋6的函数值满足－1≤y≤3时，－3.5≤x≤－1.5，所以不等式组的解集是－3.5≤x≤－1.5.【对应训练】已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，直线与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，利用函数图象回答：(1)当x取何值时，kx＋b＝0？(2)当x取何值时，kx＋b＞1.5？(3)当x取何值时，0.5＜kx＋b＜2.5？【教学建议】让学生独立思考完成．解决此类问题，通常是找出直线与坐标轴的交点或者根据题目给出的函数值求得对应自变量的值，然后结合图象的增减性来判断对应的自变量的取值范围.教学步骤师生活动解：(1)因为一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标是(－0.5，0)，所以当x＝－0.5时，kx＋b＝0.(2)当x＞1时，kx＋b＞1.5.(3)因为0.5＜kx＋b＜2.5，所以0.5＜y＜2.5，所以由函数图象可得：当0＜x＜2时，0.5＜所以由函数图象可得：当0＜x＜2时，0.5＜kx＋b＜2.5.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：如何利用函数解一元一次方程？如何利用函数解一元一次不等式？【知识结构】【作业布置】1.教材P99习题19.2第13，15题.2．《》主体本部分相应课时训练．板书设计19.2.3一次函数与方程、不等式第1课时一次函数与一元一次方程、不等式1.一次函数与一元一次方程的关系2.一次函数与一元一次不等式的关系教学反思本节课是在一次函数的基础上进行的一次综合与扩展教学．从简单的一元一次方程和一次函数的函数值为0的例子入手，让学生初步感知两者之间的联系，再从更多的例子中去寻找一元一次方程和一次函数的联系，最后得出一般规律．以此作为基础，继而类比探究出一元一次不等式与一次函数的关系.解题方法：(1)由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值．可令y＝0，得到方程ax＋b＝0，解方程得x＝－eq\f(b,a)，－eq\f(b,a)就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标，即直线y＝ax＋b与x轴的交点为(－eq\f(b,a)，0)．(2)由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以转化为：当一次函数值大于或小于0时，求自变量相应的取值范围．(3)用图象法解一元一次方程的步骤：①把一元一次方程变形为ax＋b＝0的形式；②画出一次函数y＝ax＋b的图象；③找到一次函数y＝ax＋b的图象与x轴的交点，交点的横坐标即为所求．(4)直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2的交点的横坐标即为方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解；不等式k1x＋b1＞k2x＋b2(或k1x＋b1＜k2x＋b2)的解集就是直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2上(或下)方部分对应的自变量x的取值范围．例：如图，直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2交于点P(a，b)，则有以下结论：①方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解为x＝a；②不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集为x＞a；③不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集为x＜a.例1一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，x与y的部分对应值如下表，那么一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝1.x－2－1012y9630－3例2如图，直线l1是y＝k1x＋b1，直线l2是y＝k2x＋b2，那么不等式k1x＋b1＜k2x＋b2的解集为x＜－3.例3在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx和y＝mx＋n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k－m)x－n＞0的解集是x＞1.解析：由(k－m)x－n＞0，得kx＞mx＋n.由图可知当x＞1时，直线y＝kx在直线y＝mx＋n的上方，所以关于x的一元一次不等式kx＞mx＋n的解集是x＞1，即关于x的一元一次不等式(k－m)x－n＞0的解集是x＞1.例4如图，根据图中信息解答下列问题：(1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是x＜4；(2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是x＜0；(3)当x为何值时，y1≤y2?(4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系．解：(3)由图可知，两条直线的交点坐标是(2，1.8)．当函数y1的图象在y2的下方时，x＜2，所以当x≤2时，y1≤y2.(4)由图可知，当x＜0时，y2＞y1.例1一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)中的x与y的部分对应值如下表：x－12yn0下列结论：①方程kx＋b＝0(k≠0)的解为x＝2；②若n＞0，则kb＞0；③若关于x的一元一次不等式(k－1)x＋b＞0的解集为x＜eq\f(4,5)，则n＝2；④当函数y＝kx＋b的图象与函数y＝|x|的图象只有一个公共点时，k的取值范围为k＜－1或k＞1.其中一定正确的是①③(填序号)．解析：根据表格数据可知当x＝2时，y＝0，所以方程kx＋b＝0(k≠0)的解为x＝2，故①正确；若n＞0，则y随x的增大而减小，可知当x＝0时，y＞0，所以k＜0，b＞0，所以kb＜0，故②错误；因为关于x的一元一次不等式(k－1)x＋b＞0的解集为x＜eq\f(4,5)，所以直线y＝kx＋b与直线y＝x的交点坐标为(eq\f(4,5)，eq\f(4,5))．因为直线y＝kx＋b经过点(2，0)，(eq\f(4,5)，eq\f(4,5))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝0，,\f(4,5)k＋b＝\f(4,5)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(2,3)，,b＝\f(4,3).))所以一次函数y＝kx＋b的解析式为y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3).将x＝－1代入，得n＝－eq\f(2,3)×(－1)＋eq\f(4,3)＝2，故③正确；因为直线y＝kx＋b经过点(2，0)，所以借助草图分析两种临界情况(如图)：当直线y＝kx＋b在l1的位置时，k＝1；当直线y＝kx＋b在l2的位置时，k＝－1.由此易得当函数y＝kx＋b的图象与函数y＝|x|的图象只有一个公共点时，k的取值范围为k≤－1或k＞1，故④错误，故答案为①③.

例2如图，直线y＝－eq\f(1,2)x＋b与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝kx的图象交于点M(1，2)．(1)求k，b的值及关于x的不等式组0≤－eq\f(1,2)x＋b≤kx的解集；(2)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝－eq\f(1,2)x＋b和y＝kx的图象于点C，D.若2CD＝OB，求点P的坐标．解：(1)把M(1，2)代入y＝kx，得k＝2.把M(1，2)代入y＝－eq\f(1,2)x＋b，得－eq\f(1,2)＋b＝2，解得b＝eq\f(5,2).在y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)中，当y＝0时，－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)＝0，解得x＝5，则A(5，0)．由图可知，关于x的不等式组0≤－eq\f(1,2)x＋b≤kx的解集为1≤x≤5.(2)在y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)中，当x＝0时，y＝eq\f(5,2)，则B(0，eq\f(5,2))，所以OB＝eq\f(5,2).设P(m，0)，则C(m，－eq\f(1,2)m＋eq\f(5,2))，D(m，2m)．所以CD＝|2m－(－e