2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第1课时 正比例函数的概念

19.2一次函数19．2.1正比例函数第1课时正比例函数的概念教学设计课题正比例函数的概念授课人素养目标1.通过对不同背景下函数解析式的比较，理解正比例函数的概念，体会到正比例函数是反映现实世界的一种数学模型．2.理解并掌握正比例函数解析式，能根据已知条件确定正比例函数的解析式．3.能利用正比例函数知识解决相关实际问题.教学重点正比例函数概念的理解及其解析式的求法．教学难点正比例函数的概念的抽象概括过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：设置情境，导入新课设计意图通过生活中比较生动的实例引入新课内容，激发学生学习的兴趣.【知识回顾】在小学时，我们曾经学过正比例关系，即两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子表示为eq\f(y,x)＝k，我们不妨写成y＝kx.【情境导入】(教材P86问题1)2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车的平均速度为300km/h.考虑以下问题：(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位：km)和运行时间t(单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1318÷300≈4.4(h)．(2)京沪高铁列车的行程y是运行时间t的函数，函数解析式为y＝300t(0≤t≤4.4)．(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5h的行程，是当t＝2.5时函数y＝300t的值，即y＝300×2.5＝750(km)．这时列车尚未到达距始发站1100km的南京南站．这个问题中得到的函数解析式有什么特点？函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？带着这些问题，我们走进今天的课堂.【教学建议】教师带领学生回顾正比例关系的相关知识并引申至实例中的函数关系(正比例函数)，比较实例中的函数关系与正比例关系的异同.教学步骤师生活动活动二：问题引入，自主探究设计意图通过对实际问题的讨论，引导学生体验从具体到抽象的认知过程.探究点正比例函数的概念阅读教材P86思考，认真观察求出的4个函数解析式，回答下列问题(1)将4个函数解析式中的常量、变量、自变量在表格中表示出来：(2)4个函数解析式中，自变量和常量是用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？答：乘号“×”，这些常量可以取正数，也可以取负数.(3)这4个函数解析式与y＝200x有何共同特征？请你用语言加以描述.答：都是“变量＝常数×自变量”.(4)如果我们把其中的常数记为k，那么可以用一个式子表示出它们的共性吗？对常数k的取值有什么要求？答：y＝kx，k≠0.概念引入：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？【对应训练】教材P87练习．【教学建议】学生按问题串作答，教师引导学生找出此类函数的共性，总结归纳出正比例函数的概念．并提醒学生在写函数解析式时，注意：①不要套用错误的公式，比如不要把周长公式与面积公式混淆；②不要将常数前面的负号漏掉，比如易把T＝－2t写成T＝2t.活动三：重点突破，提升探究设计意图巩固学生对正比例函数概念的理解，体会简单的求解析式与求值.例1(1)若y＝3x＋k－4是y关于x的正比例函数，则k＝4；(2)若函数y＝(m－1)x|m|是y关于x的正比例函数，则m＝－1.例2已知y与x＋2成正比例，且当x＝2时，y＝－4，求y关于x的函数解析式．解：因为y与x＋2成正比例，所以设y＝k(x＋2)．因为当x＝2时，y＝－4，所以k(2＋2)＝－4，解得k＝－1，所以y＝－1×(x＋2)，即y＝－x－2.【对应训练】1.已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝－6，则当x＝1时，y＝(B)A.3B．－3C．12D．－122.函数y＝(k＋1)x＋(k2－1)是y关于x的正比例函数，则k的值为1.3.已知y－3与x成正比例，且当x＝2时，y＝7.(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x＝4时，y的值为11；(3)当y＝4时，x的值为eq\f(1,2).