2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第2课时 函数的表示方法

教学设计课题函数的表示方法授课人素养目标1.运用丰富的实例帮助学生理解函数的三种表示方法．2．通过观察、作图、交流等活动，加深对函数的三种表示方法的优缺点的理解，提高把实际问题转化为数学问题的能力．理解解析式法和图象法表示函数关系的相互转换．3．通过数形结合利用函数图象预测实际问题变化趋势.教学重点函数的三种表示方法的理解及应用．教学难点根据实际问题灵活选择适当的方法来表示函数.教学活动教学步骤师生活动活动一：设置情境，导入新课设计意图以实际例子展示函数表示方法的多样性，引发学生的思考.【情境导入】问题1：在标准大气压下，声音在空气中传播的速度(简称音速)y与气温x之间的关系如下表所示：y是x的函数吗？答：y是x的函数.问题2：已知某市出租车的收费标准为：3km内的起步价为8元，超过3km后，每超出1km加收2元．有一位乘客乘坐出租车去x(x>3，且x为整数)km外的某地，付费y元．能否用含x的式子表示y？如果能，y是x的函数吗？答：y＝8＋2(x－3)，y是x的函数.问题3：如图是用弹簧做实验时，在弹性限度内，弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：g)的关系图象，y是x的函数吗？答：y是x的函数.上面的几个问题，分别用列表格、写出函数解析式、画函数图象的方法表示了具体的函数．这些方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的方法表示函数？本节课，我们将要探究这些问题.【教学建议】教学时，可以先让学生列举有关函数的例子，让学生叙述这些函数是用什么方法表示的，为什么可以这样表示，这样表示有什么好处.活动一：问题引入，自主探究设计意图以实际问题为例，将函数关系在不同表示方法之间探究点函数的表示方法结合活动一中的几个问题，我们总结如下：①用函数解析式表示函数的方法叫做解析式法；②用表格表示函数的方法叫做列表法；③用图象表示函数的方法叫做图象法.阅读教材P80例4，回答给出的问题.解：(1)如图①，描出表中数据对应的点，可以看出，这6个点在一条直第2课时函数的表示方法教学步骤师生活动转化，分析各方法的优缺点.线上．再结合表中数据，可以发现每小时水位上升0.3m．由此猜想，如果画出这5h内其他时刻(如t＝2.5h等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.(2)y是t的函数，函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)是符合表中数据的一个函数，它表示经过th水位上升0.3tm，即水位y为(0.3t＋3)m.其图象是图②中的线段AB.如果在这5h内，水位一直匀速上升，那么函数y＝0.3t＋3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律．即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时上升0.3m是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.(3)如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t＝5＋2＝7(h)时，水位高度y＝0.3×7＋3＝5.1(m)．把图①中的函数图象(线段AB)向右延伸到t＝7所对应的位置，得图②，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m.思考：①在例1中，自变量t的取值范围0≤t≤5是如何确定的？②为什么t＝7时，仍可以应用(2)中的函数解析式求函数值？③2h后的水位高度用(3)中的哪种方法更好？答：①根据问题的已知数据得到0≤t≤5.②在问题(3)中，估计这种上涨规律还会持续2h，由此t的取值范围扩大为0≤t≤7.故t＝7时，仍可以应用(2)中的函数解析式求函数值.③通过函数解析式求函数值相对更准确；通过图象估算更直接方便.结合例1，函数的不同表示法之间能否转化？函数的三种表示方法各有什么优缺点？答：在例1中，题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以它们之间可以转化.函数三种表示方法的优缺点总结如下：【教学建议】(1)教师对函数的三种表示方法进行总结，引导学生解决例1中的问题，在解决问题的过程中将函数关系在三种表示方法之间进行转化，让学生从中领会三种表示方法的优缺点，进而能根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决相关问题.(2)在教学中应注重学生根据表格中变量间的对应规律写出函数解析式的能力的培养，引导学生利用所学函数知识探寻事物的变化规律，推测未来事物的变化趋势.教学步骤师生活动函数的三种表示法各有优缺点，有时为全面地认识问题，需要几种方法同时使用.【对应训练】1.根据下面的描述，选择合适的函数表示法.(1)对于每一个大于0的自变量的值，想准确确定对应的函数值；(2)对于自变量x的取值分别为1，2，3，4，5时，想直观地知道其对应的函数值；(3)想知道当x的值增大时，函数值y的变化情况.解：(1)解析式法；(2)列表法；(3)图象法.2～4.教材P81练习．活动三：重点突破，提升探究设计意图进一步列举实例，加深学生对函数的三种表示方法的理解.用一根长为20的细绳围成一个等腰三角形.(1)写出底边长y关于腰长x的函数解析式(x为自变量)；(2)写出自变量x的取值范围；(3)在平面直角坐标系中，画出函数图象.解：(1)根据三角形周长与边长的关系可得20＝x＋x＋y，所以y＝20－2x.即底边长y关于腰长x的函数解析式是y＝20－2x.(2)根据问题的实际意义，得x，y均为正数，所以0＜x＜10.结合三角形的三边关系，得x＋x>y，即2x>20－2x，所以x>5.结合上述两方面的限制，可确定自变量x的取值范围是5＜x＜10.(3)函数图象如图所示.【对应训练】一根水管以固定的速度向容积为100m3的水池中注水，注水时间t与水池中的水量Q存在如下表所示的关系：（1）请从表中找出t与Q之间的函数关系式；（2）确定自变量t的取值范围，并画出函数的图象；（3）当水池中的水量Q为50m3时，求注水时间t的值.