历年新高考一卷数学试卷

历年新高考一卷数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∪B=A，则实数a的取值个数是？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若复数z=1+i满足z^2-(k+1)z+k=0，则实数k的值为？

A.0

B.1

C.2

D.-1

4.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_4+a_7=17，则该数列的公差d为？

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知圆O的半径为1，圆心在原点，直线l的方程为x+y=c，若直线l与圆O相切，则实数c的值为？

A.√2

B.2

C.√3

D.3

6.函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)的最小正周期是？

A.2π

B.π

C.2π/3

D.π/3

7.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，且满足a^2+b^2=c^2，则角C的大小为？

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.在直角坐标系中，点P(x,y)到点A(1,0)和点B(0,1)的距离之和为1，则点P的轨迹方程是？

A.x+y=1

B.x^2+y^2=1

C.(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2

D.x^2+y^2=2

9.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx-1，若f(1)=0且f'(1)=0，则实数a和b的值分别为？

A.a=3,b=2

B.a=2,b=3

C.a=3,b=3

D.a=2,b=2

10.已知函数f(x)=e^x-x在区间(0,1)上的最大值是？

A.e-1

B.e

C.1

D.0

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则下列关于函数f(x)的说法正确的有？

A.f(x)在x=0处取得最小值

B.f(x)在x=-1处取得最小值

C.f(x)是偶函数

D.f(x)是奇函数

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的前n项和S_n的表达式为？

A.S_n=2(3^n-1)

B.S_n=3^n-1

C.S_n=3(3^n-1)

D.S_n=2(3^(n-1)-1)

3.已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+3)^2=4，则下列说法正确的有？

A.圆C的圆心坐标为(2,-3)

B.圆C的半径为2

C.圆C与x轴相切

D.圆C与y轴相切

4.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则下列关于函数f(x)的说法正确的有？

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=-1处取得极大值

D.f(x)在x=-1处取得极小值

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，则下列关于向量a和b的说法正确的有？

A.向量a与向量b平行

B.向量a与向量b垂直

C.向量a与向量b的夹角为锐角

D.向量a与向量b的夹角为钝角

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点(1,2)和点(-1,-4)，则实数k和b的值分别为________和________。

2.已知函数f(x)=2^x+1，若f(a)=5，则实数a的值为________。

3.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，则该数列的公差d为________。

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则圆C的圆心到直线x+y=1的距离为________。

5.已知向量a=(3,-2)，向量b=(1,1)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.计算不定积分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程组：

{x^2+y^2=25

{x-2y=-5

3.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求f'(x)并判断x=1是否为f(x)的极值点。

4.在直角三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，边AB=6，求边AC和边BC的长度。

5.计算极限lim(x→0)(sin(3x)/x)*(1/(1-cos(x)))。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B

解析：对数函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，需要底数a>1。

2.C

解析：A={1,2},A∪B=A⇒B⊆A。若B=∅，则a=0满足；若B≠∅，则B={1}或B={2}，分别对应a=1或a=1/2。共有3个值。

3.B

解析：z=1+i,z^2=2i,方程变为2i-(k+1)(1+i)+k=0⇒(2-k-1)i-k+1=0⇒k=1,实部虚部都为0。

4.B

解析：a_4=a_1+3d=2+3d,a_7=a_1+6d=2+6d,a_4+a_7=17⇒4+9d=17⇒9d=13⇒d=2。

5.B

解析：圆心到直线距离d=|1*0+1*0-c|/√(1^2+1^2)=|c|/√2=1⇒|c|=√2⇒c=±√2。由于选项B为√2，且直线方程可标准化为√2(x+y-√2)=0，c=√2。

6.A

解析：f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)=√3/2sinx+1/2sinx+√3/2cosx+1/2cosx=√3/2sinx+1/2sinx+√3/2cosx+1/2cosx=√3/2sinx+1/2sinx+√3/2cosx+1/2cosx=sinx(√3/2+1/2)+cosx(√3/2+1/2)=sin(x+π/3)。最小正周期为2π。

7.D

解析：满足a^2+b^2=c^2的三角形是直角三角形，根据勾股定理，角C为直角。

8.C

解析：点P到A的距离|P-A|和到B的距离|P-B|之和为1，这是一个椭圆的定义，但题目条件是距离和为固定值1，且点A(1,0)，点B(0,1)，此椭圆实际是圆心在(1/2,1/2)，半径为√(1/2^2+1/2^2)=√(1/4+1/4)=√(1/2)=1/√2=√2/2的圆。方程为(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=(√2/2)^2=1/2。

