2025年春季部编版初中数学教学设计八年级下册第2课时 正比例函数的图像与性质

第2课时正比例函数的图象与性质教学设计课题正比例函数的图象与性质授课人素养目标1.能够画出正比例函数的图象，体会数形结合思想的应用．2.根据正比例函数的解析式y＝kx(k是常数，k≠0)和图象探索并理解正比例函数的性质.3.会用正比例函数的性质解决简单问题.教学重点正比例函数图象的画法和性质的理解．教学难点利用正比例函数的图象与性质灵活解题.教学活动教学步骤师生活动活动一：知识回顾，导入新课设计意图温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备.【回顾导入】(1)什么是正比例函数？(2)在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出比例系数分别是多少？①y＝－5x；②y＝eq\f(4,x)；③y＝3x2＋5；④y＝eq\f(x,2)；⑤y＝－eq\f(2,3)x－1.(3)画函数图象需要经历哪些步骤？答：(1)形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数．(2)①y＝－5x是正比例函数，比例系数是－5；④y＝eq\f(x,2)是正比例函数，比例系数是eq\f(1,2).(3)列表、描点、连线．这节课我们将要学习正比例函数的图象与性质.【教学建议】教师带领学生回顾上节课的知识，为本课时进一步学习正比例函数的图象与性质作准备.活动二：问题引入，自主探究设计意图以画出多个不同的正比例函数的图象为例，探寻正比例函数图象的简单画法.探究点1正比例函数的图象例1(教材P87例1)画出下列正比例函数的图象：(1)y＝2x，y＝eq\f(1,3)x;(2)y＝－1.5x，y＝－4x.解：(1)函数y＝2x中自变量x可为任意实数．列表：下表是y与x的几组对应值．②描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.③连线：将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线，它就是函数y＝2x的图象．(如图①)④用同样的方法，在图①中画出函数y＝13x的图象，它也是一条经过原点和第三、第一象限的直线.【教学建议】学生回顾之前学习过的函数图象的画法，将所求函数的图象在平面直角坐标系中表示出来.教师注意引导学生总结单个函数图象的特点，并结合教材中的思考，总结出正比例函数的简单画法．教师巡视指导学生严格按三步骤画图．并适时提醒学生：一教学步骤师生活动设计意图让学生观察、分析、讨论、对比图象的异同，发现函数图象的性质.(2)函数y＝－1.5x中自变量x可为任意实数.①列表：下表是y与x的几组对应值.②描点：在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.③连线：将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数y＝－1.5x的图象．(如图②)④用同样的方法，在图②中画出函数y＝－4x的图象，它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.思考：经过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？答：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象．一般地，经过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是正比例函数y＝kx(k≠0)的图象.【对应训练】1.正比例函数y＝－3x的大致图象是(C)2.教材P89练习.探究点2正比例函数的性质思考：比较例1中的4个正比例函数的图象，它们有什么共同点和不同点？答：如下表所示：般地，在没有特殊要求的情况下，正比例函数中的自变量可以是任意实数.【教学建议】学生结合图象分组讨论，最终由教师总结出正比例函数的性质．并提醒学生注意区分正比例和正比例函数的概念：在正比例教学步骤师生活动设计意图让学生观察、分析、讨论、对比图象的异同，发现函数图象的性质.归纳总结：一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.当k＞0时，直线y＝kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.【对应训练】正比例函数y＝(1－k)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是k＞1.中一个量随另一种量的增大而增大，而在正比例函数中y还可能随着x的增大而减小，正比例函数的增或减是由比例系数k的正负决定的.活动三：重点突破，提升探究设计意图进一步促进学生巩固正比例函数的图象与性质，并体验数形结合思想的运用过程.例2已知正比例函数y＝(2m＋4)x.(1)m取何值时，函数图象经过第一、第三象限？(2)m取何值时，y随x的增大而减小？(3)m取何值时，点(1，3)在该函数的图象上？解：(1)因为函数图象经过第一、第三象限，所以2m＋4＞0，解得m＞－2.(2)因为y随x的增大而减小，所以2m＋4＜0，解得m＜－2.(3)因为点(1，3)在该函数的图象上，所以2m＋4＝3，解得m＝－12.【对应训练】已知y－2与3x－4成正比例，且当x＝2时，y＝3.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)y关于x的函数的图象是一条经过第三、第一象限的直线，从左向右上升(填“上升”或“下降”)；(3)当a为何值时，点P(a，－3)在这个函数的图象上？解：(1)设y－2＝k(3x－4).将x＝2，y＝3代入，得(3×2－4)k＝3－2，解得k＝0.5.所以y－2＝0.5(3x－4)，即y＝1.5x.所以y关于x的函数解析式为y＝1.5x.(3)将点P的坐标代入函数解析式，得1.5a＝－3，解得a＝－2.所以当a＝－2时，点P(a，－3)在这个函数的图象上.【教学建议】学生在独立思考的基础上讨论解答．教师注意强调正比例函数的增减性、经过的象限和比例系数的正负性三者之间的关系，知一推二.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《》“随堂小练”册子相应课时训练．【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：如何画一个正比例函数的图象？其图象是什么图形？有比较简便的画法吗？正比例函数有哪些性质？【知识结构】【作业布置】1.教材P98习题19.2第1，2题.2.《》主体本部分相应课时训练。板书设计19.2.1正比例函数第2课时正比例函数的图象与性质1.画出正比例函数的图象2.正比例函数的图象3.正比例函数的性质教学反思本节课通过实例使学生了解了正比例函数的图象的特征，掌握了图象特征与比例系数的联系，经过思考、尝试，使学生知道了正比例函数图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．由学生亲自动手实践画正比例函数的图象，有利于学生加深对正比例函数的图象与性质的理解.解题方法：(1)在画正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象时，通常取点(0，0)，(1，k)，过这两点作直线即可．(2)|k|的大小决定直线的倾斜程度：|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角度数越大；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角度数越小．例1已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x＝－1时，y＝－2，则它的图象大致是(C)例2正比例函数y＝(k－3)x的图象经过第一、第三象限，那么k的取值范围是(B)A．k>0B．k>3C．k＜0D．k＜3例3已知直线y＝(2－3m)x经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1>y2，则m的取值范围是m＞eq\f(2,3).解析：因为直线y＝(2－3m)x经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1>y2，所以随着x的增大y反而减小，所以2－3m＜0，解得m>eq\f(2,3).故答案为m>eq\f(2,3).例1已知函数y＝(|a|－3)x2＋2(a－3)x是y关于x的正比例函数．(1)求正比例函数的解析式；(2)画出它的图象；(3)若它的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1＜x2时，试比较y1，y2的大小．解：(1)因为函数y＝(|a|－3)x2＋2(a－3)x是y关于x的正比例函数，所以|a|－3＝0且a－3≠0，所以a＝－3，所以y＝－12x.(2)列表，得描点，连线可得函数y＝－12x的图象，如图所示．(3)函数y＝－12x中，k＝－12＜0，所以y随x的增大而减小．因为x1＜x2，所以y1>y2.例2下面是小左