2025年高二【数学(人教A版)】用空间向量研究距离、夹角问题(1)-教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究距离、夹角问题（1）教科书书名：《数学》选择性必修第一册出版社：人教社出版日期：年月教学目标教学目标：能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式，结合一些具体的距离问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，提升直观想象、数学运算等素养．教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式．教学难点：利用投影向量统一研究空间距离问题．教学过程时间教学环节主要师生活动前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系．除了上述平行、垂直这些特殊的位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、角度等度量问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．在前面的学习中，对于应用空间向量及其运算计算距离与夹角的方法，同学们已经有了初步的体会．今天我们一起，继续深入学习用空间向量研究距离问题．距离是欧氏几何中最基本的度量，回顾立体几何的学习，我们发现空间中点、直线、平面之间的距离问题包括：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离等．距离是这些几何要素之间最短的路径，除两点间距离外，其他距离都需要用垂直刻画．问题1：这些空间中的距离问题归类吗？生：首先，点到直线的距离、两条平行线之间的距离可以归结为一类，因为两条平行线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一条直线的距离问题；其次，点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离可以归结为点（或直线上的点，或一平面上的点）到平面的距离．所有的距离问题，都可以归结为两点间的距离．师：如何用空间向量研究距离？生：类比平面向量的知识，距离可以通过向量的模获得．例如，空间两点间的距离可以转化为空间向量的模的计算．师：除两点间的距离外，其他距离问题都需要通过垂直来刻画，投影向量和勾股定理势必在这些距离的计算中发挥重要作用．问题2：是直线外的一点，如何求出点到的距离？生：此时点与直线确定一个平面，只需过点作，垂足为，垂线段的长度即为点到直线的距离．师：这里，给出下列条件：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，如何利用这些条件求点到该直线的距离？生：结合图形与已知条件，在直角中，使用勾股定理可以求出直角边PQ的长度．具体过程就是，先求出向量及其在直线上的投影向量，再利用勾股定理即可求线段的长度．那么，问题是师：如何表示在直线上的投影向量？生：根据投影向量的概念可以得到．设AP=a，则又因为为单位方向向量，所以．从而我们可以得到师：如果条件改为“已知直线的方向向量”呢？你还会表示点到该直线的距离吗？生：由已知直线的方向向量，可以先求为直线的单位方向向量，再得到向量在直线上的投影向量为，则．从而有，．师:如何用向量方法求两条平行线之间的距离？需要哪些条件？生：两条平行线之间的距离可以转化为点到直线的距离，需要给出两条直线的方向向量，以及每条直线上的一个定点．由这两个定点确定的向量及直线的方向向量，就可以使用前述公式来求得两条平行线之间的距离．PQ=问题3：是平面外的一点，如何求点到平面的距离？师：如何作出点到平面的距离？生：根据点到平面的距离的定义知，过点作，垂足为，垂线段的长度为点到平面的距离．师：在平面的描述中给出条件，已知平面的法向量为，A是平面内的定点，过点P作平面的垂线记为l，如何利用这些条件求点到平面的距离？生：根据定义，我们知道，点到平面的距离就等于向量在法向量方向上的投影向量的长度．具体操作，可以先求AP，再求AP在l上的投影向量QP，最后求PQ的长度．其中QP=(AP∙nn)．小结：整理向量法求距离的公式距离问题图示向量法的距离公式两点间距离PPQPQ=点到直线的距离PPQlAuaPQ=两平行直线之间的距离ll1l2APQauPQ=点到平面的距离PPQnαAPQ=在处理距离问题时，投影向量和勾股定理的使用是关键．例如图在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．求点到直线的距离．判断直线与平面的位置关系；如果平行，求直线到平面的距离．师：使用向量方法求距离，共同点是什么？生：这些公式的共同点：都运用了向量的数量积运算．师：为此我们要做什么准备？生：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量．解：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，12，0)，F(1，1取a＝AB＝(0，1，a2＝1，a∙u＝33所以，点B到直线AC1的距离为a2−a∙u2(2)因为FC＝EC1＝(−1所以FC//平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n 所以1所以y取z＝1，则x＝1，y＝2．所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量．又因为AF＝(0所以点F到平面AEC1的距离为AF∙n|n|＝(0 即直线FC到平面AEC1的距离为66例题小结：1.求直线到平面的距离、两平行平面间的距离问题都可以转化为求点到直线的距离问题，都等于向量AP在平面单位法向量方向上投影向量的长度，即PQ=2.用向量法解决距离问题的“三步曲”建立空间直角坐标系，求有关向量的坐标——将几何问题转化为向量问题；使用距离的向量计算公式——向量的运算与求解；得到所求距离——回到几何图形，得到结论．下面，我们总结一下本节课．课堂小结：问题4：本节课研究的主要内容有哪些？本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．问题5：本节课我们采用的研究方法是什么？转化的研究方法．我们把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算．在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．问题6：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体问题的“三步曲”：（１）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（２）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离等问题；（３）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．课后作业：1．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．（1）求点A1到直线B1E的距离；