辽宁省2023届高考数学理科真题详解

辽宁省2023届高考数学理科真题详解一、真题概述2023年辽宁省理科数学采用新课标Ⅰ卷，命题延续了“基础为本、主干突出、能力导向”的风格，紧扣《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的核心要求。试卷覆盖了函数与导数、三角函数、立体几何、解析几何、概率统计、数列等主干模块，重点考查学生的逻辑推理、数学运算、空间想象及应用意识。整体难度适中，区分度合理，既注重对基础知识的考查（如集合、复数、三角函数值），也强调对综合能力的检验（如导数与函数单调性、解析几何与向量垂直、立体几何与二面角）。二、题型详解（一）选择题（共12小题，每题5分，满分60分）选择题侧重考查基础知识的掌握与简单应用，解题时需注意快速定位考点、避免计算错误。以下选取典型题目分析：1.集合运算题（第1题）A.\((1,2)\)B.\([1,2)\)C.\((0,1]\)D.\(\varnothing\)解题思路：第一步：解不等式求集合\(A\)。\(x^2-3x+2<0\)等价于\((x-1)(x-2)<0\)，解得\(1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)。答案：D易错点提示：解二次不等式时，需注意不等号方向与根的顺序；补集运算时，不要遗漏端点值（如\(x\leq1\)而非\(x<1\)）。2.复数运算题（第2题）题目：复数\(z=\frac{1+i}{1-i}\)的共轭复数\(\overline{z}=\)（）A.\(i\)B.\(-i\)C.\(1+i\)D.\(1-i\)解题思路：化简复数\(z\)：分子分母同乘\(1+i\)（分母的共轭复数），得\(z=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i\)。共轭复数：实部不变，虚部取反，故\(\overline{z}=-i\)。答案：B易错点提示：\(i^2=-1\)是复数运算的核心公式，切勿记错；共轭复数的符号变化易混淆（如\(z=a+bi\)，则\(\overline{z}=a-bi\)）。3.三角函数诱导公式（第3题）题目：\(\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{3}-\tan\frac{\pi}{4}=\)（）A.\(-\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{3}{4}\)解题思路：代入特殊角的三角函数值：\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\)，\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)。计算：\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}-1=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}\)。答案：A易错点提示：特殊角的三角函数值需牢记（如\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)而非\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)）；运算顺序不要颠倒（先乘后减）。（二）填空题（共4小题，每题5分，满分20分）填空题侧重考查计算准确性与知识点的综合应用，以下选取典型题目分析：1.等差数列前\(n\)项和（第13题）题目：已知等差数列\(\{a_n\}\)的公差\(d=2\)，首项\(a_1=1\)，则前5项和\(S_5=\)________。解题思路：等差数列前\(n\)项和公式：\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。代入\(n=5\)，\(a_1=1\)，\(d=2\)：\(S_5=5\times1+\frac{5\times4}{2}\times2=5+20=25\)。答案：25易错点提示：公式记忆错误（如混淆\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)与\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)）；计算时漏乘系数（如\(\frac{5\times4}{2}\times2=20\)而非\(5\times4\times2=40\)）。2.正方体外接球表面积（第14题）题目：正方体的棱长为\(a\)，则其外接球的表面积为________。解题思路：正方体的体对角线是外接球的直径。体对角线长为\(\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}a\)，故外接球半径\(r=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)。球的表面积公式：\(S=4\pir^2=4\pi\times(\frac{\sqrt{3}a}{2})^2=4\pi\times\frac{3a^2}{4}=3\pia^2\)。答案：\(3\pia^2\)易错点提示：混淆“外接球”与“内切球”（内切球直径等于棱长）；体对角线与面对角线搞混（面对角线长为\(\sqrt{2}a\)，用于外接圆柱）。（三）解答题（共6小题，满分70分）解答题侧重考查综合应用能力与逻辑推理能力，需注意步骤完整性与解题规范。以下选取高频考点题目分析：1.三角函数化简与最值（第17题）题目：已知函数\(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax\)（\(\omega>0\)）的最小正周期为\(\pi\)。（1）求\(\omega\)的值；（2）求\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值与最小值。解题思路：（1）化简函数：\(f(x)=\sin\omegax+\cos\omegax=\sqrt{2}\sin(\omegax+\frac{\pi}{4})\)（辅助角公式：\(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)）。周期计算：最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi\)，解得\(\omega=2\)。（2）求区间最值：由（1）得\(f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)。当\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(2x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]\)。\(\sin\theta\)在\([\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]\)上递增，在\([\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{4}]\)上递减。