《实际问题与二元一次方程组》教案

第1课时和差倍分与配套问题课时目标1.能够根据具体的数量关系列出二元一次方程组,并解决简单的实际问题.2.会利用二元一次方程组解决和、差、倍、分等问题.3.经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程,体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型.学习重点探究用二元一次方程组解决实际问题的过程.学习难点发现问题中隐含的未知数,寻找等量关系并列出方程组,由方程组的解解释实际问题.课时活动设计情境引入今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.牛、羊各直金几何?题目大意:5头牛、2只羊共价值10两;2头牛、5只羊共价值8两.问每头牛、每只羊各价值多少.你能算出每头牛、每只羊各价值多少吗?设计意图:通过生活例子,引导学生列出二元一次方程组,一方面让学生体会数学来源于生活,另一方面为后续的学习打下基础.知识回顾问题1:解二元一次方程组的方法有哪些?问题2:列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么?建议:让学生回顾前面所学方程的相关知识,小组内进行交流体会,教师给予必要的提示.设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.探究新知养牛场原有30头大牛和15头小牛,1天约用饲料675kg;一周后又购进12头大牛和5头小牛,这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18~20kg,每头小牛1天约需饲料7~8kg.你能通过计算检验他的估计吗?问题1:题目中有哪些未知量?引导学生关注有2个未知量,即每头大牛1天需用的饲料和每头小牛1天需用的饲料.问题2:题目中有哪些等量关系?引导学生关注有2个等量关系,即30头大牛1天用的饲料+15头小牛1天用的饲料=675kg,42(30+12)头大牛1天用的饲料+20(15+5)头小牛1天用的饲料=940kg.问题3:如何根据等量关系列方程组?引导学生关注有2个等量关系.设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料xkg和ykg,根据题意,得30问题4:列一元一次方程能解决这个问题吗?引导学生体会当未知数的个数有2个时,列二元一次方程组比列一元一次方程解决问题更简单.若设每头大牛1天需要xkg饲料,则每头小牛1天需要675-30由题意,得42x+20×675-30问题5:如何解这个方程组呢?让学生交流、讨论,教师引导学生对比,发现先化简再解更简捷.方法一:直接消元.解:①×4,得120x+60y=2700.③②×3,得126x+60y=2820.④④-③,得6x=120,解得x=20.把x=20代入①,得30×20+15y=675,解得y=5.所以这个方程组的解是x方法二:先化简再消元.解:方程组可化简为2由①,得y=45-2x.③把③代入②,得21x+10(45-2x)=470,解得x=20.把x=20代入③,得y=5.所以这个方程组的解是x问题6:饲养员李大叔估计的准确吗?引导学生对比计算结果和李大叔的估计,得到结论.答案:饲养员李大叔对大牛的食量估计准确,对小牛的食量估计偏高.设计意图:1.引导学生发现未知数和等量关系,运用二元一次方程组解决,用方程组的解去分析、解释实际问题.2.让学生经历分析数量关系,得到等量关系,列方程组的过程,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.归纳总结组织学生小组讨论,然后组内选取代表回答,教师汇总并补充.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:1.审题:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系;2.设元:用字母表示题目中的未知数;3.列方程组:根据题中的等量关系列出方程组;4.解方程组:解方程组,求出未知数的值;5.检验:检验所求的解是否符合实际意义;6.作答.设计意图:引导学生总结运用方程组建立数学模型,解决实际问题的步骤,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.

