九年级数学平行四边形专题练习

九年级数学平行四边形专题练习一、专题概述平行四边形是九年级数学“四边形”章节的核心内容，也是中考的高频考点（占比约8%-10%）。它既是三角形知识的延伸，又是矩形、菱形、正方形等特殊四边形的基础，其性质与判定贯穿于后续几何学习的始终。中考对平行四边形的考查主要集中在性质应用（角度、边长、对角线计算）、判定证明（结合全等三角形）、综合应用（与动点、折叠、函数结合）三个方向。掌握平行四边形的核心知识点，能有效提升几何推理与计算能力。二、核心知识点拆解（一）平行四边形的定义定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”）。几何语言：若AB∥CD且AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。（二）平行四边形的性质平行四边形的性质可总结为“对边平行且相等，对角相等邻角补，对角线互相平分”，具体如下：1.边的性质：两组对边分别平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）。2.角的性质：两组对角分别相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；邻角互补（∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°）。3.对角线的性质：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD，O为对角线交点）。4.对称性：中心对称图形（对称中心是对角线交点，旋转180°后与原图形重合）；不是轴对称图形（除非是特殊平行四边形，如矩形、菱形）。（三）平行四边形的判定平行四边形的判定方法有5种，需根据已知条件选择合适的方法：1.定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（最基本的判定）。2.边判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（AB=CD且AD=BC）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（AB∥CD且AB=CD）。3.角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（∠A=∠C且∠B=∠D）。4.对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形（OA=OC且OB=OD）。注意：以下条件不能判定平行四边形：一组对边平行，另一组对边相等（可能是等腰梯形）；对角线相等（矩形的性质，非平行四边形的通用判定）；邻边相等（菱形的性质）。三、典型例题解析（一）性质应用：角度与边长计算例题1：在▱ABCD中，∠A=70°，求∠B、∠C、∠D的度数。解析：利用平行四边形的角性质：对角相等：∠A=∠C=70°；邻角互补：∠A+∠B=180°，故∠B=180°-70°=110°；对角相等：∠D=∠B=110°。答案：∠B=110°，∠C=70°，∠D=110°。例题2：▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，若OA=2，OB=3，求AC、BD的长度。解析：利用对角线互相平分的性质：AC=2OA=2×2=4；BD=2OB=2×3=6。答案：AC=4，BD=6。（二）判定证明：选择合适的判定方法例题3：已知四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：连接AC（构造全等三角形）：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）；在△ABC和△CDA中，AB=CD（已知），∠BAC=∠DCA（已证），AC=CA（公共边），∴△ABC≌△CDA（SAS）；∴BC=AD（全等三角形对应边相等）；∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。例题4：如图，▱ABCD中，E、F分别是OA、OC的中点（O为对角线交点），求证：四边形BEDF是平行四边形。解析：利用对角线判定：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC（对角线互相平分）；∵E、F分别是OA、OC的中点，∴OE=1/2OA，OF=1/2OC，故OE=OF；∵OB=OD且OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。四、专题练习（一）基础巩固（选择题/填空题）1.平行四边形的对边______且______，对角______。（答案：平行；相等；相等）2.▱ABCD中，AB=6，BC=4，则CD=______，AD=______。（答案：6；4）3.下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD=BCB.AB=CD，∠A=∠BC.AB∥CD，AB=CDD.∠A=∠B，∠C=∠D（答案：C）4.▱ABCD中，∠A=50°，则∠C=______，∠B=______。（答案：50°；130°）5.平行四边形的对角线互相______，所以其对角线的交点是______。（答案：平分；对称中心）（二）能力提升（解答题）1.已知：如图，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。提示：用“一组对边平行且相等”——AE∥CF（AB∥CD），AE=1/2AB=1/2CD=CF。2.已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形。提示：用“对角线互相平分”的判定，直接根据已知条件得出结论。3.如图，▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，若AE=2，求CD的长度。提示：先证明BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC，又AD∥BC，故∠AEB=∠EBC，因此∠ABE=∠AEB，故AB=AE=2，CD=AB=2。（三）拓展延伸（综合题）1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，求证：DE+DF=AB。提示：先证明四边形AEDF是平行四边形（DE∥AB，DF∥AC），故DF=AE；再证明DE=EC（∠EDC=∠B=∠C），故DE+DF=EC+AE=AC=AB。2.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(3,1)，C(5,2)，求点D的坐标，使得四边形ABCD是平行四边形。提示：利用平行四边形对角线互相平分——设D(x,y)，则AC的中点为(3,2)，BD的中点也为(3,2)，故(3+x)/2=3，(1+y)/2=2，解得x=3，y=3（答案不唯一，还可考虑AB、BC为对角线）。五、答案解析（一）基础巩固1.平行；相等；相等（平行四边形的边与角性质）。2.6；4（对边相等）。3.C（A可能是等腰梯形，B、D无法判定）。4.50°；130°（对角相等，邻角互补）。5.平分；对称中心（对角线性质）。（二）能力提升1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD（对边平行且相等）。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=1/2AB，CF=1/2CD，故AE=CF。又AE∥CF（AB∥CD），∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等）。2.证明：∵OA=OC，OB=OD（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。3.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC（对边平行），故∠AEB=∠EBC（内错角相等）。∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC（角平分线定义），故∠ABE=∠AEB（等量代换）。∴AB=AE=2（等角对等边），∴CD=AB=2（对边相等）。（三）拓展延伸1.证明：∵DE∥AB，DF∥AC（已知），∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行），故DF=AE（对边相等）。∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等边对等角）。∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B（同位角相等），故∠EDC=∠C（等量代换），∴DE=EC（等角对等边）。∴DE+DF=EC+AE=AC=AB（等量代换）。2.解：设点D(x,y)，若四边形ABCD是平行四边形，则AC的中点与BD的中点重合（对角线互相平分）。AC的中点坐标为((1+5)/2,(2+2)/2)=(3,2)，BD的中点坐标为((3+x)/2,(1+y)/2)。故(3+x)/2=3，解得x=3；(1+y)/2=2，解得y=3。∴点D的坐标为(3,3)（答案不唯一，还可通过AB、BC为对角线求得其他坐标）。六、备考建议1.记忆技巧：性质可总结为“对边平行且相等，对角相等邻角补，对角线互相平分”；判定可总结为“两组对边都平行，两组对边都相等，一组对边平行且相等，两组对角都相等，对角线互相平分”。2.解题策略：证明平行四边形时，优先考虑“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”（需结合图形条件）；角度计算用“对角相等”或“邻角互补”；边长计算用“