《相交线与平行线》教案

一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”和“图形的变化”主题中的“相交线与平行线”“定义、命题、定理”和“图形的平移”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形,在用几何直观理解几何基本事实的基础上,从基本事实出发推导图形的几何性质和定理,理解和掌握用尺规作图作垂线与平行线的基本原理和方法;“图形的变化”是图形与几何领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位,本章的学习内容图形的平移是强调从运动变化的观点来研究图形.理解图形在平移时的变化规律和变化中的不变量.通过信息技术的演示或者实物的操作,让学生感悟图形平移变化的基本特征,知道变化的感知是需要参照物的,可以借助参照物说平移变化的基本特征,知道平移变化的基本特征.在本章,不仅要求学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质,还要求“说理”和“简单推理”,把它作为探究结论的自然延续.学生对这部分的学习将为后续“平面直角坐标系”“三角形”“空间与图形”等知识的学习奠定直接的基础.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级下册第五章“相交线与平行线”,本章包括四个小节:5.1相交线;5.2平行线及其判定;5.3平行线的性质;5.4平移.“图形的性质”主题通过相交线—垂线—三线八角—平行线概念及判定—平行线的性质展开.学生初步了解“空间与图形”的学习内容.平面内两条直线的位置关系是“图形与几何”所要研究的基本问题,这些内容学生在前两个学段已经有所接触,本章在学生已有知识和经验的基础上,继续研究平面内两条直线的位置关系,对于相交的情形,首先探究了两条直线相交所成的角的位置和大小关系,给出了邻补角和对顶角的概念,得出了“邻补角互补”“对顶角相等”的结论;垂直作为两条直线相交的特殊情形,与它有关的概念和结论是学习后面的“平面直角坐标系”的基础,本章对垂直的情形进行了专门的研究,探索得出了“在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”等结论,并给出点到直线的距离的概念,为学习平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础.接下来研究两条直线被第三条直线所截的情形,给出了同位角、内错角、同旁内角等概念,为学习平行奠定基础.对于平面内两条直线平行的位置关系,教材首先引入一个基本事实(平行公理),即过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质.学生已经接触了一些命题,如“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行”“对顶角相等”等,教材对命题、命题的构成、真假命题、定理等作了简单介绍,使学生初步接触有关形式逻辑概念术语.“图形的变化”主题通过平移展开.运用运动的眼光研究图形变化的规律,从点、线、面、角来观察图形在平移过程中的变量和不变量,本章的学习内容对后期学习平行四边形、特殊平行四边形、定理的证明以及几何综合问题等内容的学习起到铺垫的作用,图形的平移和旋转是图形变化的代表,是初中研究图形与几何领域的重要主题,图形变化的研究从特殊到一般再到特殊的脉络呈现,通过图形变化不仅可以将分散的几何图形进行集中整合,以达到解决实际问题的目的,还对学生今后研究问题、解决问题以及终身的发展非常有益,也是深入贯彻实施《标准2022》素养理念的渠道,促进学生思考、激发学生思维探究、教会学生学习方法、挖掘学生学习潜力、有效提高初中数学教学质量和学生学业质量.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级下册第五章相交线与平行线.学生在小学已经认识了平行线、相交线、角;在七年级上册中,已经对角及其分类有了一定的认识.这些知识的储备为本章的学习奠定了良好的基础,使学生具备了掌握本节知识的基本技能.学生对前段有关作图知识的学习和对几何的学习产生了浓厚的兴趣,但也有部分学生由于学习不当、听讲不认真,缺乏持之以恒的信心,对几何产生畏惧心理,老师应该因材施教.还课堂于学生,在开放的前提下,让学生经历动手画图(或操作)、合作交流的过程,给学生充分发表见解的舞台,激发学生的创新精神,提高学生的自信心,打造高效课堂.改变学生被动的学习方式,让学生积极主动投身于“做数学”中,将问题生动形象的呈现给学生,让学生经历思考、实践、猜想、动手验证等过程,不仅对知识理解,而且感受“做数学”的乐趣,享受成功的喜悦,形成探索新知的内驱力.四、单元学习目标1.结合具体情境,理解邻补角、对顶角的概念,探索并掌握对顶角相等、邻补角互补的性质;理解垂线、垂线段等概念.