典例精讲例1在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克.若所购B型粽子的质量比A型粽子的质量的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元,求该商店订购了两种型号的粽子各多少千克.解:设该商店订购了A型粽子x千克,B型粽子y千克,根据题意,得y=2x答:该商店订购了A型粽子40千克,B型粽子60千克.例2一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,用1m3钢材可做20个A部件或15个B部件.发现用90m3钢材制作的部件配比成套后剩余B部件45个,问:恰好配成这种仪器多少套?解:设用xm3钢材做A部件,ym3钢材做B部件,由题意,得x+y则共做A部件29×20=580(个),B部件61×15=915(个).一套仪器由2个A部件和3个B部件构成,故恰好配成这种仪器580÷2=290(套).答:恰好配成这种仪器290套.例3某厂有甲、乙两个车间,若从乙车间调12人到甲车间,则甲车间人数是乙车间人数的3倍;若从甲车间调10人到乙车间,则甲车间比乙车间少4人.甲、乙车间原来各有工人多少名?解:设甲车间原来有x名工人,乙车间原来有y名工人,由题意,得x+12=3(答:甲、乙两车间原来各有48名和32名工人.设计意图:经历由实际问题抽象二元一次方程组的全过程,感悟列方程组解应用题的关键是要读懂题目意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.进一步巩固用列二元一次方程组解应用题的思想,并掌握用列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.巩固训练1.甲、乙两数的和为42,甲数的3倍等于乙数的4倍,求甲、乙两数,设甲数为x,乙数为y,则下列方程组正确的是(B)A.x+y=42,4x=3y2.用4700张纸装订成两种挂历共500本,其中甲种每本7张纸,乙种每本13张纸.若甲种挂历有x本,乙种挂历有y本,则下面所列方程组正确的是(B)A.x+y=500,13C.x+y=500,3.某工厂有60名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天可生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套?解:设生产螺栓的人数是x人,生产螺母的人数是y人.由题意,得x+y答:应分配25人生产螺栓,35人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.4.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅,经过测试:同时开放1个大餐厅和2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅和1个小餐厅,可供2280名学生就餐.(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐?(2)若7个餐厅同时开放,请你估计一下能否供应全校的5300名学生就餐?请说明理由.解:(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名、y名学生就餐.由题意,得x+2y答:1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名、360名学生就餐.(2)若7个餐厅同时开放,则5×960+2×360=5520(名),因为5520>5300,所以若7个餐厅同时开放,可以供应全校5300名学生就餐.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:(1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)解方程组;(5)检验;(6)作答.

2.找等量关系的常见方法:(1)各部分数量之和=全部数量;(2)明显的关键词有比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几等,隐含的关键词有总面积、总数量、总钱数等.

设计意图:通过小结,引导学生思考、交流,梳理所学知识,建立起符合自身认知特点的知识结构.训练学生的口头表达能力,让学生养成及时归纳总结的良好学习习惯.第1课时和差倍分与配套问题1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤:(1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)解方程组;(5)检验;(6)作答.2.找等量关系的常见方法:(1)基本数量关系:各部分数量之和=全部数量;(2)方法:明显的关键词,如比、是、等于、多、少、倍、共、和、几分之几等;隐含的关键词,如总面积,总数量,总钱数等.3.例题讲解.

第2课时几何图形与图文信息问题课时目标使学生继续经历如何列二元一次方程组解决实际问题的探究过程,熟练掌握列二元一次方程组解实际问题的方法和一般步骤,体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高学生运用方程组模型分析、解决几何图形和图表信息问题的能力.学习重点正确理解、观察、分析几何图形和图表信息问题,找出等量关系,列二元一次方程组.学习难点转化问题,寻找几何图形和图表信息问题中的等量关系,尤其是暗含的等量关系列方程组.课时活动设计情境引入你能根据这对父子的对话内容,分别求出这两块农田今年的产量吗?设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.知识回顾列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?1.审题:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量关系.2.设元:用字母表示题目中的未知数.3.列方程组:根据题中的等量关系列出方程组.4.解方程组:解方程组,求出未知数的值.5.检验:检验所求的解是否符合实际意义.6.作答.设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.探究新知探究1:据统计资料,甲、乙两种作物的单位面积产量的比是12.现要把一块长200m、宽100m的长方形土地,分为两块小长方形土地,分别种植这两种作物.怎样划分这块土地,使甲、乙两种作物的总产量的比是34?问题1:此题研究的是长方形面积的分割问题,你能画出示意图帮助自己理解吗?问题2:长度涉及的数量关系.解:AE+BE=200m,即x+y=200.问题3:产量比与种植面积的比有什么关系?解:S甲2S乙=甲作物的总产量乙作物的总产量,即100x(2×100y)=34.问题4:你能根据数量关系列出方程组,并解决这个问题吗?解:如图,一种种植方案为:甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.此时设AE=xm,BE=ym,由题意,可列方程组x解这个方程组,得x答:过长方形土地的长边上离一端120m处,作这条边的垂线,把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块地种甲种作物,较小的一块地种乙种作物.问题5:你还能设计其他种植方案吗?解:数量关系为AE+DE=100m,即x+y=100.S甲2S乙=甲作物的总产量乙作物的总产量,即200x(2×200y)=34.(答案不唯一,合理即可)探究2:七年级(3)班43名同学共捐款530元,捐款情况如下表.可是表中有两栏不小心被墨渍污染了,你能求出这两栏中的数据吗?捐款/元5101520人数69问题1:题目要求我们解决什么问题?解:求捐款10元的人数和捐款15元的人数.问题2:题目中有哪些已知量?解:捐款5元的人数、捐款20元的人数、捐款的总人数和总金额.问题3:题目中的等量关系有哪些?解:总人数=各项人数之和,总金额=各捐款数之和.问题4:你能根据数量关系列出方程组,并解决这个问题吗?解:设捐款10元的人数为x名,捐款15元的人数为y名.由题意,可列方程组x化简,得x解这个方程组,得x答:捐款10元的人数为20名,捐款15元的人数为8名.设计意图:1.引导学生发现未知数和等量关系,运用二元一次方程组解决实际问题.2.让学生经历分析数量关系,得到等量关系,列方程组的过程,培养了学生列方程组解决实际问题的意识和应用能力.

