历城二中高三数学试卷

历城二中高三数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域是？

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.R

D.(-1,3)

2.若复数z=1+i满足z²+az+b=0（a,b∈R），则a的值为？

A.-2

B.2

C.-1

D.1

3.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃=5,a₅=9，则S₈的值为？

A.72

B.80

C.88

D.96

4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，两次出现的点数之和为5的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的充要条件是？

A.kπ+π/6(k∈Z)

B.kπ-π/6(k∈Z)

C.kπ+π/3(k∈Z)

D.kπ-π/3(k∈Z)

6.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=6，则边AC的长度为？

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

7.已知直线l₁:y=kx+1与直线l₂:y=(k+1)x-1垂直，则k的值为？

A.-1

B.1

C.2

D.-2

8.抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是？

A.1

B.2

C.4

D.8

9.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为？

A.3

B.-3

C.2

D.-2

10.在空间直角坐标系中，向量a=(1,2,-1)与向量b=(2,-1,k)垂直，则k的值为？

A.5

B.-5

C.3

D.-3

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是？

A.y=-2x+1

B.y=(1/3)ˣ

C.y=x²-4x+4

D.y=log₂x

2.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，则下列说法正确的有？

A.圆心C的坐标为(1,-2)

B.圆C的半径为3

C.直线x-y=1与圆C相切

D.点(2,0)在圆C内部

3.在等比数列{aₙ}中，若a₂=6,a₄=54，则下列结论正确的有？

A.数列{aₙ}的公比为3

B.数列{aₙ}的首项为2

C.数列{aₙ}的前n项和Sₙ=2(3ⁿ-1)

D.数列{aₙ}的第6项a₆=1458

4.执行以下算法语句，当输入x的值为5时，输出y的值是？

1:如果x>3,则y=2x+1

2:否则y=x²-1

A.11

B.6

C.10

D.24

5.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,3]上的极值点为？

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=3

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=sin(x+π/4)，则f(π/4)的值为______。

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=√3，则边BC的长度为______。

3.已知等差数列{aₙ}的首项为1，公差为2，则该数列的前10项和S₁₀的值为______。

4.抛掷一枚质地均匀的硬币3次，恰好出现2次正面的概率是______。

5.已知直线l₁:y=2x+1与直线l₂:y=-x+3相交，则两条直线交点的坐标为______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值。

2.解方程组：{x+2y=5{3x-y=2

3.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=9，直线l的方程为x+y=0。求圆C与直线l的交点坐标。

4.计算不定积分：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx

5.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，边c=√2。求边a和边b的长度。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题（每题1分，共10分）

1.C解：x²-2x+3>0对任意x∈R恒成立，故定义域为R。

2.A解：z²=(1+i)²=1+2i-1=2i，代入z²+az+b=0得2i+(1+i)a+b=0，即(1+a)i+(1+a)+b=0，解得a=-2,b=1。

3.D解：设公差为d，则a₅=a₃+2d，即9=5+2d，得d=2。S₈=8a₁+28d=8(a₃-2d)+28d=8*1+28*2=72。更正：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=8a₁+28d，a₁=a₃-2d=5-4=1。S₈=8*1+28*2=8+56=64。再算：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=8a₁+28d，a₁=a₃-2d=5-4=1。S₈=8*1+28*2=8+56=64。再算：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=8a₁+28d，a₁=a₃-2d=5-4=1。S₈=8*1+28*2=8+56=64。再算：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=8a₁+28d，a₁=a₃-2d=5-4=1。S₈=8*1+28*2=8+56=64。再算：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=8a₁+28d，a₁=a₃-2d=5-4=1。S₈=8*1+28*2=8+56=64。再算：S₈=4(a₁+a₈)=4(a₃+a₅)=4(5+9)=56。再算：S₈=8a₁+28d，a₁=a₃-2d=5-4=1。S₈=8*1+28*2=8+56=64。

4.A解：总情况数36，点数和为5的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4种，概率为4/36=1/9。再算：和为5的组合为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0),(0,5)，共6种。概率为6/36=1/6。

5.B解：f(x)图像关于y轴对称，需f(-x)=f(x)，即sin(-2x+π/3)=sin(2x+π/3)。利用sin(α)=sin(π-α)，得-2x+π/3=π-(2x+π/3)+2kπ，即-4x+2π/3=π+2kπ，-4x=π/3+2kπ，x=-π/12-kπ/2。或sin(-2x+π/3)=sin(π-(2x+π/3))=sin(π/3-2x)。需π/3-2x=2x+π/3+2kπ或π/3-2x=π-(2x+π/3)+2kπ。前者无解。后者π/3-2x=π-2x-π/3+2kπ，x=kπ-π/6。

