南通高考真题数学试卷

南通高考真题数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=log₃(x+1)的定义域是（）

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-∞,+∞)

D.(-1,-∞)

2.若集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={2},则实数a的值为（）

A.1/2

B.1/4

C.1/3

D.1/5

3.下列函数中，在区间(0,1)上单调递减的是（）

A.y=2³ˣ

B.y=log₂x

C.y=sinπx

D.y=cos(π/2-x)

4.已知点P(a,b)在直线x+2y-3=0上，且a,b均为正整数，则点P的坐标为（）

A.(1,1)

B.(2,1)

C.(1,2)

D.(2,2)

5.若复数z=1+i满足z²+az+b=0(a,b∈R),则b的值为（）

A.2

B.-2

C.1

D.-1

6.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生，则不同的选法共有（）种

A.24

B.32

C.48

D.64

7.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,d=-2,则该数列的前n项和Sₙ的最大值为（）

A.10

B.15

C.20

D.25

8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,b=4,c=5,则cosB的值为（）

A.3/4

B.4/5

C.5/3

D.4/3

9.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为（）

A.3

B.-3

C.2

D.-2

10.在直角坐标系中，曲线y=x²与直线y=kx+1相交于两点，则实数k的取值范围是（）

A.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-2,2)

C.(-∞,-2)∪(0,2)

D.(0,2)

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|,则下列说法正确的有（）

A.f(x)在x=-2处取得最小值

B.f(x)在x=1处取得最小值

C.f(x)是偶函数

D.f(x)在(-∞,-2)上单调递减

2.在等比数列{aₙ}中，a₂=6,a₅=162,则下列结论正确的有（）

A.该数列的公比q=3

B.a₁=2

C.S₄=124

D.aₙ=2×3^(n-1)

3.已知函数f(x)=x²-mx+2在区间(1,+∞)上单调递增，且f(x)在x=2处取得极小值，则下列结论正确的有（）

A.m=4

B.f(1)>0

C.f(x)在(-∞,2)上单调递减

D.△=m²-8>0

4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a²=b²+c²-bc,则下列结论正确的有（）

A.cosA=1/2

B.△ABC是直角三角形

C.sinB=√3/2

D.tanC=√3

5.已知直线l₁:ax+3y-5=0与直线l₂:2x+(a+1)y-4=0，则下列说法正确的有（）

A.当a=1时，l₁与l₂平行

B.当a=-3时，l₁与l₂垂直

C.l₁与l₂不可能相交

D.当a=2时，l₁与l₂重合

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(x)的最小正周期是______。

2.在等差数列{aₙ}中，a₅=10,a₁₀=19，则该数列的通项公式aₙ=______。

3.若复数z=2-3i的模为|z|，则|z|²=______。

4.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生，则不同的选法共有______种。

5.在直角坐标系中，曲线y=x²与直线y=kx+1相交于两点，则实数k的取值范围是______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。

2.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足a=3,b=4,c=5，求cosB的值。

3.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2,d=3，求该数列的前n项和Sₙ的表达式，并求S₁₀的值。

4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)的极值点，并判断每个极值点是极大值还是极小值。

5.在直角坐标系中，曲线y=x²与直线y=kx+1相交于两点，求k的取值范围，使得这两个交点的横坐标之积为正数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.A

解析：函数f(x)=log₃(x+1)中，x+1>0，即x>-1，所以定义域为(-1,+∞)。

2.A

解析：集合A={x|x²-3x+2=0}={1,2}，A∩B={2}，所以x=2属于B，即2a=1，解得a=1/2。

3.B

解析：y=log₂x是底数大于1的对数函数，在(0,+∞)上单调递增；y=2³ˣ是指数函数，在R上单调递增；y=sinπx是周期函数，在(0,1)上不单调；y=cos(π/2-x)=sinx，在(0,1)上单调递增。故选B。

4.C

解析：由x+2y-3=0得y=(3-x)/2，因为a,b均为正整数，所以x=1时，y=1，即点P(1,1)。

5.D

解析：z²=(1+i)²=1+2i-1=2i，代入z²+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，所以a+b=0且a+2=0，解得a=-2,b=2。但题目要求a,b∈R，所以无解。这里题目可能存在错误，若改为复数方程z²+az+b=0(a,b∈R)有复数解z=1+i，则(1+i)²+a(1+i)+b=0，即2i+a+ai+b=0，(a+b)+(a+2)i=0，所以a+b=0,a+2=0，得a=-2,b=2。故b=2。但题目选项中无2，可能题目有误或选项有误。若按原题意，设z=1+i，则(1+i)²+a(1+i)+b=0，即2i+a+ai+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，得a+b=0,a+2=0，解得a=-2,b=2。故b=2。选项无2，题目可能有误。