9.A

解析：f(1)=0⇒1^3-a*1^2+b*1-1=0⇒1-a+b-1=0⇒b=a。f'(x)=3x^2-2ax+b，f'(1)=0⇒3*1^2-2a*1+b=0⇒3-2a+b=0。代入b=a⇒3-2a+a=0⇒3-a=0⇒a=3。则b=a=3。

10.A

解析：f'(x)=e^x-1。令f'(x)=0⇒e^x-1=0⇒e^x=1⇒x=0。在区间(0,1)上，当x<0时，f'(x)<0（函数递减）；当x>0时，f'(x)>0（函数递增）。因此x=0是极小值点。计算极小值f(0)=e^0-0=1。检查区间端点：f(0)=1,f(1)=e^1-1=e-1。比较f(0)和f(1)，e-1>1，所以最大值为e-1。

二、多项选择题答案及解析

1.A,C

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|。当x<-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。最小值为2，在区间[-1,1]上取得。f(x)关于y轴对称，是偶函数。A正确，C正确。

2.A,C

解析：a_4=a_2*q^2,54=6*q^2⇒q^2=9⇒q=3(q=-3时a_2=-18,a_4=108，不符合题意)。公比q=3。S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)=a_1*(1-3^n)/(1-3)=a_1*(3^n-1)/2。a_1=a_2/q=a_4/q^3=54/27=2。S_n=2*(3^n-1)/2=3^n-1。A正确，C正确。

3.A,B,D

解析：圆心(2,-3)，半径√4=2。圆心到x轴的距离是|-3|=3>半径2，所以与x轴不相切。圆心到y轴的距离是|2|=2=半径，所以与y轴相切。A正确，B正确，D正确。

4.A,C

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0⇒3x^2-6x+2=0⇒x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1)=6*1-6=0，f''(1-√3/3)=6*(1-√3/3)-6=6-2√3-6=-2√3<0，f''(1+√3/3)=6*(1+√3/3)-6=6+2√3-6=2√3>0。所以x=1是极大值点，x=1+√3/3是极小值点。A正确，C正确。

5.C,D

解析：a·b=1*3+2*(-4)=3-8=-5≠0，所以a与b不垂直。向量夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-5/(√(1^2+2^2)*√(3^2+(-4)^2))=-5/(√5*√25)=-5/(5√5)=-1/√5。由于cosθ<0，夹角为钝角。向量a和向量b不平行（方向不同）。C正确，D正确。

三、填空题答案及解析

1.k=3,b=-1

解析：将两点代入直线方程y=kx+b。

对于(1,2):2=k*1+b⇒k+b=2

对于(-1,-4):-4=k*(-1)+b⇒-k+b=-4

解这个方程组：

k+b=2①

-k+b=-4②

①-②:(k+b)-(-k+b)=2-(-4)⇒2k=6⇒k=3

代入①:3+b=2⇒b=-1

所以直线方程为y=3x-1。

2.a=ln2

解析：f(a)=2^a+1=5⇒2^a=4⇒2^a=2^2⇒a=2。

3.d=2

解析：a_5=a_1+4d=15。a_1=5。15=5+4d⇒4d=10⇒d=2。

4.√2

解析：圆心(1,-2)，直线方程x+y-1=0。距离d=|1*1+1*(-2)-1|/√(1^2+1^2)=|-1-1-1|/√2=|-3|/√2=3/√2=3√2/2。选项中无3√2/2，可能题目或选项有误，若按标准答案格式应为3√2/2。若需匹配选项，需重新审视题目或选项。按计算过程，答案为3√2/2。

5.-4/5

解析：|a|=√(3^2+(-2)^2)=√13。|b|=√(1^2+1^2)=√2。cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-5/(√13*√2)=-5/√26=-5√26/26。

四、计算题答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=x^2/2+x+2ln|x+1|+C

解析：进行多项式除法：(x^2+2x+3)÷(x+1)=x+1+2。原积分变为∫(x+1+2)dx=∫xdx+∫1dx+∫2dx=x^2/2+x+2x+C=x^2/2+3x+C。另一种方法是分解：∫[(x^2+x)+(x+3)]/(x+1)dx=∫[(x(x+1)+x)/(x+1)]dx+∫[(x+1)+2]/(x+1)dx=∫xdx+∫1dx+∫1dx+∫2dx=x^2/2+x+x+2x+C=x^2/2+3x+C。

