2025年宁夏中考数学试卷

第1页（共1页）2025年宁夏中考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1．（3分）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．﹣1 B． C． D．12．（3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠33．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．（a2b）2＝a4b24．（3分）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中（）A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变5．（3分）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱（）A． B． C． D．6．（3分）下列判断正确的是（）A．若点P（a，b）关于x轴的对称点在第二象限，则b＜0 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7．（3分）函数和的部分图象如图所示，点A在，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则（）A．﹣3 B．﹣ C． D．38．（3分）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，为达成目的，还需测量的数据是（）A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组．11．（3分）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°°．14．（3分）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等x＝．15．（3分）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，依此方式继续行走，第一次回到出发点时步．16．（3分）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10），露出笔筒部分的最小长度是cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）化简求值：，其中．19．（6分）如图，点P在直线l外．①在直线l上任取一点A，连接AP；②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；③分别以点P和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，作射线AQ；④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；⑤连接CB，CP．（1）由②得AP与AB的数量关系是；由③得到的结论是．（2）求证：四边形ABCP是菱形．20．（6分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2【理解定义】三位数265是否为“极差数”？．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？21．（6分）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个小号需用绳3米．（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？22．（6分）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，不写作法．（1）过点D作BC的垂线段；（2）过点E作BC的平行线．23．（8分）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是．A．依次抽取100株B．随机抽取100株C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：甲样本的频数分布表x/kg11≤x＜1313≤x＜1515≤x＜1717≤x＜1919≤x＜21频数745152013根据以上信息，解答问题：（1）甲样本中13≤x＜15组的频率是；（2）补全乙样本的频数分布直方图．【分析与应用】（1）填表：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲13≤x＜155.73乙15.744.85（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11≤x＜13的中间值为）（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数；（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD（1）求证：∠CBD＝∠BDC；（2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，求m的取值范围；（3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在26．（10分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AD＜AC．连接BD，点F是BD的中点，CF，EF．（1）如图1，当点D在AC上时，求证：△CEF是等边三角形；（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE＝3，则EM＝．

2025年宁夏中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDBCAAD一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1．（3分）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．﹣1 B． C． D．1【解答】解：由数轴得：点A表示的数在﹣1到0之间，故B选项符合题意，故选：B．2．（3分）如图，直线l1，l2被直线l3所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定l1∥l2，需要的条件是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3【解答】解：∠1＝∠2（对顶角相等），不符合“同位角相等，故A选项错误；∠2≠∠3，故B选项错误；∠1＝∠3，符合“同位角相等，得到l1∥l2，故C选项正确，符合题意；∠8≠∠3，故D选项错误，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．（a2b）2＝a4b2【解答】解：A．a2+a2＝5a2，因此选项A不符合题意；B．a2•a6＝a5，因此选项B不符合题意；C．（a﹣2）2＝a2﹣4a+5，因此选项C不符合题意；D．（a2b）2＝a3b2，因此选项D符合题意．故选：D．4．