2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第2课时 一次函数的图象与性质

第2课时一次函数的图象与性质教学设计课题一次函数的图象与性质授课人素养目标1.学会用描点法或两点法画一次函数的图象，体会数形结合思想的应用．2．通过观察具体一次函数的图象特征，抽象到一般一次函数的图象特征，用类比的方法归纳出一次函数的性质．3．利用一次函数的性质解决数学问题.教学重点理解和应用一次函数的图象与性质．教学难点灵活利用一次函数的性质解决数学问题.教学活动教学步骤师生活动活动一：类比分析，导入新课设计意图引导学生回顾正比例函数的图象和性质，为突破本课时的难点做准备..【类比导入】1．正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？2．从解析式上看，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)与正比例函数y＝kx(k为常数，k≠0)只相差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系？3．类比之前对正比例函数图象和性质的研究，我们应该怎样研究一次函数？请带着以上问题，我们进入本课时的学习.【教学建议】让学生思考讨论，类比分析，可挑选学生回答.活动二：问题引入，自主探究设计意图通过画出具体的两个函数的图象，引出正比例函数图象与一次函数图象之间的关系.探究点1一次函数的图象及其平移规律例1(教材P91例2)画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象．解：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值(计算并填写表中空格)．【教学建议】(1)引导学生先用两点法画出函数y＝－6x的图象，再用描点法画出函数y＝－6x＋5的图象，最后两者进行类比，比较两个函数图象之间的关系.(2)告诉学生：确定一教学步骤师生活动设计意图类比探究正比例函数的性质时所用方法，探究一次函数的性质.画出函数图象如图所示.思考：比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填出你的观察结果：这两个函数的图象形状都是直线，并且倾斜程度相同．函数y＝－6x的图象经过原点，函数y＝－6x＋5的图象与y轴交于点(0，5)，即它可以看作由直线y＝－6x向上平移5个单位长度而得到.提问：联系上面的结果，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是什么形状？它与直线y＝kx(k≠0)有什么关系？答：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．我们称一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象为直线y＝kx＋b.【对应训练】1.一次函数y＝－0.5x＋4的图象是由正比例函数y＝－0.5x的图象向上平移4个单位长度得到的一条直线.2.教材P93练习第2题.探究点2一次函数的性质例2(教材P92例3)画出函数y＝2x－1与y＝－0.5x＋1的图象.分析：由于一次函数的图象是直线，因此只要确定两个点就能画出它.解：列表表示当x＝0，x＝1时两个函数的对应值：过点(0，－1)与点(1，1)画出直线y＝2x－1；过点(0，1)与点(1，0.5)画出直线y＝－0.5x＋1.(如图)或先画直线y＝2x与直线y＝－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y＝2x－1与y＝－0.5x＋1.(如图)例3画出函数y＝x＋1，y＝2x＋1，y＝－x＋1，y＝－2x＋1的图象.解：图象如图所示.填表：次函数的图象也是直线后，在画对应的图象时，可以用两点法画出，也可以先画对应的正比例函数图象，再通过平移得到，它们的解析式仅在常数项上有区别【教学建议】设置例2的目的是在前面画正比例函数图象的基础上更进一步，引导学生画较简单的一次函数图象．对于一般的一次函数，为计算简便，可以选择点(0，b)和点(1，k＋b)来画直线y＝kx＋b.教师应向学生讲明，用两点法画一次函数图象时，应结合它的解析式选点．【教学建议】学生独立画图并观察图象，总结出一般性结论，教师对遗漏地方进行补充．教学步骤师生活动由此联想：一次函数解析式y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？总结规律：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降．由此可知，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．其他性质(了解)：1.当k＞0时，k的值越大，直线与x轴所夹的锐角越大；当k＜0时，k的值越小，直线与x轴所夹的锐角越大．2．同一平面内，两条不重合的直线l1：y1＝k1x＋b1(k1≠0)与l2：y2＝k2x＋b2(k2≠0)．当k1＝k2时，l1∥l2；当k1≠k2时，l1与l2相交．,归纳总结：【对应训练】教材P93练习第1，3题．通过画函数图象的过程及观察比较，引出k对函数增减性影响的归纳．活动三：重点突破，提升探究设计意图强化学生对一次函数y＝kx＋b的图象在平面直角坐标系中的位置与k，b取值关系的认知．例4已知一次函数y＝(2a＋4)x－(3－b)．(1)当a，b取何值时，y随x的增大而增大？(2)当a，b取何值时，其图象经过第二、三、四象限？(3)当a，b取何值时，其图象与y轴的交点在x轴上方？(4)当a，b取何值时，其图象经过原点？解：(1)由题意，得2a＋4＞0，－(3－b)为任意实数，所以a>－2，b为任意实数．(2)由题意，得2a＋4＜0，－(3－b)＜0，所以a＜－2，b＜3.(3)由题意，得2a＋4≠0，－(3－b)＞0，所以a≠－2，b>3.(4)由题意，得2a＋4≠0，－(3－b)＝0，所以a≠－2，b＝3.【对应训练】已知一次函数y＝(2m－2)x＋m＋1.(1)当m为何值时，图象经过原点？