6.B

解析：至少有1名女生的选法=总选法-全是男生的选法=C(10,3)-C(6,3)=120-20=100种。另一种方法是分类：1女2男：C(4,1)C(6,2)=4×15=60种；2女1男：C(4,2)C(6,1)=6×6=36种。总计60+36=96种。与选项32不符。题目可能有误。

7.A

解析：Sₙ=na₁+n(n-1)d/2=n(5)+n(n-1)(-2)/2=-n²+7n。这是开口向下的抛物线，其顶点为n=-b/2a=-7/(2×-1)=3.5。因为n必须是正整数，所以比较n=3和n=4时的Sₙ：S₃=-3²+7×3=-9+21=12；S₄=-4²+7×4=-16+28=12。所以最大值为12。选项A的10小于12，题目可能有误。

8.B

解析：由余弦定理cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(3²+5²-4²)/(2×3×5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。选项中无3/5，可能题目计算错误或选项错误。若按题目a=3,b=4,c=5，则3²+4²=5²，所以△ABC是直角三角形，B是直角，cosB=cos90°=0。但题目计算公式为a²=b²+c²-bc，这与勾股定理a²=b²+c²不符，且3²≠4²+5²-4×5=16+25-20=21。题目条件矛盾或错误。若按余弦定理计算，cosB=(3²+5²-4²)/(2×3×5)=18/30=3/5。选项中无3/5，题目可能有误。

9.A

解析：f'(x)=3x²-a。在x=1处取得极值，所以f'(1)=3(1)²-a=3-a=0，解得a=3。

10.D

解析：联立方程组x²=kx+1，即x²-kx-1=0。要有两个不同的交点，则判别式△=k²+4>0恒成立，所以k∈R。但题目要求两个交点的横坐标之积为正数，即x₁x₂=-1>0，这与△>0的条件不冲突。题目可能有误。若理解为求直线y=kx+1与抛物线y=x²相切或相交于两点，且两交点横坐标之积为正，则k=2。

二、多项选择题答案及解析

1.AB

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+3,x<-2;-x+1,-2≤x≤1;x-1,x>1}。分段函数在x=-2处取得左极限f(-2⁻)=1，右极限f(-2⁺)=-(-2)+1=3，不相等，不可导。在x=-2处函数值f(-2)=1。在x=1处取得左极限f(1⁻)=-1+1=0，右极限f(1⁺)=1-1=0，相等，且可导。在x=1处函数值f(1)=0。所以最小值是0，在x=1处取得。故B正确。f(-x)=|-x-1|+|-x+2|=|x+1|+|x-2|=f(x)，所以f(x)是偶函数。故C错误。在(-∞,-2)上，f(x)=x+3，是单调递增函数。故D错误。

2.ABCD

解析：由a₅=a₁q⁴=162，a₂=a₁q=6，联立得a₁q⁴/a₁q=162/6，即q³=27，解得q=3。所以a₁=a₂/q=6/3=2。所以通项公式aₙ=a₁qⁿ⁻¹=2×3^(n-1)。故D正确。S₄=a₁(1-q⁴)/(1-q)=2(1-3⁴)/(1-3)=2(1-81)/(-2)=2(-80)/(-2)=80。故C正确。aₙ=2×3^(n-1)。故D正确。a₁=2。故B正确。q=3。故A正确。

3.ABCD

解析：f(x)=x²-mx+2。f'(x)=2x-m。因为f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f'(x)≥0对所有x∈(1,+∞)成立，即2x-m≥0对x∈(1,+∞)成立，即m≤2x对x∈(1,+∞)成立，所以m≤2(1)=2。又因为f(x)在x=2处取得极小值，所以f'(2)=0，即2(2)-m=0，解得m=4。所以m=4。此时f(x)=x²-4x+2，f'(x)=2x-4。f'(x)=0得x=2。当x∈(-∞,2)时，f'(x)=2x-4<0，f(x)单调递减。故C正确。f(1)=1²-4(1)+2=1-4+2=-1。题目说f(1)>0，这是错误的。应为f(1)<0。但按题目要求，我们计算f(1)=-1。△=m²-4ac=4²-4(1)(2)=16-8=8>0，故D正确。因为m=4，所以m=4。故A正确。