解：(1)因为y－3与x成正比例，所以设y－3＝kx.因为当x＝2时，y＝7，所以2k＝7－3，解得k＝2.所以y－3＝2x，即y＝2x＋3.【教学建议】学生在独立思考的基础上讨论解答．教师适时强调，理解正比例函数的概念，需要把握以下几点：①自变量x的指数为1；②比例系数k不等于0；③函数解析式等号右边的式子是单项式.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正比例函数有哪些特点？【知识结构】【作业布置】《》主体本部分相应课时训练．板书设计19.2.1正比例函数第1课时正比例函数的概念1.正比例函数的概念2.正比例函数的解析式：y＝kx(k是常数，k≠0)教学反思本节课包含大量熟悉的实例问题，通过对实例的分析抽象出正比例函数模型，在此基础上对概念进行辨析和再认识，这一过程是概念课的常规教学．学生通过问题抽象得到正比例函数的概念，在辨析中部分同学会出现对字母系数和自变量指数的范围不能同时考虑的错误，存在对y与x的关系认识不到位的问题，教师还需在后续教学中进行强调.1．解题方法：已知正比例函数图象上一个点的坐标，或一组函数与自变量的对应值，可用待定系数法求函数解析式．设解析式为y＝kx(k≠0)，把对应的值代入解析式即可求得k的值，从而确定函数解析式．注意：(1)正比例函数必须满足两个条件：①比例系数k≠0；②自变量x的指数是1.(2)正比例函数的自变量的取值范围是任意实数，但在实际问题中要根据实际问题的意义加以限制．例1下列问题中，两个变量成正比例的是(D)A．等腰三角形的面积一定，它的底边长和底边上的高B．等边三角形的面积和它的边长C．长方形的一边长确定，它的周长与另一边长D．长方形的一边长确定，它的面积与另一边长例2(1)已知一个正比例函数的图象经过点(－2，4)，则这个正比例函数的解析式是y＝－2x；(2)若y＝(k－1)x是y关于x的正比例函数，则k的取值范围是k≠1；(3)若函数y＝(a－4)x＋|a|－4是y关于x的正比例函数，则a＝－4；(4)若y＝(k＋3)xeq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k))－2是y关于x的正比例函数，则k＝3；(5)若y与x－2成正比例，且当x＝3时，y＝－4.试求出y关于x的函数解析式；(6)已知y＝(k－3)x＋k2－9是y关于x的正比例函数，求当x＝－4时，y的值．解：(1)解析：设这个正比例函数的解析式为y＝kx.因为图象经过点(－2，4)，所以－2k＝4，所以k＝－2，所以这个正比例函数的解析式是y＝－2x.故答案为y＝－2x.(2)解析：因为y＝(k－1)x是y关于x的正比例函数，所以k－1≠0，所以k≠1.故答案为k≠1.(3)解析：因为函数y＝(a－4)x＋|a|－4是y关于x的正比例函数，所以a－4≠0且|a|－4＝0，所以a＝－4.故答案为－4.(4)解析：因为y＝(k＋3)x|k|－2是y关于x的正比例函数，所以k＋3≠0且|k|－2＝1，所以k＝3.故答案为3.(5)因为y与x－2成正比例，所以设y＝k(x－2)．因为当x＝3时，y＝－4，所以(3－2)k＝－4，解得k＝－4.所以y关于x的函数解析式为y＝－4x＋8.(6)因为y＝(k－3)x＋k2－9是y关于x的正比例函数，所以k2－9＝0且k－3≠0，所以k＝－3，所以y＝－6x.当x＝－4时，y＝－6×(－4)＝24.例1已知y＝y1＋y2，且y1－3与x成正比例，y2与x－2成正比例．当x＝2时，y＝7；当x＝1时，y＝0.(1)求y关于x的函数解析式；(2)当x＝4时，求y的值．解：(1)设y1－3＝k1x，y2＝k2(x－2)．因为y＝y1＋y2，所以y＝k1x＋3＋k2(x－2)．把x＝2，y＝7和x＝1，y＝0代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k1＋3＝7，,k1＋3－k2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝5，))所以y＝2x＋3＋5(x－2)＝7x－7，所以y关于x的函数解析式为y＝7x－7.(2)把x＝4代入y＝7x－7，得y＝7×4－7＝21.例2如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3.(1)求正比例函数的解析式；(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，A