第八章 §8.5　圆与圆的位置关系

§8.5圆与圆的位置关系01数学

大一轮复习1.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能根据圆与圆的位置关系求公共弦方程、公共弦长、切线等一些简单问题.课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练目录落实主干知识02单击此处添加章节副标题

图形量的关系外离

_________外切

_________相交

________________d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)

图形量的关系内切

___________内含

___________d＝|r1－r2|d<|r1－r2|1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(

)(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(

)(3)若两圆相切，则两圆有三条公切线.(

)(4)若两圆C1，C2相交于A，B两点，则线段C1C2与线段AB互相垂直平分.(

)××××2.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是A.外切 B.相交 C.外离 D.内切

√3.设a>0，若圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋y2＝25有公共点，则a的取值范围为A.(0，4) B.{4}C.(4，6) D.[4，6]圆(x－a)2＋y2＝1，圆心为(a，0)，半径为1，圆x2＋y2＝25，圆心为(0，0)，半径为5，若圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋y2＝25有公共点，则4≤|a|≤6，又a>0，所以4≤a≤6.√4.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两圆的公共弦所在的直线方程为

.

x＋y－2＝0由圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－4x－4y＋4＝0，两式作差得，4x＋4y－4＝4，即x＋y－2＝0，所以两圆的公共弦所在的直线方程是x＋y－2＝0.灵活应用两圆相交时公共弦的性质圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在的直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).返回微点提醒探究核心题型03单击此处添加章节副标题

√题型一√√圆与圆的位置关系的判断

(2)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是A.y＝－x＋1B.y＝－x＋1或y＝x＋5C.y＝－x＋5D.y＝x＋1或y＝2x＋5√

故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1.判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.思维升华

√

公共弦问题

√√√题型二

(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.思维升华

√√

微拓展

隐圆

√√√

依题意，在四边形CMBN中，∠BMC＝∠BNC＝90°，所以C，M，B，N四点共圆，且直径为BC，该圆的方程为x2＋y2＝16，故MN为圆C与圆x2＋y2＝16的公共弦，其方程为x＝－2，所以选项D正确.返回课时精练04单击此处添加章节副标题答案123456789101112题号123456答案ACBDBCDABC题号781112答案2x－y－5＝0DABD对一对答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、单项选择题1.(2024·长春模拟)已知圆E：(x－2)2＋(y－4)2＝25，圆F：(x－2)2＋(y－2)2＝1，则这两圆的位置关系为A.内含 B.相切 C.相交 D.外离123456789101112知识过关答案

√123456789101112答案2.若半径为1的动圆与圆C：(x－1)2＋y2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程为A.(x－1)2＋y2＝9B.(x－1)2＋y2＝3C.(x－1)2＋y2＝9或(x－1)2＋y2＝1D.(x－1)2＋y2＝3或(x－1)2＋y2＝5√123456789101112答案

123456789101112答案

√123456789101112答案由题意可知O(0，0)，C(－2，－2)，且两圆半径均为2，将两圆方程相减，得直线AB的方程为x＋y＋2＝0，易知四边形OACB为边长为2的正方形，所以S四边形OACB＝2×2＝4.123456789101112答案4.(2025·济南模拟)已知圆O：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆O上有且仅有一点P，使PA⊥PB，则正实数a的取值为A.2或4 B.2或3C.4或5 D.3或5√123456789101112答案由题意可知，圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，且a>0，因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4，0)为圆心，半径R＝a的圆，又因为点P在圆O：x2＋y2＝1上，可知圆O与圆M有且仅有一个公共点，则|OM|＝r＋R或|OM|＝|r－R|，即4＝1＋a或4＝|1－a|，解得a＝3或a＝5.123456789101112答案二、多项选择题5.(2024·齐齐哈尔模拟)已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列结论正确的有A.若圆C1和圆C2无公共点，则a>4B.若圆C1和圆C2外切，则a＝±4C.若两圆有一条公切线，则a＝0D.当a＝－2时，圆C1和圆C2相交，且公共弦所在直线的方程为3x＋2y－10

＝0√√√123456789101112答案

123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

三、填空题7.(2024·沈阳模拟)已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0关于直线l对称，则直线l的方程为

.

123456789101112答案2x－y－5＝0123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答题9.已知圆C：x2＋y2－4x－6y＝0.(1)求直线y＝2x被圆C截得的弦长；

123456789101112答案(2)已知圆M过点(－4，0)且与圆C相切于原点，求圆M的方程.123456789101112答案

123456789101112答案10.(2024·延边模拟)已知圆C1：x2＋y2＋6x－10y＋25＝0与圆C2：x2＋y2－8y＋7＝0交于A，B两点，圆C经过A，B两点，且圆心在直线4x－3y－3＝0上.(1)求|AB|；123456789101112答案

123456789101112答案(2)求圆C的方程.123456789101112答案

123456789101112答案能力拓展

√123456789101112答案

123456789101112答案12.(多选)(2024·宜春模拟)在平面直角坐标系O