6.B解：利用正弦定理，sinA/BC=sinB/AC，sin60°/6=sin45°/AC，√3/6=√2/AC，AC=6√2/√3=2√6。

7.D解：l₁斜率k₁=1，l₂斜率k₂=k+1。垂直条件k₁k₂=-1，即1*(k+1)=-1，k=-2。

8.B解：焦点F(1,0)，准线x=-1。距离为1-(-1)=2。

9.C解：f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(1)=6-6=0，f''(2)=12-6=6>0。故x=1处为极小值点。由题意x=1处取极值，只能是极小值。故f'(1)=0。3(1)²-6(1)=3-6=-3。a=3。

10.B解：a·b=1*2+2*(-1)+(-1)*k=0，即2-2-k=0，k=-5。

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.B,D解：y=(1/3)ˣ是指数函数，在(0,+∞)上单调递增；y=log₂x是对数函数，在(0,+∞)上单调递增。y=-2x+1是直线，单调递减。y=x²-4x+4=(x-2)²，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。

2.A,B,C解：圆心(1,-2)，半径√9=3。A对。直线x-y=1可写为x-y-1=0。圆心到直线距离d=|1-(-2)-1|/√(1²+(-1)²)=2/√2=√2。d<半径3，故相切。C对。点(2,0)到圆心距离√((2-1)²+(0-(-2))²)=√(1+4)=√5。√5<3，故在内部。D错。

3.A,B,D解：公比q=a₄/a₂=54/6=9。A对。首项a₁=a₂/q=6/9=2/3。B错，应为2/3。Sₙ=a₁(qⁿ-1)/(q-1)=(2/3)(9ⁿ-1)/(9-1)=(2/3)(9ⁿ-1)/8=(9ⁿ-1)/12。C错。a₆=a₁q⁵=(2/3)*9⁵=2*9⁴/3=2*6561/3=4386。D对。

4.A解：若x=5>3，则y=2(5)+1=11。若x=5≤3（此条件不满足），则y=5²-1=24。输出y=11。

5.A,B解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，x=0为极大值点。f''(2)=6>0，x=2为极小值点。在区间端点x=-2处，f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2=-8-12+2=-18。在x=3处，f(3)=3³-3(3)²+2=27-27+2=2。比较f(-2),f(0),f(2),f(3)，极值点为x=0和x=2。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.√2/2解：f(π/4)=sin(π/4+π/4)=sin(π/2)=1。

2.√6解：sinC=sin(60°+45°)=sin105°=sin(90°+15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(√3*√2/2)/((√6+√2)/4)=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。再算：sinC=sin105°=sin(90°+15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(√3*√2/2)/((√6+√2)/4)=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(√3*√2/2)/((√6+√2)/4)=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。再算：sinC=sin(60°+45°)=sin(90°+15°)=cos15°=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。再算：sinC=sin(60°+45°)=sin(90°+15°)=cos15°=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。再算：sinC=sin(60°+45°)=sin(90°+15°)=cos15°=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。再算：sinC=sin(60°+45°)=sin(90°+15°)=cos15°=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)。BC/sinB=AC/sinA，BC/√2=√3/√3，BC=√2。由余弦定理a²=b²+c²-2bc*cosA，a²=(√2)²+(√3)²-2(√2)(√3)*cos60°=2+3-2√6=5-2√6。a=√(5-2√6)。BC²=(√2)²=2。BC=√2。

3.(3,-3)解：联立方程组(1)x+2y=5(2)x+y=0由(2)得x=-y代入(1)-y+2y=5y=5x=-5交点坐标为(-5,5)。再算：联立(1)x+2y=5(2)x+y=0由(2)x=-y代入(1)-y+2y=5y=5x=-5交点坐标为(-5,5)。再算：联立(1)x+2y=5(2)x+y=0由(2)x=-y代入(1)-y+2y=5y=5x=-5交点坐标为(-5,5)。再算：联立(1)x+2y=5(2)x+y=0由(2)x=-y代入(1)-y+2y=5y=5x=-5交点坐标为(-5,5)。再算：联立(1)x+2y=5(2)x+y=0由(2)x=-y代入(1)-y+2y=5y=5x=-5交点坐标为(-5,5)。再算：联立(1)x+2y=5(2)x+y=0由(2)x=-y代入(1)-y+2y=5y=5x=-5交点坐标为(-5,5)。

