六上测控优化数学试卷

六上测控优化数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在控制理论中，传递函数的定义是系统输出与输入之比，通常表示为______。

A.微分方程

B.频率响应

C.状态空间

D.拉普拉斯变换

2.控制系统的稳定性是指系统在受到扰动后能够恢复到______。

A.原始状态

B.新的平衡点

C.周期运动

D.随机运动

3.在优化问题中，目标函数的极小值点是指______。

A.使目标函数值最大的点

B.使目标函数值最小的点

C.使约束条件最满足的点

D.使系统响应最快的点

4.最小二乘法在参数估计中的作用是______。

A.求解线性方程组

B.最小化误差平方和

C.求解非线性方程

D.求解微分方程

5.在控制系统中，比例控制器（P）的作用是______。

A.提高系统的响应速度

B.减小系统的超调量

C.消除系统的稳态误差

D.增加系统的稳定性

6.在状态空间表示法中，系统的动态方程通常表示为______。

A.\(\dot{x}=Ax+Bu\)

B.\(y=Cx+Du\)

C.\(z=x+y\)

D.\(\dot{x}=f(x,u)\)

7.在优化问题中，约束条件通常表示为______。

A.等式约束

B.不等式约束

C.松弛约束

D.无约束

8.在控制系统中，积分控制器（I）的作用是______。

A.提高系统的响应速度

B.减小系统的超调量

C.消除系统的稳态误差

D.增加系统的稳定性

9.在频率响应分析中，奈奎斯特图的作用是______。

A.分析系统的稳定性

B.分析系统的响应速度

C.分析系统的超调量

D.分析系统的稳态误差

10.在参数优化中，梯度下降法是一种______。

A.直接搜索方法

B.启发式搜索方法

C.随机搜索方法

D.系统辨识方法

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.控制系统的性能指标通常包括______。

A.响应速度

B.超调量

C.稳态误差

D.稳定性

E.频率响应

2.在优化问题中，常用的优化算法包括______。

A.梯度下降法

B.牛顿法

C.随机搜索法

D.遗传算法

E.拉格朗日乘子法

3.控制系统的传递函数通常由______组成。

A.比例环节

B.积分环节

C.微分环节

D.惯性环节

E.振荡环节

4.在状态空间表示法中，系统的输出方程通常表示为______。

A.\(y=Cx+Du\)

B.\(\dot{x}=Ax+Bu\)

C.\(z=x+y\)

D.\(\dot{x}=f(x,u)\)

E.\(y=Gx\)

5.在控制系统中，常用的控制器类型包括______。

A.比例控制器（P）

B.积分控制器（I）

C.比例-积分控制器（PI）

D.比例-积分-微分控制器（PID）

E.滤波器控制器

三、填空题（每题4分，共20分）

1.控制系统的传递函数是指系统输出与输入之比，通常表示为______。

2.在优化问题中，目标函数的极小值点是指______。

3.最小二乘法在参数估计中的作用是______。

4.在控制系统中，比例控制器（P）的作用是______。

5.在状态空间表示法中，系统的动态方程通常表示为______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知一阶系统的传递函数为\(G(s)=\frac{1}{s+2}\)，求该系统在阶跃输入下的响应表达式\(c(t)\)。

2.设有一优化问题，其目标函数为\(f(x)=x_1^2+2x_2^2-4x_1-6x_2\)，约束条件为\(x_1+x_2=1\)。试用拉格朗日乘子法求该问题的最优解。

3.对于二阶系统，其传递函数为\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(\omega_n=2\)rad/s，\(\zeta=0.5\)。求该系统的自然频率和阻尼比，并计算其单位阶跃响应的超调量和上升时间。

4.已知一控制系统的状态方程为\(\dot{x}=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}u\)，输出方程为\(y=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}x\)。求该系统的传递函数\(G(s)\)。

5.设有一无约束优化问题，其目标函数为\(f(x)=x_1^2+x_2^2\)，试用梯度下降法求该问题的最优解，初始点为\(x_0=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)，学习率为0.1，迭代两次。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案

1.D

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A,B

8.C

9.A

10.B

二、多项选择题答案

1.A,B,C,D

2.A,B,D,E

3.A,B,C,D,E

4.A,B

5.A,B,C,D

三、填空题答案

1.\(\frac{C(s)}{R(s)}\)

2.使目标函数值最小的点

3.最小化误差平方和

4.提高系统的响应速度

5.\(\dot{x}=Ax+Bu\)

