2024-2025学年湖南省株洲十三中高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省株洲十三中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.化简：AB−(DC−A.2AD B.AD C.0 D.2.若复数z=ii+1(i为虚数单位)，则z的虚部为A.12 B.12i C.13.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“α//β”是“l⊥α”的(

)A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.函数y=sin(π3−1A.[−π3,5π3] B.[−2π,−π35.若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为(

)A.6π B.26π 6.圆柱高为4，底面积为π，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为(

)A.62 B.32 C.7.将函数f(x)=sinx−3cosx图象上所有点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，再将所得曲线上所有的点向左平移a(a>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则A.5π12 B.5π6 C.π38.置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组M：{m1,m2,m3}，有序数组N：{n1,n2,n3}，定义“间距置换”：n1=|m1A.20192025 B.20212024 C.20212023二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列各组向量中，不能作为基底的是(

)A.e1=(1,0),e2=(0,1) B.e110.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数y=f(x)，满足∀x，y∈R，有f(x+y)=f(x−y)+2f(y)cosx，则下面判断一定正确的是(

)A.4π是f(x)的一个周期 B.f(x)是奇函数

C.f(x)是偶函数 D.f(x)=f(11.在△ABC中，|BA+BC|=6，|AB+A.AB=3 B.∠BAC=π3

C.△ABC的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在复平面内，复数2−3i、−1+2i对应的向量分别是OA、OB，其中O是坐标原点，则向量AB对应的复数为______．13.已知sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα=35，且β为第三象限角，则14.在△ABC中，AC=4AD，设∠ACB=θ，若∠ABD=θ，∠CBD=2θ，且BD=3，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=1+mi，z2=(m2−6m+7)−2i(m∈R,i为虚数单位)．

(1)若z=z1+16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2c−b)cosA=acosB．

(1)求角A；

(2)若△ABC的面积为332，sinB=317.(本小题15分)

在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，E，F分别为AC，BC上的点，且AE=12AC,BF=13BC．

(1)求|AF|；

(2)求证：AF⊥BE18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____．

请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题：

条件：①c+b=2acosB；②a(cosB−cosC)=(b+c)cosA．

(1)证明：A=2B；

(2)若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，sinB=35，求1b+1c的值；

19.(本小题17分)

(1)某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球.现有两种设计方案，一种是正方体礼盒(如图(1))，另一种是圆柱形礼盒(如图(2))，在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的费用是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼含更经济实惠？

(2)设某长方体礼盒的长AB，宽BC，高AA1分别为10cm，8cm，3cm．

(ⅰ)若用十字捆扎法(如图(3))，且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度；(不考虑接口处的彩带长度)

(ⅱ)若用对角捆扎法(如图(4))，且LA1=A1E=IC1=C1H=FB=BG=DK=DJ=2cm参考答案1.C

2.A

3.A

4.D

5.A

6.D

7.A

8.A

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.−3+5i

13.−414.215.(1)解：由复数z1=1+mi，z2=(m2−6m+7)−2i，

得z=z1+z2=1+mi+(m2−6m+7)−2i=(m2−6m+8)+(m−2)i，

∵复数z为纯虚数，∴m2−6m+8=0m−2≠0，解得m=4；

(2)16.(1)因为(2c−b)cosA=acosB，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)>0，

由正弦定理得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sinC，

可得cosA=12，

因为A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)因为△ABC的面积为332，所以12bcsinA=332=34bc，得bc=6，

又由sinB=32sinC17.(1)因为△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60°，

又E，F分别为AC，BC上的点，且AE=12AC,BF=13BC，

设AB=a,AC=b，则|a|=2,|b|=4,a⋅b=2×4×12=4，

又AF=AB+BF=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=18.(1)证明：若选①：∵c+b=2acosB，由正弦定理得sinC+sinB=2sinAcosB，

∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinB=2sinAcosB，

∴sinB=sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)，

∴B=A−B，或B=π−(A−B)(舍去)，即A=2B；

若选②：由正弦定理及a(cosB−cosC)=(b+c)cosA，

得sinAcosB−sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，

∴sinAcosB−cosAsinB=sinAcosC+cosAsinC，

∴sin(A−B)=sin(A+C)，

∵A+B+C=π，∴sin(A−B)=sinB，

∴A−B=B或A−B+B=π(舍去)，

∴A=2B；

(2)∵sinB=35，B为锐角，

∴cosB=45，sinA=sin2B=2sinBcosB=2425，

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴12bcsinA=12(b+c)×AD×sinB，

∴1225bc=310(b+c)，

∴b+cbc=85，1b19.解：(1)设球的半径为R，正方体礼盒的造价为x元/m2，

则圆柱形礼盒的造价为1.6x元/m2，

记正方体礼盒，圆柱形礼盒的总造价分别为y1，y2，

显然R，