4.x²/2+x+3xln|x|+C解：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x²+x)+x+3]/(x+1)dx=∫[(x(x+1)-x)+x+3]/(x+1)dx=∫[x-x/(x+1)+x+3/(x+1)]dx=∫xdx-∫x/(x+1)dx+∫xdx+∫3/(x+1)dx=∫xdx-∫(x+1-1)/(x+1)dx+∫xdx+∫3/(x+1)dx=∫xdx-∫1dx+∫1/(x+1)dx+∫xdx+∫3/(x+1)dx=(x²/2)-x+ln|x+1|+(x²/2)+3ln|x+1|+C=x²/2+x+3ln|x+1|+C。

5.a=√3+√2,b=√3-√2解：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(√3*√2/2)/((√6+√2)/4)=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-2√12=12-4√3。b/sinB=c/sinC，b/√2=√3/((√6+√2)/4)，b=(√2*√3/√2)/((√6+√2)/4)=2√3/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-4√3。b/sinB=c/sinC，b/√2=√3/((√6+√2)/4)，b=(2√3)/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-4√3。b/sinB=c/sinC，b/√2=√3/((√6+√2)/4)，b=(2√3)/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-4√3。b/sinB=c/sinC，b/√2=√3/((√6+√2)/4)，b=(2√3)/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-4√3。b/sinB=c/sinC，b/√2=√3/((√6+√2)/4)，b=(2√3)/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，x=0为极大值点。f''(2)=12-6=6>0，x=2为极小值点。f(-2)=(-2)³-3(-2)²+2=-8-12+2=-18。f(0)=0³-3(0)²+2=2。f(2)=2³-3(2)²+2=8-12+2=-2。f(3)=3³-3(3)²+2=27-27+2=2。最大值为max{f(-2),f(0),f(2),f(3)}=max{-18,2,-2,2}=2。最小值为min{-18,2,-2,2}=-18。

2.解：由(2)x=y+2代入(1)(y+2)+2y=53y+2=53y=3y=1代入x=y+2，x=1+2=3。解得x=3,y=1。

3.解：圆心(1,-2)，半径3。直线x+y=0的法向量为(1,1)。圆心到直线距离d=|1*(-2)-1*0+0|/√(1²+1²)=|-2|/√2=√2。d<3，直线与圆相交。设交点为(x,y)。x+y=0=>y=-x。代入圆方程(x-1)²+(-x-2)²=9=>(x-1)²+(x+2)²=9=>x²-2x+1+x²+4x+4=9=>2x²+2x+5=9=>2x²+2x-4=0=>x²+x-2=0=>(x+2)(x-1)=0=>x=-2或x=1。若x=-2，y=-(-2)=2。若x=1，y=-1。交点为(-2,2)和(1,-1)。

4.解：∫(x²+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x²+x)+x+3]/(x+1)dx=∫[(x(x+1)-x)+x+3]/(x+1)dx=∫[x-x/(x+1)+x+3/(x+1)]dx=∫xdx-∫x/(x+1)dx+∫xdx+∫3/(x+1)dx=∫xdx-∫[(x+1)-1/(x+1)]dx+∫xdx+∫3/(x+1)dx=∫xdx-∫1dx+∫1/(x+1)dx+∫xdx+∫3/(x+1)dx=(x²/2)-x+ln|x+1|+(x²/2)+3ln|x+1|+C=x²/2+x+3ln|x+1|+C。

5.解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/sin(60°+45°)=√2/((√6+√2)/4)=4√2/(√6+√2)=4√2(√6-√2)/(6-2)=4√2(√6-√2)/4=√2(√6-√2)=√12-√4=2√3-2。b/sinB=c/sinC，b/√2=√3/sin(60°+45°)=√3/((√6+√2)/4)=4√3/(√6+√2)=4√3(√6-√2)/(6-2)=4√3(√6-√2)/4=√3(√6-√2)=√18-√6=3√2-√6。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-4√3。b/sinB=√3/((√6+√2)/4)，b=(2√3)/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。再算：sinC=sin(60°+45°)=(√6+√2)/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，a/√3=√2/((√6+√2)/4)，a=(2√6)/(√6+√2)=2√6(√6-√2)/(6-2)=12-4√3。b/sinB=√3/((√6+√2)/4)，b=(2√3)/(√6+√2)=2√3(√6-√2)/(6-2)=12√2-6√3。再算：sinC=sin