掌握“在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实,会用三角尺或量角器过一点作已知直线的垂线,理解垂线段最短的性质,理解点到直线距离的意义,并会度量点到直线的距离.2.通过观察、猜想、推理,理解平行线的概念,了解平行公理及其推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;识别同位角、内错角、同旁内角;探索并掌握平行线的性质和判定方法,会度量两条平行线之间的距离.3.了解命题的概念,能初步区分命题的题设和结论;理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句;能结合一些具体内容进行说理和简单推理,初步养成言之有据的习惯,提升推理能力.4.通过具体事例认识平移,理解对应点连线平行且相等的性质,能按照要求作出简单平面图形平移后的图形,能利用平移进行简单的图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用,培养应用意识.五、单元学习内容及学习方法概览相交线与平行线课时划分内容本质与研究方法5.1相交线5.1.1相交线借助日常生活情境,感受相交线的存在,经历合作探究,观察、发现、归纳、概括邻补角、对顶角的概念,通过分析已知求证,利用平角的概念和等式的性质进行推导,得出邻补角、对顶角的性质5.1.2垂线从相交线的认识入手,让学生在几何试验中感受垂直,再通过概念理解垂直,通过作图理解垂线的唯一性,进一步探索垂直的性质5.1.3同位角、内错角、同旁内角通过观察、启发、讨论、探究,了解并会辨认同位角、内错角、同旁内角5.2平行线及其判定5.2.1平行线结合日常生活情境,使学生感知平面上两条直线的平行关系,认识平行线.通过自主探究和合作交流学会作平行线,归纳平行公理5.2.2平行线的判定借助平行线的画法,观察、思考、归纳平行线的判定方法续表相交线与平行线课时划分内容本质与研究方法5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质通过复习平行线的判定，引导学生利用对比思想，探索验证平行线的性质5.3.2命题、定理、证明第1课时命题通过探究、思考、交流，引出命题的概念、命题的组成及真假命题的概念第2课时定理、证明通过探究、交流、理解和掌握定理和证明的概念，通过例题讲解，了解证明的基本步骤和书写格式5.4平移通过实例,观察、归纳平移的概念,经历作图操作、观察分析、探索得出平移的性质综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是()2.如图所示,经过平移,三角形ABC的顶点A,B,C分别移到点D,E,F,得到三角形DEF,则下列说法中错误的是()A.∠ACB=∠DFEB.AD∥BEC.AB=DED.平移距离为线段BD的长3.下列各数中,可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()A.32 B.16 C.8 D.44.如图所示,在四边形ABCD中,若AD∥BC,连接AC,则下列说法中正确的是()A.∠1=∠4 B.∠2=∠3C.∠1+∠2=∠3+∠4 D.∠B=∠D5.(2024·内蒙古中考)如图所示,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度数为()A.75° B.105° C.115° D.130°6.如图所示,下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°7.如图所示,某人骑自行车从A处向正东方向前进,行至B处后,行驶方向改变,行驶到C处后,再次改变行驶方向,向正东方向(射线CD)继续行驶,则∠BCD的度数是()A.15° B.30° C.135° D.165°8.如图所示,l1∥l2,点O在直线l2上,将三角尺的直角顶点放在点O处,三角尺的两条直角边与l1相交于A,B两点.若∠1=46°,则∠2的度数为()A.34° B.44° C.46° D.54°9.下列条件:①∠C=∠BFD,②∠AEC=∠C,③∠BEC+∠C=180°,其中能判断AB∥CD的是()A.①②③ B.①③C.②③ D.①10.(2024·山东潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成的锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成的锐角β=45°,则EF与FG所成的锐角的度数为()A.60° B.55° C.50° D.45°二、填空题11.如图所示,立定跳远比赛时,小明从点A处起跳,落在沙坑内的点B处.跳远成绩是2.3m,则起跳点A到落脚点B的距离2.3m(填“大于”“小于”或“等于”).