(2)若y随x的增大而增大，求m的取值范围；(3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，求m的取值范围；(4)若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围．【教学建议】(1)学生在独立思考的基础上讨论解答，教师适时引导学生结合之前总结出的图形规律做题．(2)告诉学生：对于一次函数y＝kx＋b，图象与y轴的交点为(0，b)，故当b＞0时，图象与y轴的交教学步骤师生活动解：(1)由题意，得2m－2≠0，m＋1＝0，所以m＝－1.(2)由题意，得2m－2＞0，解得m＞1.(3)由题意，得2m－2≠0，m＋1＜0，所以m＜－1.(4)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－2＜0，,m＋1>0，))解得－1＜m＜1.点在x轴上方；当b＝0时，即为正比例函数，图象经过原点；当b＜0时，图象与y轴的交点在x轴下方活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：一次函数与正比例函数有什么关系？怎么画一次函数的图象？一次函数y＝kx＋b的图象与性质和k，b的取值有什么关系？【知识结构】【作业布置】1．教材P28习题17.1第1，3，7，13，14题．2．《》主体本部分相应课时训练．板书设计19.2.2一次函数第2课时一次函数的图象与性质1.画出函数y＝－6x和y＝－6x＋5的图象2.一次函数的图象与性质教学反思本节课类比正比例函数图象的研究方法，采用改变变量k的值观察图象的变化的方法，让学生经历观察、比较、归纳的过程，再总结出一次函数y＝kx＋b(k≠0)的一般特点，符合学生的认知规律和教学规律.1．性质拓展：(1)直线y1＝k1x＋b1(k1≠0)与直线y2＝k2x＋b2(k2≠0)的位置关系：①k1≠k2y1与y2相交；②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1≠k2，,b1＝b2))y1与y2相交于y轴上同一点(0，b1)；③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝k2，,b1≠b2))y1与y2平行；④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝k2，,b1＝b2))y1与y2重合．(2)|k|的大小决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线与x轴相交成的锐角度数越大；|k|越小，直线与x轴相交成的锐角度数越小．b决定直线与y轴交点的位置：b＞0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴上；b＜0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴上．(3)当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线对应的函数解析式为y＝b；当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时，这条直线对应的函数解析式为x＝a.2．解题方法：(1)一次函数的图象是一条直线，要画出图象只需确定图象上的两点，这两点一般选与x轴的交点(－eq\f(b,k)，0)和与y轴的交点(0，b)，过这两点画直线即可．(2)由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b的位置；反过来，由直线y＝kx＋b的位置也可以确定k，b的符号．k的符号决定直线的倾斜方向，b的符号决定直线与y轴交点的位置．(3)一次函数图象的平移可以遵照“左加右减，上加下减”的原则进行．一次函数y＝kx＋b的图象平移后k不变，b发生变化．例1如图，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n是常数，mn≠0)的大致图象的是(C)解析：例2若一次函数y＝(2m＋1)x＋m－3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是(D)A．m＞－eq\f(1,2)B．m＜3C．－eq\f(1,2)＜m＜3D．－eq\f(1,2)＜m≤3例3若点A(x1，－3)，B(x2，－4)，C(x3，1)在一次函数y＝－(k2＋1)x＋4的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(B)A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1解析：因为－(k2＋1)＜0，所以y随x的增大而减小．因为－4＜－3＜1，所以x3＜x1＜x2.故选B.例1已知一次函数y＝(3－k)x－2k2＋18.(1)k取何值时，y随x的增大而减小？(2)k取何值时，它的图象经过原点？(3)k取何值时，它的图象经过点(0，－2)?(4)k取何值时，它的图象平行于直线y＝－x?解：(1)由题意，得3－k＜0，所以k＞3.所以当k＞3时，y随x的增大而减小．(2)由题意，得－2k2＋18＝0，3－k≠0，所以k＝－3.所以当k＝－3时，它的图象经过原点．(3)由题意，得－2＝－2k2＋18，且3－k≠0，所以k＝±eq\r(10).所以当k＝±eq\r(10)时，它的图象经过点(0，－2)．(4)由题意，得3－k＝－1，所以k＝4.所以当k＝4时，它的图象平行于直线y＝－x.例2小颖根据学习函数的经验，对函数y＝1－|x－1|的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．(1)列表：x…－2－101234…y…－2－1010－1k…①k＝－2；②若A(9，－7)，B(m，－7)为该函数图象上不同的两点，则m＝－7.(2)描点并画出该函数的图象．(3)根据函数图象可得，该函数的最大值为1；再写出该函数的两条性质：①该函数的图象是轴对称图形；②当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1