归纳总结1.熟悉的平面图形有线段、角、三角形、平行四边形、长方形、正方形、圆等,平面图形的元素有边、角以及边与边之间的、角与角之间的数量关系,与之相联系的有面积和周长,列二元一次方程组的关键是寻找等量关系;2.解决图表信息问题:要注意阅读和观察图表中的数学信息,解决问题时一定要将图表信息和前面给出的条件结合起来,尤其要重视图表中暗含的等量关系.设计意图:对本课时内容进行回顾和梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.典例精讲例1如图1,将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形,剩余部分的面积为21cm2,并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示的形状,即宽为3cm的长方形,请你求出大正方形和小正方形的边长.解:依题意,得x-y答:大正方形的边长为5cm,小正方形的边长为2cm.例2餐馆里把塑料凳整齐的叠放在一起(如图),根据图中的信息计算有20张同样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是多少厘米?解:设塑料凳凳面的厚度为xcm,腿高ycm.根据题意,得3x+20+3×20=80(cm).答:20张同样的塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是80cm.设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养巩固训练、积极思考的习惯.巩固训练1.一个长方形的周长为36cm,若长减少4cm,宽增加2cm,长方形就变成正方形,求正方形的边长.解:设长方形的长为xcm,宽为ycm.由题意,得x+y=12×36答:正方形的边长为8cm.2.在长为10m,宽为8m的长方形空地中,沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃,其示意图如图所示,则小长方形花圃的长和宽分别是多少?解:设小长方形花圃的长为xm,宽为ym.根据题意,得2x+答:小长方形花圃的长为4m,宽为2m.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结(1)用二元一次方程组解决实际问题的步骤是怎样的?(2)如何快速准确地寻找题目中的等量关系?设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.

