《变量与常量》教案

19.1.2函数的图象第1课时函数的图象及其画法课时目标1.能用描点法画函数的图象,能根据函数的图象分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律,增强推理能力,发展几何直观.2.通过对函数关系表示方法的再研究,加深对函数概念的理解,进一步体会数形结合的思想,提高数学学习的兴趣.学习重点描点法画函数的图象.学习难点根据图象分析变量关系.课时活动设计情境导入问题1:下图是自动测温仪记录的图象,它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.观察图象,回答问题:(1)当时间t=4时,气温T为多少?t=14时呢?气温T是时间t的函数吗?可以从图象中直观地看出这一天中任一时刻的气温大约是多少吗?(2)一天中气温随时间的变化如何变化?(3)你还能从图象中得到哪些信息?解:(1)当时间t=4时,T=-3;当t=14时,T=8.气温T是时间t的函数.可以从图象中直观地看出这一种任一时刻的气温大约是多少.(2)从0时至4时气温呈下降状态(即气温随时间的增长而下降),从4时到14时气温呈上升状态,从14时至24时气温又呈下降状态.(3)这一天中4时气温最低,为-3℃,14时气温最高,为8℃.问题2:下图反映的过程是小明从家去菜地浇水,又去玉米地锄草,然后回家.其中x表示时间,y表示小明离他家的距离.根据图象回答下列问题:(1)菜地离小明家多远?小明走到菜地用了多长时间?(2)小明给菜地浇水用了多长时间?(3)菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多长时间?(4)小明给玉米地锄草用了多长时间?(5)玉米地离小明家多远?小明从玉米地回家的平均速度是多少?(6)10min时,小明离家多远?解:(1)由纵坐标看出,菜地离小明家1.1km;由横坐标看出,小明走到菜地用了15min.(2)由横坐标看出,25-15=10,则小明给菜地浇水用了10min.(3)由纵坐标看出,2-1.1=0.9,则菜地离玉米地0.9km;由横坐标看出,37-25=12,则小明从菜地到玉米地用了12min.(4)由横坐标看出,55-37=18,则小明给玉米地锄草用了18min.(5)由纵坐标看出,玉米地离小明家2km;由横坐标看出,80-55=25,则小明从玉米地回家用了25min,由此算出平均速度为2÷25=0.08km/min.(6)10min时,小明离家1.115×10=设计意图:引导学生根据图象分析、寻找信息,从图象上的点的实际意义感受两个变量的对应关系,体会函数图象的直观性及优缺点;通过解析式与函数图象的对比,了解解析式和图象结合起来会使函数关系更清晰,实现从感性认识到理性认识的飞跃.一起探究如何画出一个函数的图象呢?一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.例在直角坐标系中,画出函数y=2x+1的图象.1.回顾函数图象的定义,你认为第一步应怎样做?(把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标——列表)2.怎样取值更能反映完整的图象?取多少个呢?(根据自变量的取值范围选取有代表性的且容易计算的值)3.取值完成后接下来应该怎么做?(在直角坐标系中描点——描点)4.描点后如何得到函数的图象?(用平滑的曲线连接这些点并顺势延伸——连线)5.从这个函数图象上你能得到哪些信息?6.判断点(-2,-3),(2,3)是否在函数y=2x+1的图象上.解:从函数解析式可以看出,x的取值范围是全体实数.第一步:从x的取值范围中选取一些简洁的数值,算出y的对应值,填写在表格里;x…-2-1012…y…-3-1135…第二步:根据表中数值描点(x,y);第三步:用平滑曲线连接这些点.画出的图象是一条直线,直线从左向右上升,即当x由小变大时,对应的函数值y也随之增大.设计意图:通过问题引导,充分调动学生的积极性,让学生在说和做中领悟画函数图象的步骤方法及注意事项,学生动手完成整个函数图象并小组交流,分析出错原因,让学生在经历分析和解决问题的过程中感受学习数学的快乐.学生在独立思考、小组交流中初步体会研究函数的一般方法——数形结合思想,体会从特殊到一般的数学归纳法,发展符号意识和抽象能力.同时体会研究函数的实质是研究点的坐标与函数图象的对应关系,认识到三种表示方法能使数和形统一起来,三者各有特点,有时又可以互相转化.动手画图例1用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根,显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入数为x,输出结果为y.(1)请写出y与x之间的函数解析式,并指出自变量x的取值范围.(2)画出这个函数的图象.(3)观察图象,当x>0时,y随x的增大如何变化?解:(1)y=x(x≥0).(2)根据函数的解析式,填写下表,并根据表格中的数值描点(x,y),用平滑曲线连接这些点,画出函数图象如图所示.(3)y随x的增大而增大.设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上掌握函数图象的画法,并能读取图象信息.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界.典例分析例2小明的父母出去散步,从家走了20min到达离家900m的一个报亭,母亲随即按原速度返回,父亲看了10min报纸后,用了15min返回家.请根据关于父亲或母亲离家的路程y(m)和离家时间x(min)的函数图象回答问题:(1)哪幅图象表示父亲离家的路程y与离家时间x的关系?(2)哪幅图象表示母亲离家的路程y与离家时间x的关系?(3)针对余下的一幅图象讲述一段与之相符的故事.解:(1)第一幅图的图象表示父亲离家的路程y与离家时间x的关系.(2)第二幅图的图象表示母亲离家的路程y与离家时间x的关系.(3)小莉从家走了30min到达离家900m的一个报亭,然后立即返回,用了15min返回家.(答案不唯一,合理即可)设计意图:学生通过例题进一步熟悉函数图象的画法,并能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息,让学生在解决问题的过程中增强学习数学的兴趣,建立学习数学的自信心,促进学生对函数的整体理解和把握,培养学生的核心素养.第1课时函数的图象及其画法描点法画图象的步骤：列表描点连线例1例2知能演练提升能力提升1.小明从家出发步行至学校,停留一段时间后乘车返回,则下列函数图象最能体现他离家的距离(s)与出发时间(t)之间的对应关系的是()2.已知王叔叔以400m/min的速度匀速骑车5min,在原地休息了6min,然后以500m/min的速度骑回出发地.王叔叔行驶的速度为v(单位:km·min-1),距出发地的距离为s(单位:km),下列函数图象能表达这一过程的是()3.甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离y(单位:km)与时间x(单位:h)的函数关系如图所示,下列说法中不正确的是()A.甲车行驶到距A城240km处,被乙车追上B.A城与B城的距离是300kmC.乙车的平均速度是80km/hD.甲车比乙车早到B城4.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入没有水的大圆柱形容器内,现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水,如图所示,则小水杯内水面的高度h(单位:cm)与注水时间t(单位:min)的函数图象大致为图中的()5.如图,已知点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A,C除外),作PE⊥AB于点E,作PF⊥BC于点F,设正方形ABCD的边长为x,矩形PEBF的周长为y,在下列图象中,大致表示y与x之间的函数关系的是()★6.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:km)随时间x(单位:min)变化的图象(全程)如图所示,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30min,甲在乙的前面C.第48min时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28km7.如图,表示的是小明在6h~8h时他的速度与时间的关系,则在6h~8h小明行驶的路程是km.