4.BD

解析：a²=b²+c²-bc。根据余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)。将a²=b²+c²-bc代入得cosA=(b²+c²-(b²+c²-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2。所以A=π/3。故A错误。因为A=π/3，所以△ABC是锐角三角形，B,C也为锐角。sinB=sin(π-A-C)=sin(2π/3-C)。由于sin(2π/3)=√3/2，sinB=√3/2cosC-1/2sinC。不能直接得到sinB=√3/2。故C错误。tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tan(π/3+B)=-[tan(π/3)+tanB]/[1-tan(π/3)tanB]=-[√3+tanB]/[1-√3tanB]。不能直接得到tanC=√3。故D错误。a²=b²+c²-bc=(b²+c²-a²)+2bc-2a²=2bc-2a²。整理得a²+bc=b²+c²。根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA。所以b²+c²-2bccosA+bc=b²+c²。即bc=2bccosA。因为bc≠0，所以cosA=1/2。故B正确。

5.AB

解析：联立y=x²,y=kx+1得x²=kx+1，即x²-kx-1=0。判别式△=k²+4>0，所以k∈R。设交点为(x₁,x₂)，则x₁+x₂=k,x₁x₂=-1。两交点横坐标之积为负数，即x₁x₂<0，所以-1<0，恒成立。题目要求两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂>0，这与-1>0矛盾。题目可能有误。若理解为求k的取值范围，使得直线y=kx+1与抛物线y=x²相切或相交于两点，且两交点横坐标之积为正数。相切时，△=0，k²+4=0，无实数解。相交时，△>0，k²+4>0，k∈R。但两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂=-1>0，矛盾。题目可能有误。

三、填空题答案及解析

1.π/2或90°

解析：f(x)=sin(2x+π/3)。周期T=2π/|ω|=2π/2=π。或者f(x+T)=sin[2(x+T)+π/3]=sin(2x+2T+π/3)=sin(2x+π/3)=f(x)，所以T是周期。最小正周期是π。

2.aₙ=-n+7

解析：a₅=a₁+4d=10。a₁₀=a₁+9d=19。两式相减得5d=9，解得d=9/5。代入a₅=a₁+4(9/5)=10，得a₁+36/5=10，a₁=10-36/5=50/5-36/5=14/5。通项公式aₙ=a₁+(n-1)d=14/5+(n-1)(9/5)=14/5+9n/5-9/5=(14+9n-9)/5=(9n+5)/5=9n/5+1=9(n/5)+1。写成标准形式aₙ=-n+7。

3.13

解析：|z|=√(2²+(-3)²)=√(4+9)=√13。|z|²=(√13)²=13。

4.96或24

解析：方法一：总选法C(10,3)=120。全是男生的选法C(6,3)=20。至少有1名女生的选法=120-20=100种。方法二：分类：1女2男：C(4,1)C(6,2)=4×15=60种。2女1男：C(4,2)C(6,1)=6×6=36种。总计60+36=96种。题目选项无96。若按题目原意，可能要求的是至少1名女生，共3人，则计算为：1女2男：C(4,1)C(6,2)=4×15=60种。2女1男：C(4,2)C(6,1)=6×6=36种。总计60+36=96种。若选项应为24，则可能是题目条件或选项错误。

5.k<-2或k>2

解析：联立x²=kx+1得x²-kx-1=0。两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂=-1>0。根据韦达定理，x₁x₂=-1。所以条件总是满足。题目可能要求两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂>0，这与-1>0矛盾。题目可能有误。若理解为求直线y=kx+1与抛物线y=x²相切或相交于两点，且两交点横坐标之积为正数。相切时，△=0，k²+4=0，无实数解。相交时，△>0，k²+4>0，k∈R。但两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂=-1>0，矛盾。题目可能有误。

四、计算题答案及解析

1.最大值5，最小值1

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|={x+3,x<-2;-x+1,-2≤x≤1;x-1,x>1}。在区间[-3,3]上，包含x=-2,x=1。分段函数在x=-2处取得左极限f(-2⁻)=1，右极限f(-2⁺)=-(-2)+1=3，不相等，不可导。在x=1处取得左极限f(1⁻)=-1+1=0，右极限f(1⁺)=1-1=0，相等，且可导。在x=-2处函数值f(-2)=1。在x=1处函数值f(1)=0。在(-∞,-2)上，f(x)=x+3，是单调递增函数。在(-2,1)上，f(x)=-x+1，是单调递减函数。在(1,+∞)上，f(x)=x-1，是单调递增函数。所以最小值在x=1处取得，为0。最大值在x=-2处取得，为3。

2.cosB=3/5

解析：由余弦定理cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)。代入a=3,b=4,c=5。cosB=(3²+5²-4²)/(2×3×5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。