（3分）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中（）A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变【解答】解：选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，导致主视图呈现的图形位置随之变化，该选项错误．选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，因此左视图不变．选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，俯视图中图形的位置也会随之变化，该选项错误．选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，并非三种视图都不变．故选：B．5．（3分）《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱（）A． B． C． D．【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，得：，故选：C．6．（3分）下列判断正确的是（）A．若点P（a，b）关于x轴的对称点在第二象限，则b＜0 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【解答】解：若点P（a，b）关于x轴的对称点在第二象限，故选项A符合题意；夜晚，小明走向一盏路灯，故选项B不符合题意；4的平方根是±2，故选项C不符合题意；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：A．7．（3分）函数和的部分图象如图所示，点A在，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则（）A．﹣3 B．﹣ C． D．3【解答】解：如图，连接OA，由条件可知OC⊥AB，∴S△OAC＝3S△OBC．由条件可知，∴，∴且k2＜3，∴，∴．故选：A．8．（3分）老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，为达成目的，还需测量的数据是（）A．CH的长，∠EDH的度数 B．AB的长，∠ECH的度数 C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数 D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数【解答】解：如图，延长DC交EF于点H．由题意知CD＝AB，FH＝1.5+3＝3.5（米），在Rt△ECH中，∠AHC＝90°，∴CH＝，在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，∴DH＝，∵CD＝DH﹣CH，∴﹣＝AB，∴EH＝，∴EF＝EH+FH＝（8.5）（米）．故选：D．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算：＝3．【解答】解：＝3．故答案为：5．10．（3分）如图，直线l1：y＝k1x+b1与直线l2：y＝k2x+b2交于点A，则关于x，y的方程组．【解答】解：由图象知直线y＝k1x+b1与y＝k3x+b2相交于点A（4，3），∴关于x，y的方程组．故答案为：．11．（3分）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为．【解答】解：把“器乐文艺社团”、“舞蹈文艺社团”、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，∴他们恰好参加同一社团的概率为：＝，故答案为：．12．（3分）不等式组的解集是x＜2．【解答】解：，由①得：x＜2，由②得：x≤5，∴x＜2，故答案为：x＜2．13．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°117°．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴，，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝＝117°，故答案为：117．14．（3分）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等x＝1．【解答】解：由题意得：，解得：，则yx＝（﹣6）0＝6，故答案为：1．15．（3分）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转后方向直行n步后右转15°，依此方式继续行走，第一次回到出发点时24n步．【解答】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°＝24，则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步，故答案为：24n．16．（3分）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10），露出笔筒部分的最小长度是2cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）【解答】解：由题意得：圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，∴笔筒的底面圆直径为：＝＝8（cm），铅笔放入笔筒内最长为：≈12.8（cm），∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.2﹣12.8≈2（cm），故答案为：4．三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：＝＝．18．（6分）化简求值：，其中．【解答】解：＝＝，当时，原式＝．19．（6分）如图，点P在直线l外．①在直线l上任取一点A，连接AP；②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；③分别以点P和点B为圆心，以大于的长为半径画弧，作射线AQ；④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；⑤连接CB，CP．（1）由②得AP与AB的数量关系是AP＝AB；由③得到的结论是AQ平分∠PAB．（2）求证：四边形ABCP是菱形．【解答】（1）解：由②得AP与AB的数量关系是AP＝AB；由③得到的结论是AQ平分∠PAB．故答案为：AP＝AB，AQ平分∠PAB．（2）证明：由作图可知PA＝AB＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，∴∠PAC＝∠CAB，∴∠PCA＝∠CAB，∴PC∥AB，∵PC＝AB，∴四边形ABCP是平行四边形，∵AP＝AB，∴四边形ABCP是菱形．20．（6分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如三位数231，因为3﹣1＝2【理解定义】三位数265是否为“极差数”？不是．【建模推理】（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为b﹣c＝a；（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？