第2课时几何图形与图文信息问题列方程组解应用题的一般步骤:审题；设元；列方程组；解方程组；检验；作答.例题讲解.第3课时销售问题与行程问题课时目标1.在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中,进一步提高分析问题中的等量关系、设未知数、列方程组、解方程组的能力.2.学会设间接未知数迂回解决问题.3.通过探究实际问题,使学生进一步感受方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性,体会数学的应用价值,提高分析问题,解决问题的能力.进一步发展模型观念的核心素养.学习重点分析问题,寻找等量关系,列方程组并解二元一次方程组来解决实际问题.学习难点列表格分析题目中的数量关系.课时活动设计情境引入新年来临,爸爸想送小明一个书包和一台学习机作为新年礼物,爸爸对小明说:“学习机和书包的单价之和是930元,且学习机的单价比书包单价的10倍还多50元,你能说出学习机和书包的单价各是多少元,我就把它们买给你做新年礼物.”你能帮助小明吗?设计意图:通过现实生活背景,提出问题,为引出新课的学习埋下伏笔.知识回顾列二元一次方程组解应用题的一般步骤是什么?设计意图:复习回顾旧知识,为学新知识作铺垫.探究新知如图,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?问题1:如何设未知数?解:销售款与产品数量有关,原料费与原料数量有关,而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有,所以设制成xt产品,购买yt原料.问题2:此题涉及的量较多,这种情况下常用列表的方式来处理,这样比较直观、简洁.此题涉及哪两类量呢?解:一类是公路运费和铁路运费;另一类是产品数量和原料数量.问题3:如何确定题中的数量关系?解:设制成xt产品,购买yt原料.根据题中数量关系填写下表.产品xt原料yt合计公路运费/元1.5×20x1.5×10y1.5×(20x+10y)铁路运费/元1.2×110x1.2×120y1.2×(110x+120y)价值/元8000x1000y问题4:通过上面的表格你发现等量关系了吗?请你列方程组并求解.解:由题意得1先化简,得2x+销售款-原料费-运输费=8000×300-1000×400-(15000+97200)=1887800(元).因此,这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.设计意图:通过讨论让学生认识到合理设定未知数的意义.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法.培养学生有条理地思考、分析和表达的习惯,让学生认识到检验的重要性,并学会规范作答.归纳总结(1)在什么情况下考虑选择设间接未知数?(2)如何更好地分析这种数量关系比较复杂的实际问题?设计意图:对本课时新学的内容进行梳理,培养学生的口头表述与归纳总结的能力.典例精讲例李师傅从杭州驾车到椒江办事,汽车在高速路段平均油耗为0.06L/km,在非高速路段平均油耗为0.075L/km,从杭州到椒江的总油耗为16.5L,总路程为270km.(1)求此次杭州到椒江高速路段的路程;(2)若汽油价格为8元/L,高速路段过路费为0.45元/km,求此次杭州到椒江的单程交通费用(交通费用=油费+过路费).解:(1)设此次杭州到椒江高速路段的路程为xkm,非高速路段的路程为ykm,由题意,得x+y答:此次杭州到椒江高速路段的路程为250km.(2)此次杭州到椒江的单程油费为8×16.5=132(元),此次杭州到椒江的单程过路费为0.45×250=112.5(元),∴此次杭州到椒江的单程交通费用为132+112.5=244.5(元).答:此次杭州到椒江的单程交通费用为244.5元.设计意图:通过例题讲解,及时练习巩固所学,培养巩固训练、积极思考的习惯.巩固训练1.某商店购进A,B两种商品共50件,已知这两种商品的进货单价与销售单价如下表所示,且将这两种商品销售完共可获利660元.设该商店购进A种商品x件,购进B种商品y件,则根据题意可列方程组为

x+y=50商品类别进货单价/元销售单价/元A3040B40552.某种电器产品,每件若以原定价的八折销售,则可获利120元;若以原定价的六折销售,则亏损20元,该种商品每件的进价为440元.

3.从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路,如果保持上坡路每小时走3km,平路每小时走4km,下坡路每小时走5km,那么从甲地到乙地需40min,从乙地到甲地需30min.甲地到乙地的全程是多少?解:设从甲地到乙地的上坡路有xkm,平路有ykm.根据题意,得x3+∴x+y=54+1=9答:甲地到乙地的全程是94km设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结通过这节课的学习,在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数,可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?设计意图:通过小结,使学生梳理本节所学内容,同学们互帮互助,解决困惑.充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.第3课时销售问题与行程问题列表分析数量关系.例题板演1例题板演2例题板演3例题讲解课后知能演练基础巩固1.一次社会实践活动中,某小组男生戴白色帽子,女生戴红色帽子,每个人可以看到除自己以外的每名同学的帽子.每名男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶,每名女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶,则这个小组一共有()A.13人 B.14人 C.15人 D.16人2.已知甲地到乙地的一条公路只有上坡路和下坡路,没有平路,一辆汽车上坡时速度为20km/h,下坡时速度为35km/h,这辆汽车沿这条公路从甲地开往乙地需9h,从乙地原路返回甲地需7.5h,则甲、乙两地间的这条公路长()A.300km B.210kmC.200km D.150km能力提升3.如图所示,某工厂与A,B两地由公路、铁路相连,这家工厂从A地购买一批原料运回工厂,制成新产品运到B地,公路运价为1.5元/(t·km),铁路运价为1元/(t·km).(1)若这两次运输共支出公路运费13200元,铁路运费49200元,则该工厂购买了多少吨原料?制成了多少吨新产品?(