8.图①中的摩天轮可抽象成一个圆,圆上一点离地面的高度y(单位:m)与旋转时间x(单位:min)之间的关系如图②所示.(1)根据图②填表:x/min036812…y/m…(2)变量y是x的函数吗?为什么?(3)根据图中的信息,请写出摩天轮的直径.图①图②9.在式子y=x+1中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.(1)画出函数y=x+1的图象;(2)判断点A(1,2),B(-1,-1)是否在这个函数的图象上.10.小明来到体育馆看球赛,进场时,发现门票还在家里,此时离比赛开始还有25min,于是立即步行回家取票.同时,他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票,两人在途中相遇,相遇后小明立即坐父亲的自行车返回体育馆.如图,线段AB,OB分别表示父亲和小明送票、取票过程中,离体育馆的路程s(单位:m)与所用时间t(单位:min)之间的函数关系,结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持不变):(1)求点B的坐标;(2)小明能否在比赛开始前到达体育馆?创新应用★11.如图,在三个函数图象中,有两个函数图象能近似地刻画如下甲、乙两个情境:情境甲:小芳离开家不久,发现把作业本忘在家,于是返回家里找作业本再去学校;情境乙:小芳从家出发,走了一段路程后,为了赶时间,以更快的速度前进.(1)情境甲、乙所对应的函数图象分别为,(填写序号);

(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.知能演练·提升能力提升1.B2.C3.D解析由题意可知,A城与B城之间的距离是300km,故选项B正确;甲车的平均速度是300÷5=60(km/h),60×4=240(km),即甲车行驶到距A城240km处,被乙车追上,故选项A正确;乙车的平均速度是240÷(4-1)=80(km/h),故选项C正确;由题图可知,乙车比甲车早到B城,故选项D错误.故选D.4.B5.A6.D7.908.解(1)自左往右依次填:5,70,5,54,5.(2)变量y是x的函数,因为在这个变化过程中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,所以变量y是x的函数.(3)摩天轮的直径是70-5=65(m).9.解(1)列表:x…-2-1012…y…-10123…根据表中的数据描点(x,y),并用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序连接这些点.(2)当x=1时,y=1+1=2,故点A(1,2)在函数y=x+1的图象上;当x=-1时,y=-1+1=0,故点B(-1,-1)不在函数y=x+1的图象上.10.解(1)从题图可以看出:父子俩从出发到相遇时花费了15min.设小明步行的速度为xm/min,则小明父亲骑车的速度为3xm/min,依题意得15x+45x=3600.解得x=60.所以两人相遇处离体育馆的距离为60×15=900(m).所以点B的坐标为(15,900).(2)小明取票后,赶往体育馆的时间为90060×3小明取票花费的