12.将命题“两个面积相等的三角形的周长相等”改写成“如果……那么……”的形式:.

13.斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.某数学兴趣小组为了验证斑马线是由若干条平行线组成的,在保证安全的前提下,按照如图所示的方式分别测出∠1=∠2=83°,这种验证方法依据的基本事实是.

14.光线从水中射向空气时,发生折射.由于折射率相同,在水中平行的光线,折射后的光线在空气中也是平行的.如图所示,从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射,水面与玻璃杯的底面平行.若∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4=.

15.如图所示,AB∥CD,EF⊥DB,垂足为点E,∠1=50°,则∠2的度数是.

16.(2024·山东东营中考)如图所示,将三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,若三角形DEF的周长为24cm,则四边形ABFD的周长为cm.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并判断它们是正确的还是错误的;若是错误的,请举出反例.(1)绝对值相等的两个数一定相等;(2)等角的余角相等.18.如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠BOE∶∠BOD=5∶2,若∠AOC=32°,求∠AOE的度数.19.读下列语句,并画出图形.点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行.直线EF经过点P且与直线AB垂直.20.如图所示,直线a,b被直线c所截.(1)请利用∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6这6个角(不能出现其他角),写出能够证明a∥b的条件;(最少写3个)(2)若∠1=∠5,求证a∥b.21.如图所示,AB∥CD,AE,CD相交于点F,点G在AB上,GH⊥BF,垂足为点H,∠1=∠2,试说明AE⊥BF.请将下面的解答过程补充完整(在“”上填数字或式子,在“()”里填理由).

解:∵AB∥CD(已知),∴∠1=().

∵∠1=∠2(已知),∴=(等量代换).

∴∥().

∵GH⊥BF,即∠GHB=90°,∴∠AFB=∠GHB=90°().

∴.

22.台球运动蕴含数学知识:如图①所示,台球桌面是一个长方形,两组对边分别平行.过台球与桌边碰撞的点作桌壁的垂线,该垂线平分台球碰撞前后运动所形成的夹角.(1)如图②所示,已知长方形桌面PQRS中,PQ∥RS,一个球从桌面上的点A处滚向桌边PQ,碰到PQ上的点B后反弹,再碰到桌边RS上的点C后,再次反弹进入底袋点Q.在球碰到桌边反弹的过程中,AB,BC,CD都是直线,且∠1=∠2,∠3=∠4,BN⊥PQ,CM⊥RS.求证:AB∥CD.(2)如图③所示,若球在桌面的点A处,经过两次反弹后碰到桌边PQ上的点D处.已知长方形桌面PQRS中,PQ∥RS,∠R=90°.通过观察猜想AB与CD的位置关系,并说明理由.答案：1.D2.D3.D解析:A选项中,32是偶数,且是8的4倍;B选项中,16是偶数,且是8的2倍;C选项中,8是偶数,且是8的1倍;D选项中,4是偶数,是8的12,不是8的倍数.故选D4.A解析:∵AD∥BC,∴∠1=∠4.故A选项正确,符合题意;无法得到B,C,D三个选项中的结论,故B,C,D选项错误,不符合题意.故选A.5.B解析:∵∠1=∠2=130°,∴l1∥l2.∴∠5+∠4=180°.∵∠5=∠3=75°,∴∠4=180°-75°=105°.故选B.6.B解析:A选项中,∵∠1=∠3,∴l1∥l2,故A选项不符合题意;B选项中,当∠2=∠3时,无法判断l1∥l2,故B选项符合题意;C选项中,∵∠4=∠5,∴l1∥l2,故C选项不符合题意;D选项中,∵∠2+∠4=180°,∴l1∥l2,故D选项不符合题意.故选B.7.D解析:如图所示,继续行驶的路线按射线CD方向.根据题意得,AB∥CD,∠CBE=15°,故∠BCD=180°-∠CBE=180°-15°=165°.故选D.8.B解析:∵l1∥l2,∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°.∵∠1=46°,∠BOA=90°,∴∠OBA=44°.∴∠2=∠OBA=44°.故选B.9.C解析:①由∠C=∠BFD,根据“同位角相等,两直线平行”能判断BF∥CE;②由∠AEC=∠C,根据“内错角相等,两直线平行”能判断AB∥CD;③由∠BEC+∠C=180°,根据“同旁内角互补,两直线平行”能判断AB∥CD.故选C.10.A解析:过点E作EH∥AB.∵AB∥FG,∴AB∥EH∥FG.∴∠BEH=α=15°,∠FEH+∠EFG=180°.∵β=45°,∴∠FEH=180°-45°-15°=120°.∴∠EFG=180°-∠FEH=180°-120°=60°.即EF与FG所成的锐角的度数为60°.故选A.11.大于解析:由题意可知,BC=2.3m,由垂线段最短可知,AB>BC.故答案为:大于.12.如果两个三角形的面积相等,那么它们的周长相等13.同位角相等,两直线平行14.105°解析:由光线平行,知∠3=∠1=45°.由水面和玻璃杯的底部平行,知∠2+∠4=180°.故∠4=180°-∠2=180°-120°=60°.故∠3+∠4=45°+60°=105°.故答案为105°.15.40°解析:在直角三角形EFD中,∠D=180°-∠DEF-∠1=180°-90°-50°=40°.∵AB∥CD,∴∠2=∠D=40°.故答案为40°.16.30解析:将三角形DEF沿FE方向平移3cm至三角形ABC,知AD=BE=3(cm),DE=AB.因为三角形DEF的周长为24cm,所以