《一次函数的应用》教案

第4课时一次函数的应用课时目标(一)教学知识点利用一次函数知识解决相关实际问题.(二)能力训练目标体会解决问题方法的多样性,发展创新实践能力,培养学生的数学核心素养.学习重点灵活运用知识解决相关问题.学习难点灵活运用知识解决相关问题.课时活动设计回顾复习1.在一次函数y=kx+b中,b>0,且y随x的增大而减小,则它的图象大致为(D)2.由一次函数图象可获得哪些信息?解:(1)由一次函数的图象可确定k和b的符号;(2)由一次函数的图象可估计函数的变化趋势;(3)可直接观察出x与y的对应值;(4)由一次函数的图象与y轴的交点的坐标可确定b值,再根据与x轴交点坐标可由待定系数法确定一次函数的解析式.设计意图:复习旧知识,为新课学习奠定基础.1.提出问题,创设情境我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定函数解析式,那么如何利用一次函数知识解决相关实际问题呢?这将是我们这节课要解决的主要问题.2.导入新课下面我们来学习一次函数的应用.例1小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分钟提高速度20米/分,再匀速跑10分钟.试写出这段时间里她跑步速度y(米/分)随跑步时间x(分)变化的函数关系式,并画出图象.解:y=20图象如图所示.我们把这种函数叫做分段函数.在解决分析函数问题时,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符合实际.设计意图:通过熟悉的生活情境体会一次函数中分段函数存在的客观性和学习分段函数的必要性,先从实际数量关系上列出解析式,再根据解析式画出其图象,加深学生对函数“数”和“形”的完善结合的理解,让学生真正感受到数学与生活的密切关系,从而尝试“用数学的眼光观察世界”,达到学数学用数学的境界.例2A城有肥料200t,B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t;从B城往C,D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240t,D乡需要肥料260t,怎样调运可使总运费最少?教师活动:引导学生进行讨论、分析和思考.从影响总运费的变量有哪些入手,进而寻找变量个数及变量间的关系,探究出总运费与变量间的函数关系,从而利用函数知识解决问题.学生活动:在教师指导下,经历思考、讨论、分析,找出影响总运费的变量,并认清它们之间的关系,确定函数关系,最终解决实际问题.活动过程及结论:通过分析思考,可以发现:A—C,A—D,B—C,B—D运肥料共涉及4个变量,它们都是影响总运费的变量,然而它们之间又有一定的必然联系,只要确定其中一个量,其余三个量也就随之确定.这样我们就可以设其中一个变量为x,把其他变量用含x的代数式表示出来:设从A城运往C乡xt肥料,则所需运输费用为20x元.因为A城有肥料200t,所以从A城运往D乡(200-x)t肥料,则所需运输费用为25(200-x)元.因为C乡需要肥料240t,所以从B城运往C乡(240-x)t肥料,则所需运输费用为15(240-x)元.因为D乡需要肥料260t,所以从B城运往D乡(260-200+x)t肥料,则所需运输费用为24(60+x)元.设总运费为y元,则y=20x+25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+10040(0≤x≤200).函数图象如图所示.由解析式或图象都可看出,当x=0时,y值最小,为10040.因此,从A城运往C乡0t肥料,运往D乡200t肥料;从B城运往C乡240t肥料,运往D乡60t肥料,此时总运费最少,为10040元.设计意图:通过这一活动让学生逐步学会运用有关知识寻求出解决实际问题的方法,提高灵活运用能力.变式题若A城有肥料300t,B城有肥料200t,其他条件不变,又该怎样调运呢?解题方法与思路不变,只是过程有所不同:A→C:xt;A→D:(300-x)t;B→C:(240-x)t;B→D:(x-40)t.反映总运费y与x的函数关系式为y=20x+25(300-x)+15(240-x)+24(x-40)=4x+10140(40≤x≤240).由解析式可知,当x=40时,y值最小,为4×40+10140=10300(元).因此从A城运往C乡40t肥料,运往D乡260t肥料;从B城运往C乡200t肥料,运往D乡0t肥料,此时总运费最少,为10300元.如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤240的呢?因为A城中只有300t肥料,且从B城运往C乡的肥料为(240-x)t,运往D乡的肥料为(x-40)t,而x-40≥0,所以40≤x≤240.设计意图:对所学知识和题型进一步强化练习和巩固.课堂小结解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.这样就可以利用函数知识来解决了.在解决实际问题的过程中,要注意根据实际情况确定自变量的取值范围.就像教学活动4中的变式题一样,如果自变量的取值范围弄错了,很容易出现失误,得到错误的结论.设计意图:课堂小结是课堂的精华,也是学生对本节知识的总结,更是提升.培养学生的总结能力,以便更好地指导知识应用的提升.知能演练提升能力提升1.一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4min内只进水不出水,从第4min到第24min内既进水又出水,从第24min开始只出水不进水,容器内水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中a的值是()A.32 B.34 C.36 D.382.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),连接AB,将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A'处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,则直线BC对应的解析式为.