3.Sₙ=-n²+7n,S₁₀=55

解析：a₁=2,d=3。通项公式aₙ=a₁+(n-1)d=2+3(n-1)=2+3n-3=3n-1。前n项和公式Sₙ=na₁+n(n-1)d/2=n(2)+n(n-1)(3)/2=2n+3n(n-1)/2=2n+3n²/2-3n/2=3n²/2-n/2=n(3n/2-1/2)=n(3n-1)/2。或者Sₙ=n/2(2a₁+(n-1)d)=n/2(4+3n-3)=n/2(3n+1)=n(3n+1)/2。两种形式等价。S₁₀=10(3(10)-1)/2=10(30-1)/2=10(29)/2=290/2=145。题目答案为55，计算错误。S₁₀=145。

4.极值点x=1，为极小值；x=-1/3，为极大值

解析：f(x)=x³-3x²+2x。f'(x)=3x²-6x+2=3(x²-2x)+2=3(x-1)²-1。令f'(x)=0，得3(x-1)²-1=0，即(x-1)²=1/3，x-1=±√(1/3)=±√3/3，解得x=1±√3/3=(3±√3)/3。所以极值点为x₁=(3+√3)/3，x₂=(3-√3)/3。f''(x)=6x-6=6(x-1)。当x=(3-√3)/3时，x<1，f''(x)=6((3-√3)/3-1)=6((3-√3-3)/3)=6(-√3/3)=-2√3<0，所以x=(3-√3)/3处取得极大值。当x=(3+√3)/3时，x>1，f''(x)=6((3+√3)/3-1)=6((3+√3-3)/3)=6(√3/3)=2√3>0，所以x=(3+√3)/3处取得极小值。题目答案x=1，为极小值；x=-1/3，为极大值。计算f'(-1/3)=3(-1/3-1)²-1=3(-4/3)²-1=3(16/9)-1=16/3-1=13/3≠0，所以x=-1/3不是极值点。题目答案错误。

5.k∈(-∞,-2)∪(2,+∞)

解析：联立x²=kx+1得x²-kx-1=0。设交点为(x₁,x₂)，则x₁+x₂=k,x₁x₂=-1。两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂>0。题目要求两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂>0，这与-1>0矛盾。题目可能有误。若理解为求直线y=kx+1与抛物线y=x²相切或相交于两点，且两交点横坐标之积为正数。相切时，△=0，k²+4=0，无实数解。相交时，△>0，k²+4>0，k∈R。但两交点横坐标之积为正数，即x₁x₂=-1>0，矛盾。题目可能有误。

本试卷涵盖的理论基础部分的知识点总结如下

该试卷主要考察了高中数学的基础知识，包括函数、数列、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等内容。具体知识点如下：

一、函数

1.函数的概念、定义域、值域

2.函数的单调性、奇偶性、周期性

3.函数的图像与性质

4.函数零点与方程根的关系

5.函数与方程、不等式的关系

二、数列

1.数列的概念、通项公式、前n项和

2.等差数列、等比数列的通项公式、前n项和

3.数列的递推关系

4.数列的应用

三、三角函数

1.任意角的概念、弧度制

2.三角函数的定义、图像与性质

3.三角恒等变换

4.解三角形

四、平面向量

1.向量的概念、几何表示、运算

2.向量的坐标运算

3.数量积及其应用

4.向量的应用

五、解析几何

1.直线方程、直线与直线的位置关系

2.圆的方程、圆与圆的位置关系

3.椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质

4.坐标系与参数方程

六、立体几何

1.空间几何体的结构特征

2.点、线、面之间的位置关系

3.空间角与距离的计算

七、概率统计

1.概率的基本概念与性质

2.随机事件与概率

3.随机变量及其分布

4.统计的基本思想与方法

各题型所考察学生的知识点详解及示例

一、选择题

1.考察函数的基本概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等知识点。例如，函数f(x)=log₃(x+1)的定义域是(-1,+∞)，因为对数函数的真数必须大于0。

2.考察集合的概念、运算、关系等知识点。例如，集合A={x|x²-3x+2=0}={1,2}，A∩B={2}，则实数a的值为1/2。

3.考察函数的单调性判断。例如，y=log₂x是底数大于1的对数函数，在(0,+∞)上单调递增。

4.考察直线与方程的关系。例如，直线ax+3y-5=0与直线2x+(a+1)y-4=0垂直，则a=-3。

5.考察数列的通项公式、前n项和等知识点。例如，等差数列{aₙ}中，a₁=5,d=-2，则该数列的前n项和Sₙ=-n²+7n。

二、多项选择题

1.考察分段函数的概念、图像与性质，函数的奇偶性判断。例如，f(x)=|x-1|+|x+2|是偶函数，在x=-2处取得最小值。

2.