解：(1)由表中观察到开始时水池中已有20m3水量，以后每隔2min，水量增加4m3，即每分钟水量增加2m3，这样的变化规律可以表示为Q＝2t＋20.故t与Q之间的函数关系式为Q＝2t＋20.(2)因为t表示注水时间，所以t≥0.因为水池的容积为100m3，所以2t＋20≤100，解得t≤40.所以自变量t的取值范围为0≤t≤40.函数图象如图所示.(3)求水量为50m3时的注水时间，就是求Q＝50时，函数Q＝2t＋20中自变量t的值．由Q＝50，得2t＋20＝50，解得t＝15.(从函数图象中也能估出这个值，如图中点A的横坐标)所以当水池中的水量Q为50m3时，注水时间t的值为15min.【教学建议】教师在教学中引导学生思考：当无法直接得到某一变化过程的函数解析式时，通过哪些步骤的探究，可以得到函数解析式，发现变化规律，预测变化趋势.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：函数有哪些表示方法？对于不同类型的函数，应如何选择合适的表示方法？【知识结构】【作业布置】1.教材P83习题19.1第10，11，12题.2.《》主体本部分相应课时训练．板书设计19.1.2函数的图象第2课时函数的表示方法函数常见的表示方法1.解析式法2.列表法3.图象法教学反思本节课承接上节课的内容，确认了常见的三种表示函数的方法．本节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示．通过举例引导学生进行对比探究，并结合实际问题进一步强化训练，就能让学生较好地区分三种方法的特点，并能选择合适的方法.1．解题方法：函数的三种基本表示方法，各有优缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法．在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象．2．函数的三种表示方法的优缺点：(1)用解析式法表示函数关系优点：简单明了，能从解析式清楚地看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算．缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算．(2)用列表法表示函数关系优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．缺点：不能把所有的自变量与对应的函数值全部列出，而且从表中不能明显地看出变量间的对应规律．(3)用图象法表示函数关系优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．注意：函数的不同表示法之间可以转化．例1下列是三种化合物的结构式及分子式．结构式CHHHHCHHHCHHHCHHHCHHCHHH分子式CH4C2H6C3H8(1)请按其规律，写出后一种化合物的分子式：C4H10.(2)每一种化合物的分子式中H的个数m是否为C的个数n的函数？如果是，请写出关系式．解：每一种化合物的分子式中H的个数m是C的个数n的函数，关系式为m＝2n＋2.例2今年“五一”期间，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t(单位：min)，所走路程为s(单位：m)，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是(C)A．小明中途休息用了20minB．小明休息前爬山的速度为60m/minC．小明在上述过程中所走路程为7200mD．小明休息前后爬山的平均速度相等解析：小明中途休息的时间是60－40＝20(min)，故A选项正确；小明休息前爬山的速度为eq\f(2400,40)＝60(m/min)，故B选项正确；小明在上述过程中所走路程为4800m，故C选项错误；因为小明休息后爬山的速度是eq\f(4800－2400,100－60)＝60(m/min)，所以小明休息前后爬山的平均速度相等，故D选项正确．故选C.例3某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验．在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽车油箱中的余油量y(单位：L)与汽车的行驶时间t(单位：h)之间的关系如表：t/h0123y/L12011210496则用解析式法表示y(单位：L)与自变量t(单位：h)之间的关系为y＝120－8t.例1“十一”期间，小丽和父母一起开车到距家200km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，当行驶150km时，发现油箱中的余油量为30L(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的)．(1)求该汽车平均每千米的耗油量，并写出余油量Q(单位：L)随行驶路程x(单位：km)变化的函数解析式；(2)当x＝280时，求余油量Q的值；(3)当油箱中剩余油量低于3L时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．解：(1)该汽车平均每千米的耗油量为(45－30)÷150＝0.1(L/km)，则余油量Q随行驶路程x变化的函数解析式为Q＝45－0.1x.(2)当x＝280时，Q＝45－0.1×280＝17(L)．(3)能．理由如下：当Q＝3时，45－0.1x＝3，解得x＝420.因为420＞400，所以他们能在汽车报警前回到家．例2王强在电脑上进行打高尔夫球的模拟练习，在某处按函数解析式y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(8,5)x击球，球正好进洞．其中，y(单位：m)是球的飞行高度，x(单位：m)是球飞出的水平距离．(1)试画出高尔夫球飞行的路线；(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？分析：(1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数y＝－eq\f(1,5)x2＋eq\f(8,5)x的图象，用描点法画出图象．在列表时要注意自变量x的取值范围，因为x是球飞出的水平距离，所以x不能取负数．在建立平面直角坐标系时，横轴(x轴)表示球飞出的水平