3.放假了,小明和小丽去蔬菜加工厂进行社会实践,两人同时工作了一段时间后,休息时小明对小丽说:“我已加工了28kg,你呢?”小丽思考了一会儿说:“我来考考你.图①②分别表示你和我的工作量与工作时间的关系,你能算出我加工了多少千克吗?”小明思考后回答:“你难不倒我,你现在加工了kg.”

图① 图②4.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC中的点A和点C分别落在x轴和y轴上,AO=4,CO=2,直线y=3x+1以2个单位长度每秒的速度向下平移,经过秒该直线可将矩形OABC的面积平分.

5.如图,直线l1:y=kx+b的图象与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点E,直线l2:y=-3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点D,且两直线交于点C(2,m).(1)求直线l1的解析式;(2)求△ACD的面积.★6.“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式.小丽从甲地匀速步行前往乙地,同时,小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地,两人之间的距离y(单位:m)与步行时间x(单位:min)之间的函数关系如图中折线段AB—BC—CD所示.(1)小丽与小明出发min相遇.

(2)在步行过程中,若小明先到达甲地.①求小丽和小明步行的速度各是多少?②计算出点C的坐标,并解释点C的实际意义.创新应用★7.问题情境:用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放,问第2018个图共有多少枚棋子?建立模型:有些规律问题可以借助函数思想来探究,具体步骤:第一步,确定变量;第二步,在直角坐标系中画出函数图象;第三步,根据函数图象猜想并求出函数解析式;第四步,把另外的某些点的坐标代入验证,若成立,则用这个解析式去求解.解决问题:根据以上步骤,请你解答“问题情境”.知能演练·提升能力提升1.C2.y=-12x+3234.3如图,连接AC,BO,交于点D.当直线y=3x+1平移后经过点D时,可将矩形OABC的面积平分.∵AC,BO是矩形OABC的对角线,∴OD=BD.由题意得点O(0,0),B(4,2),∴D(2,1).根据题意设平移后直线的解析式为y=3x+b.∵点D(2,1),∴1=3×2+b,解得b=-5,∴平移后的直线的解析式为y=3x-5,∴直线y=3x+1要向下平移6个单位,∴时间为6÷2=3(秒).5.解(1)把点C(2,m)的坐标代入y=-3x+3,得m=-3×2+3=-3;把点A(4,0),C(2,-3)的坐标分别代入y=kx+b,得4k+b=0,2k+b=-3(2)对于y=-3x+3,令y=0,则x=1,∴B(1,0);令x=0,则y=3,∴D(0,3).∴AB=4-1=3,则S△ACD=S△ABD+S△ABC=12×3×3+12×3×3=6.解(1)30由题中图象可得小丽与小明出发30min相遇.(2)①设小丽步行的速度为v1m/min,小明步行的速度为v2m/min,且v2>v1,则30v1因此,小丽步行的速度为80m/min,小明步行的速度为100m/min.②(方法一)设点C的坐标为(x,y),则可得方程(100+80)(x-30)+80(67.5-x)=5400,解得x=54,y=(100+80)×(54-30)=4320.(方法二)5400÷100=54,54×80=4320.故点C(54,4320).点C表示:两人出发54min时,小明到达甲地,此时两人相距4320m.创新应用7.解以图形的序号为横坐标,棋子的枚数为