2.x=1,y=3

解析：将x-2y=-5代入x^2+y^2=25。

x=2y-5

(2y-5)^2+y^2=25

4y^2-20y+25+y^2=25

5y^2-20y=0

5y(y-4)=0

y=0或y=4

若y=0,x=2*0-5=-5。点(-5,0)在圆上，但x+2y=0≠-5，不满足方程组。

若y=4,x=2*4-5=8-5=3。点(3,4)在圆上，且3-2*4=3-8=-5，满足方程组。

所以解为x=3,y=4。

（注：原参考答案x=1,y=3是错误的，正确解应为x=3,y=4。检查过程：x=1时，1-2y=-5⇒-2y=-4⇒y=2。代入x^2+y^2=25⇒1^2+2^2=1+4=5≠25，错误。）

3.f'(x)=3x^2-6x+2,x=1不是极值点

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。求导数：f'(x)=3x^2-6x+2。求驻点：令f'(x)=0⇒3x^2-6x+2=0⇒x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。求二阶导数：f''(x)=6x-6。计算f''(1)：f''(1)=6*1-6=0。二阶导数在驻点x=1处为0，无法判断。需要检查f'(x)在x=1两侧的符号：

当x<1(例如x=0),f'(0)=3*0^2-6*0+2=2>0。

当x>1(例如x=2),f'(2)=3*2^2-6*2+2=12-12+2=2>0。

f'(x)在x=1两侧均为正，说明x=1不是极值点，函数在此点单调递增。

4.AC=6√3/2=3√3,BC=6√3/2=3√3

解析：已知∠A=30°,∠B=60°,AB=6。根据直角三角形边角关系，设AC为对边，BC为邻边。

sin60°=AC/AB⇒(√3/2)=AC/6⇒AC=6*(√3/2)=3√3。

cos60°=BC/AB⇒(1/2)=BC/6⇒BC=6*(1/2)=3。

（注：原参考答案AC=3√3,BC=3√3是错误的，正确解应为AC=3√3,BC=3。）

5.lim(x→0)(sin(3x)/x)*(1/(1-cos(x)))=3

解析：利用等价无穷小：当x→0时，sin(3x)≈3x,1-cos(x)≈x^2/2。

原式=lim(x→0)[(3x)/x]*[1/(x^2/2)]

=lim(x→0)[3]*[2/x^2]

=3*lim(x→0)(2/x^2)

=3*2*lim(x→0)(1/x^2)

=6*lim(x→0)(1/x^2)

错误，应使用标准极限：

=lim(x→0)[(sin(3x)/(3x))*(3/x)]*[1/(1-cos(x))]

=[lim(u→0)(sinu/u)*lim(x→0)(3/x)]*[lim(x→0)(1/(1-cos(x)))]

=[1*3]*[1/lim(x→0)((1-cos(x))/x^2)]

=3*[1/lim(x→0)((1-cos(x))/x^2)]

=3*[1/(1/2)]（因为lim(x→0)((1-cos(x))/x^2)=lim(x→0)(2sin^2(x/2)/(x^2))=lim(x→0)(2(sin(x/2)/(x/2))^2*(1/4))=2*1^2*1/4=1/2）

=3*2

=6。

知识点总结：

本试卷主要涵盖高中数学新高考卷常考的核心知识点，包括：

1.函数部分：指数函数、对数函数的性质与图像，函数单调性，函数奇偶性，函数周期性，函数求值与最值，函数零点。

2.集合部分：集合的表示，集合间的基本关系（包含、相等），集合间的基本运算（并集、交集、补集）。

3.复数部分：复数的代数形式，复数的运算，复数的几何意义（与坐标系关系），求复数模或辐角。

4.数列部分：等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，数列的递推关系，数列的极限（等比数列求和）。

5.解析几何部分：直线方程（点斜式、斜截式、一般式），直线与直线的位置关系（平行、垂直、相交），点到直线的距离，圆的标准方程与一般方程，点与圆、直线与圆的位置关系。

6.导数及其应用部分：导数的定义，导数的几何意义（切线斜率），导数的计算（基本初等函数导数公式，求导法则），利用导数判断函数的单调性与极（最）值。

7.三角函数部分：任意角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和与差的三角函数公式，倍角公式，三角函数的图像与性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性），三角函数