《数系的扩充》参考教案1

1/43.1数系的扩充【教学目标】1．经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．2．理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．3．使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．【教学重点】复数的引入与复数的分类．【教学难点】复数概念的引入．【教学过程】一、问题情境：问题的提出：将数字10分成两部分，使他们的乘积等于40，求这两部分？（让学生展开讨论，提出解决问题的方案，并引导学生发现：由于负数不能开平方，从而该方程在实数范围内无解．）二、学生活动被誉为最后一位数学通才的彭加勒曾说：“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”．现在，还是先让我们沿着历史的足迹，重温数的发展历程即数系不断扩充的过程！（板书课题）（与学生一起回顾数学史，经历数的概念的发展和数系扩充的过程，感受数学的应用价值与文化价值，体会数学创造与发现的过程．）1．数系的扩充是生产实践与社会发展的需要．（1）计数的需要产生了自然数．（2）为了表示具有相反意义的量引入了负数，数集由自然数集扩充为整数集．（3）为了测量与分配的需要，引入了分数，数集由整数集扩充为有理数集．（4）第一次数学危机，使人们发现了无理数，数集由有理数集扩充为实数集．2．数系的扩充是数学内部发展的需求．从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的，不妨以解方程为例：问题1：在自然数集中方程有自然数解吗？问题2：在整数集中方程有自然数解吗？问题3：在整数集中方程有解吗？问题4：在有理数集中方程有解吗？点评：从自然数集、整数集、有理数集到实数集：（1）每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．三、意义建构1．数集进一步扩充的必要性问题5：方程有实数解吗？说明：面临方程无解，负数不能开平方的问题，表明数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充．2．实数集扩充的方法（1）引入新数数集每一次的扩充，都引入了一种新数，使得到的新的数集包含了扩充前的旧数集．因此，实数集再扩充，就要引入新数．（2）引入虚数=1\*GB3①历史回顾：1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”能作为“数”吗？它表示什么意义呢？=2\*GB3②1637年，法国数学家笛卡儿给这样的新数起名为虚数，即“虚的数”与“实数”相对应．（3）认识复数=1\*GB3①引入虚数后，数系又扩充为什么样的数集呢？=2\*GB3②1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i”,它满足：i，且称为虚数单位．四、数学理论1．引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：（1）i；（说明是方程的的一个根）（2）实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数的定义：形如i的数叫复数，用字母C表示，叫复数的实部，叫复数的虚部，全体复数所成的集合叫做复数集．3．认识复数集提出问题：复数集和实数集有什么关系？师生互动：对于复数i，当且仅当b=0时，是实数a；当b≠0时，叫做虚数；特别地，当a=0且b≠0时，叫做纯虚数．点评：（1）实数集是复数集的真子集，即RC．（2）引入虚数后，实数和虚数合称为复数，数系又由实数集扩充为复数集了．五、数学运用1．理解概念：（1）练习：说明下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：．（2）练习：判断下列命题是否正确：①若a，b为实数，则必为虚数（F）②若b为实数，则必为纯虚数（F）③若a为实数，则z=a一定不是复数（F）2．简单应用：例1．实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？反思1：是复数为纯虚数的充分条件吗？反思2：例1中，实数m取什么值时，复数z是6+2i?（引出复数相等的充要条件）3．复数相等问题引导学生由反思2得出两个复数相等的充要条件．复数相等的充要条件：如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等，反之亦然．即：，．例2．已知，求x与y．解题反思：解决复数问题的一种基本方法——复数问题实数化．4．随堂练习（学生板演）当为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）（5）六、回顾反思与学生一起小结本课所学知识，并进行归纳提炼，指出：1．数系的每一次扩充，既是源于生产生活的需要，又是数学学科自身发展的要求．2．数系的每一次扩充，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．3．数系的每一次扩充，都是一个发现问题，研究问题，解决问题的