专题12分离法-教师版

专题12分离法考向考向一解决不等式恒成立或有解问题【方法储备】1.利用分离参数法来确定不等式fx,a≥0，x∈D恒成立或有解问题中参数第一步：参数与变量分离，化为f1a≥第二步：求f2xmax或f第三步：解f1a≥f2x2.分离参数法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点：①函数是否可以分离参数，②如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。3.常见单变量不等式问题的最值转化：

（1）∀x∈D,则fx>a恒成立（2）∃x∈D,则fx>a恒成立（3）∀x∈D,则fx<a恒成立⇒fxmax<a;

（4）∃x∈D,则fx<a恒成立⇒fxmin<a;

（5）特别说明:∀x∈D，fx>gx理由:fx和gx自变量都是x,自变量一样是一个函数的问题,不能分为两个函数理解.

4.常见双变量不等式问题的最值转化：

（1）∀x1∈（2）∀x1∈D1（3）∀x1、（4）∃x1、（5）∀x1∈D1,∃（6）∃x1∈D1,∃x2∈【典例精讲】例1.(2023·江西省·月考试卷)已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2≥0恒成立，则实数A.m≤6 B.−6≤m≤0 C.m≥0 D.0≤m≤6解：∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∴y又∵mx2−xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，则原题意等价于对一切∵y=t−t2的开口向下，对称轴则当t=1时，y=t−t2取到最大值故实数m的取值范围是m≥0．故选：C．【拓展提升】练11(2023·福建省·单元测试)设实数m>0，若对任意的正实数x，不等式emx⩾ln xm恒成立，则mA.1e B.12e C.2e D.e3

解：因为实数m>0，

当0<x⩽1时，不等式emx⩾ln xm恒成立；

当x>1时，不等式emx⩾ln xm，

即memx≥lnx，mxemx⩾xln⁡x=elnx·lnx;

设g(x)=xex(x>0)，则g′(x)=ex(x+1)；

当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

故不等式mxemx⩾elnx·lnx等价于g(mx)⩾g(lnx)，

即练12(2022·江苏省模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an>0，2Sn=an解：因为2Sn=an2+an，故2Sn+1=an+12+an+1，

两式相减得：2an+1=an+12−an+an+1−an，

即an+1+anan+1−an−1=0，又因为an>0，所以an+1−an=1，又a1=1，

故数列{an}是1为首项，1为公差的等差数列，所以an=n;

由不等式考向二考向二解决函数零点、方程根的问题【方法储备】利用导数解决函数零点、方程根的问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题，（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题（3）分离参数法：由f(x)=0分离变量得出a=g(x)，将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)【典例精讲】例2.(2022·河北省模拟)已知函数f(x)=3+2axlnx(a∈R)图象上存在点M，函数g(x)=2−4aeln(2−x)(e为自然对数的底数)图象上存在点N，且M，N关于点(1,1)对称，则实数a的取值范围是(

)A.(0,32e] B.[32e,+∞)解：因为函数g(x)=2−4aeln(2−x)与函数y=4aelnx的图象关于点(1,1)对称，

由题意可知：方程3+2axlnx=4aelnx有解，显然a≠0，所以问题转化为(x−2e)lnx=−32a有解，

设ℎ(x)=(x−2e)lnx，则ℎ'(x)=lnx+1−2ex为增函数且ℎ'(e)=0，

所以ℎ(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，且所以−32a≥ℎ(e)=−e，

所以实数a的取值范围是(−∞,0)∪[32e，+∞)【拓展提升】练21(2023·江苏省·模拟题)若函数f(x)=m−x2+2ln x在[1e2A.(1,e2−2] B.[4+1e4,e2−2] C.(1,4+1e4] D.1,+∞

解：函数f(x)定义域为0,+∞，

令f(x)=0可得m=x2−2lnx，

令g(x)=x2−2lnx，x∈[1e2,e]，

则g′(x)=2x−2x=2x2−2x，

∴当1e2≤x≤1时，g′(x)≤0，当1<x≤e时，g′(x)>0，练22(2022·广东省月考)已知f(x)=(1)讨论f(x)的单调区间；(2)g(x)=2x2，若曲线y=f(x)和y=g(x)在1解：(1)函数f(x)=lnx+xf'(x)=1x+2x+a=2x2①当−22≤a≤22此时f'(x)≥0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a<−22时，即2x2+ax+1=0的两个根为当x∈(0,−a−a2−84当x∈(−a−a2−84当x∈(−a+a2−84③当a>22时，即2x2+ax+1=0的两个根为此时f'(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；综上：当a<−22时，f(x)的增区间为(0,−a−a2−8当a≥−22时，f(x)的增区间为(0,+∞)由题可知f(x)=g(x