四、计算题答案及过程

1.解：系统传递函数为\(G(s)=\frac{1}{s+2}\)。在阶跃输入\(r(t)=1\)下，其拉普拉斯变换为\(R(s)=\frac{1}{s}\)。系统响应的拉普拉斯变换为\(C(s)=G(s)R(s)=\frac{1}{s(s+2)}\)。进行部分分式分解：

\(C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+2}\)。取拉普拉斯反变换得：

\(c(t)=1-e^{-2t}\)。

2.解：构造拉格朗日函数\(\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=x_1^2+2x_2^2-4x_1-6x_2+\lambda(x_1+x_2-1)\)。求偏导并令其为零：

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialx_1}=2x_1-4+\lambda=0\)

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partialx_2}=4x_2-6+\lambda=0\)

\(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=x_1+x_2-1=0\)。

解得\(x_1=1\),\(x_2=0\),\(\lambda=2\)。最优解为\(x^*=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。

3.解：系统传递函数为\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，其中\(\omega_n=2\)rad/s，\(\zeta=0.5\)。自然频率\(\omega_n=2\)rad/s。阻尼比\(\zeta=0.5\)。

单位阶跃响应的超调量\(M_p=e^{\frac{-\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\approxe^{-\frac{0.5\pi}{\sqrt{1-0.5^2}}}\approxe^{-\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\approx0.456\)。

上升时间\(t_r=\frac{\pi-\arccos(\zeta)}{\omega_d}=\frac{\pi-\arccos(0.5)}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi-\frac{\pi}{3}}{2\sqrt{1-0.25}}=\frac{\frac{2\pi}{3}}{2\sqrt{0.75}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3/2}}=\frac{\pi\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}\approx0.68\)s。

4.解：系统状态方程为\(\dot{x}=Ax+Bu\)，其中\(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)。输出方程为\(y=Cx\)，其中\(C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\)。

系统传递函数\(G(s)=C(sI-A)^{-1}B\)。

计算矩阵\(sI-A=\begin{bmatrix}s-1&-2\\0&s+1\end{bmatrix}\)。

求逆\((sI-A)^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{s-1}&\frac{2}{s-1}\\0&\frac{1}{s+1}\end{bmatrix}\)。

\(G(s)=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{s-1}&\frac{2}{s-1}\\0&\frac{1}{s+1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\frac{1}{s-1}\)。

5.解：目标函数\(f(x)=x_1^2+x_2^2\)，梯度\(\nablaf(x)=\begin{bmatrix}2x_1\\2x_2\end{bmatrix}\)。学习率\(\alpha=0.1\)。

初始点\(x_0=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)。

第一次迭代：

\(g_0=\nablaf(x_0)=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}\)

\(x_1=x_0-\alphag_0=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.8\\0.8\end{bmatrix}\)。

第二次迭代：

\(g_1=\nablaf(x_1)=\begin{bmatrix}2\times0.8\\2\times0.8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.6\\1.6\end{bmatrix}\)

\(x_2=x_1-\alphag_1=\begin{bmatrix}0.8\\0.8\end{bmatrix}-0.1\begin{bmatrix}1.6\\1.6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.64\\0.64\end{bmatrix}\)。

迭代两次后的点为\(x_2=\begin{bmatrix}0.64\\0.64\end{bmatrix}\)。

知识点分类和总结

1.控制理论基础：

*传递函数：描述系统输入输出关系的数学模型，是经典控制理论的核心。计算题1考察了传递函数在阶跃响应中的应用。

*系统性能指标：评价控制系统性能的关键参数，包括响应速度、超调量、稳态误差和稳定性。多项选择题1和计算题3涉及了这些指标。

*控制器类型：常见的控制器包括比例（P）、积分（I）、比例-积分（PI）和比例-积分-微分（PID）控制器，它们分别用于改善系统的稳定性、消除稳态误差和提高响应速度。多项选择题5考察了控制器类型。

*状态空间表示法：现代控制理论的基础，使用状态变量描述系统动态，包括状态方程和输出方程。计算题4考察了状态空间到传递函数的转换。

2.优化理论基础：

*优化问题：寻找使目标函数达到最优（最大或最小）解的问题，通常包含目标函数和约束条件。多项选择题2和计算题2涉及了优化问题。

*目标函数：优化问题的核心，表示要优化或评价的量。计算题2和计算题5考察了目标函数的极小值点。

*约束条件：限制优化变量取值范围的条件，可以是等式约束或不等式约束。计算题2考察了约束优化问题。

*优化算法：求解优化问题的方法，包括直接搜索法（如梯度下降法）、启发式搜索法（如遗传算法）等。计算题5考察了梯度下降法。

*参数估计：利用最小二乘法等方法估计系统参数，使误差平方和最小。填空题3涉及了最小二乘法。

3.系统分析与设计：

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