【解答】解：6﹣5＝4，1≠2．故答案为：不是．（1）设一个“极差数”的百位、十位，b，c，则a与b．故答案为：b﹣c＝a．（2）设一个“极差数”为（a、b，所以b﹣c＝a，b＝a+c，所以＝100a+10b+c＝100a+10（a+c）+c＝100a+10a+10c+c＝110a+11c＝11（10a+c），因为a、b、c为正整数，所以10a+c为正整数，所以11（10a+c）能被11整除，即任意一个“极差数”都能被11整除．21．（6分）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个小号需用绳3米．（1）编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？（2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设大号编织x个，小号编织y个，由题意得：4x+3y＝25，∴y＝﹣x，∵x、y均为正整数，∴或，答：大号编织1个、小号编织7个或大号编织4个；（2）设大号编织a个，则小号编织（350﹣a）个，由题意得：4a+3（350﹣a）≤1200，解得：a≤150，设总利润为w元，由题意得：w＝120+3（350﹣m）＝4m+2800，∵4＞7，∴w随a的增大而增大，∴当a＝150时，w取得最大值，答：当大号编织150个时总利润最大，最大利润是3400元．22．（6分）如图，在6×6的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．△ABC的顶点、点D和点E都在格点上．仅用无刻度直尺作图，不写作法．（1）过点D作BC的垂线段；（2）过点E作BC的平行线．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）如图，直线ET即为所求．23．（8分）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是B．A．依次抽取100株B．随机抽取100株C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：甲样本的频数分布表x/kg11≤x＜1313≤x＜1515≤x＜1717≤x＜1919≤x＜21频数745152013根据以上信息，解答问题：（1）甲样本中13≤x＜15组的频率是0.45；（2）补全乙样本的频数分布直方图．【分析与应用】（1）填表：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲13≤x＜155.73乙15.744.85（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如11≤x＜13的中间值为）（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数；（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．【解答】解：【调查与收集】为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，所以应该随机抽取100株作为样本；【整理与描述】（1）甲样本中13≤x＜15组的频率＝＝0.45；（2）乙样本总频数为100，已知各组频数为9（11≤x＜13），25（15≤x＜17），则17≤x＜19组的频数为：100﹣（2+34+25+7）＝25．补全乙样本的频数分布直方图：【分析与应用】（1）（1）∵甲样本各组中间值分别为12、14、18，∴甲样本平均数＝＝15.74；∵乙样本共100个数据，中位数为第50，前两组频数和为4+34＝43，前三组频数和为43+25＝68，∴第50、51个数据落在15≤x＜17组，故乙样本中位数出现的组别落在15≤x＜17组，填表如下：样本平均数（kg）中位数出现的组别方差甲15.7413≤x＜155.73乙15.7415≤x＜174.85（2）估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：甲样本中19≤x＜21组频数为13，频率为，试验田甲种葡萄树共500株，故估计株数为500×8.13＝65（株）；（3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种葡萄树的方差（5.73），产量更稳定．24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD（1）求证：∠CBD＝∠BDC；（2）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE．求证：．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴＝，∴∠CBD＝∠CDB．（2）∵＝，∴DC＝BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵点E在AB的延长线上，∴∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC（SAS），∴AD＝EB，∠DAC＝∠E，∴AE＝AB+EB＝AB+AD，∵∠DAC＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵∠EAC＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，∴∠EAC＝∠DBC，∴△EAC∽△DBC，∴＝，∴＝，∴＝．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m（m＞0）个单位长度，求m的取值范围；（3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E（不与点C重合），使得S△PAD＝S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在【解答】解：（1）∵抛物线顶点横坐标为﹣1，∴由顶点公式，其中b＝﹣7，即，∴a＝﹣1，∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣3x+3，故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当y＝0时，﹣x6﹣2x+3＝5，即x2+2x﹣2＝0，解得x＝﹣3或x＝2（正半轴，不合题意，故A（﹣3，当x＝0时，y＝5，故B（0，3），设直线AB的方程为y＝kx+b，将点A（﹣7，0）与点B（0，k＝6，∴直线AB的方程为y＝x+3，向上平移m个单位后，直线方程为y＝x+3+m，与抛物线y＝﹣x7﹣2x+3联立：﹣x4﹣2x+3＝x+3+m，整理得：x2+3x+m＝8，抛物线与直线有交点时，Δ＝32﹣6×1×m＝9﹣2m≥0，解得，又m＞0，∴m的取值范围为；（3）抛物线对称轴为x＝﹣1．直线AB：y＝x+4，y＝2，2）．顶点C：当x＝﹣7，y＝﹣（﹣1）2﹣5×（﹣1）+3＝7，故C（﹣1，4），3）．，设P（x，y）在抛物线上3﹣2x+3，如图，情况3：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P△PAD＝S△CAD＝2（同底等高），因OA＝OB，且PC∥AB，将点C（﹣1，7）代入求得t＝5，联立抛物线方