最大值：当\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)（即\(x=\frac{\pi}{8}\)）时，\(\sin(2x+\frac{\pi}{4})=1\)，故\(f(x)_{\text{max}}=\sqrt{2}\times1=\sqrt{2}\)。最小值：当\(2x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}\)（即\(x=\frac{\pi}{2}\)）时，\(\sin(2x+\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故\(f(x)_{\text{min}}=\sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1\)。答案：（1）\(2\)；（2）最大值\(\sqrt{2}\)，最小值\(-1\)。易错点提示：辅助角公式化简错误（如\(\sqrt{2}\sin(\omegax+\frac{\pi}{4})\)而非\(\sqrt{2}\cos(\omegax+\frac{\pi}{4})\)）；周期公式记错（如\(T=\frac{\pi}{\omega}\)而非\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)）；区间内三角函数值分析错误（如\(\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)而非\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)）。2.立体几何线面平行与二面角（第18题）题目：直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AB=AC=AA_1=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(D\)是\(BC\)的中点。（1）求证：\(A_1D\parallel\)平面\(AB_1C_1\)；（2）求二面角\(B-A_1C-C_1\)的余弦值。解题思路：（1）几何法证明线面平行：取\(B_1C_1\)的中点\(E\)，连接\(A_1E\)、\(CE\)。由直三棱柱性质，\(A_1E\parallelAD\)且\(A_1E=AD\)（\(AD\)、\(A_1E\)均为\(BC\)、\(B_1C_1\)的中线），故四边形\(A_1DCE\)是平行四边形。因此\(A_1D\parallelCE\)，又\(CE\subset\)平面\(AB_1C_1\)，\(A_1D\not\subset\)平面\(AB_1C_1\)，故\(A_1D\parallel\)平面\(AB_1C_1\)。（2）向量法求二面角：建立空间直角坐标系：以\(A\)为原点，\(AB\)、\(AC\)、\(AA_1\)分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)轴，坐标为\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(A_1(0,0,2)\)，\(C_1(0,2,2)\)。求平面\(BA_1C\)的法向量：\(\overrightarrow{BA_1}=(-2,0,2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)\)，设法向量\(\mathbf{n_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，则\(\begin{cases}-2x_1+2z_1=0\\-2x_1+2y_1=0\end{cases}\)，取\(x_1=1\)，得\(\mathbf{n_1}=(1,1,1)\)。求平面\(A_1CC_1\)的法向量：\(\overrightarrow{A_1C}=(0,2,-2)\)，\(\overrightarrow{CC_1}=(0,0,2)\)，设法向量\(\mathbf{n_2}=(x_2,y_2,z_2)\)，则\(\begin{cases}2y_2-2z_2=0\\2z_2=0\end{cases}\)，取\(x_2=1\)，得\(\mathbf{n_2}=(1,0,0)\)。计算法向量夹角余弦值：\(\cos\theta=\frac{\mathbf{n_1}\cdot\mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}|\cdot|\mathbf{n_2}|}=\frac{1}{\sqrt{3}\times1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。二面角为锐角（由图形判断），故余弦值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。答案：（1）证明见上述思路；（2）\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。易错点提示：几何法中辅助线找错（如未取\(B_1C_1\)中点）；向量法中坐标系建立错误（如未以直角顶点为原点）；法向量计算错误（如解方程时符号错误）；二面角与法向量夹角的关系判断错误（如锐角与钝角的区分）。3.导数与函数单调性（第21题）题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。（1）求\(f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；（2）求\(f(x)\)的单调区间与极值；（3）求\(f(x)\)在\([-1,3]\)上的最大值与最小值。解题思路：（1）切线方程：求导：\(f'(x)=3x^2-6x\)。切线斜率：\(f'(1)=3\times1^2-6\times1=-3\)。函数值：\(f(1)=1^3-3\times1^2+2=0\)。切线方程：\(y-0=-3(x-1)\)，即\(y=-3x+3\)。（2）单调区间与极值：令\(f'(x)=0\)，得\(3x^2-6x=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。列表分析单调性：\(x\)\((-\infty,0)\)\(0\)\((0,2)\)\(2\)\((2,+\infty)\)\(f'(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)\(f(x)\)递增极大值递减极小值递增极值：极大值\(f(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)；极小值\(f(2)=2^3-3\times2^2+2=-2\)。（3）区间最值：计算区间端点与极值点的函数值：\(f(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2+2=-1-3+2=-2\)；\(f(0)=2\)（极大值）；\(f(2)=-2\)（极小值）；\(f(3)=3^3-3\times3^2+2=27-27+2=2\)。比较得：最大值为\(2\)（在\(x=0\)和\(x=3\)处取得），最小值为\(-2\)（在\(x=-1\)和\(x=2\)处取得）。答案：（1）\(y=-3x+3\)；（2）单调递增区间\((-\in